【期中真题】吉林省东北师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题.zip

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2021~2022学年东北师大附中高二年级数学科试卷上学期期中考试一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线的焦点坐标为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】直接计算焦点得到答案.【详解】抛物线的焦点在轴上，，，故坐标为.故选：A.2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到得到答案.【详解】椭圆焦点在轴上，且，故.故选：B.3. 圆被轴所截得的弦长为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】取，得到，解方程得到答案.【详解】，取，则，解得，，弦长为.故选：D.4. 过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解.【详解】解：设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点，得，解得，所以所求双曲线方程为.故选：B.5. 抛物线上一点到焦点的距离等于9，点的横坐标为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】计算准线方程得到，解得答案.【详解】抛物线的准线方程为，设点的横坐标为，到焦点的距离等于，故.故选：C.6. 已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点到平面的距离为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用距离的向量公式计算得到答案.【详解】，故点到平面距离为.故选：A.7. 过双曲线左､右焦点分别作倾斜角为的直线与双曲线相交于轴上方两点，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】的方程为，解得得到，同理计算得到答案.【详解】，则的方程为：，联立方程，解得，（舍去负值），故；同理可得：，故.故选：C.8. 椭圆上恰有4个不同的点满足，其中，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据得到，有四个交点得到，得到离心率范围.【详解】设，则，即，化简得到：，即椭圆与圆有4个交点，故，.故.故选：D.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，部分选对得2分，有选错或不选得0分）9. 已知关于的方程（其中为参数）表示曲线，下列说法正确的是（    ）A. 若，则表示圆 B. 若，则表示椭圆C. 若，则表示双曲线 D. 若，，则表示两条直线【答案】ACD【解析】【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义和标准方程，根据的正负依次判断每个选项得到答案.【详解】若，，表示圆，A正确；若，时，，不表示椭圆，B错误；若，则表示焦点在轴或轴的双曲线，C正确；，，或，则或，表示两条直线，D正确；故选：ACD.10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ）A. 的周长为 B. 面积的最大值为C. 的取值范围为 D. 的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】计算周长得到6，A错误，，B正确，，根据定义域得到范围，C正确，，得到值域，得到答案.【详解】根据题意：，，，的周长为，A错误；面积的为，当在上下顶点时等号成立，B正确；设，则，，故，C正确；，设，，则，故的取值范围为，D正确.故选：BCD.11. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，分别过点向准线作垂线，垂足分别为，弦中点为，线段中点为，则下列说法正确的是（    ）A. 为直角三角形 B. 为直角三角形C. 为直角三角形 D. 为直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】根据抛物线定义可得：，则，从而可证得，同理可得，即可证得，即可判断D；在中，可得，从而可证得，可得，即可判断B；还可得，从而，同理可得，即可证得，即可判断A；若为直角三角形，则，则有，说明，即可判断C.【详解】解：由题意可知，，根据抛物线的定义可得：，则，因为，所以，所以，即，同理可得，所以，所以为直角三角形，故D正确；在中，因为线段中点为，所以，又，，所以，所以，所以为直角三角形，故B正确；由，得，即，同理可得，所以，所以为直角三角形，故A正确；若为直角三角形，则，因为，线段中点为，所以，则，所以，当不垂直轴时，，与矛盾，所以此时，即不为直角三角形，故C错误.故选：ABD.12. 卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点是平面内两个定点，（是定长），特别地，当时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（    ）A. 曲线过原点B. 关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称C. 方程为D. 曲线上任意点，，【答案】ABC【解析】【分析】根据得到轨迹方程为得到ABC正确，验证知在曲线上，故D错误，得到答案.【详解】设，时，，化简得到：，故C正确；曲线过原点，A正确；关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称，B正确；验证知在曲线上，故D错误.故选：ABC.三､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13. 不论为任何实数，直线恒过一定点，该定点坐标为___________.【答案】【解析】【分析】变换直线方程得到，得到，解得答案.【详解】，即，，解得，故直线过定点.故答案为：.14. 三棱锥，是边的中点，，，则=___________.（用基底表示）【答案】【解析】【分析】，根据空间向量的加减运算法则得到答案.【详解】.故答案为：.15. 点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】画出椭圆与圆得图形，根据椭圆得定义结合图形，当四点共线时，取得最小值，从而可得出答案.【详解】解：点在椭圆上，椭圆左焦点，右焦点，如图：由圆，得，半径为1，由椭圆得定义可得：，则，则，当四点共线时，取得最小值，则故答案为：0.16. 双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线交双曲线于两点，为等边三角形，若、两点都在右支上，则双曲线的离心率为___________；若、两点分别在左､右两支上，则双曲线的离心率为___________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】根据双曲线的定义结合等边三角形的条件得出关于和的等量关系，即可求出离心率.【详解】解：当、两点都在右支上时，设在的上方，则，为等边三角形，且，即为中点，且垂直平分，可得离心率为当、两点分别在左､右两支上时，设在左支，则，为等边三角形，在中，由余弦定理得即化简得：离心率为故答案为：，.【点睛】关键点睛：本题求双曲线的离心率，关键是根据等边三角形的性质，构建关于和的等式.四､解答题（本大题共6小题，共56分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为.（1）求点的坐标；（2）求点的坐标及边所在直线方程.【答案】（1）    （2），【解析】【分析】（1）直接联立高和中线的方程解得答案.（2）设，根据斜率垂直得到，中点在中线上得到，解得坐标，得到直线方程.【小问1详解】因为点为高与中线所在直线的交点，由，解得，，【小问2详解】设，因为与高垂直，所以，故即①，线段中点在中线上，所以，即②由①②可解得，，，，方程为：，即.18. 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）求得过点与直线垂直的直线方程，联立此直线方程与直线可求得圆心，从而可得出答案；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，根据弦长即可得出答案.【小问1详解】解：过点与直线垂直的直线的斜率为，所以直线的方程为，即.由，解得圆心.所以半径.故圆的方程为：；【小问2详解】解：①若斜率存在，设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即，圆心到直线的距离，又，，整理得，解得，此时直线的方程为；②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为，半径，弦长为，符合题意，综上，直线的方程为或.19. 如图，已知直四棱柱中，底面是菱形，，，是的中点，是的中点.（1）求异面直线和所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合空间向量的数量积运算即可求解；（2）由（1）中的坐标系先求出平面的法向量，再结合空间向量的数量积运算即可求解.【小问1详解】解：连结，使.因为底面是菱形，所以，以为原点，的方向为轴､轴的正方向，以四棱柱上下底面的中心连线指向上底面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.设，由，底面是菱形，所以.所以，，，，是的中点，是的中点，，，设异面直线和所成角为，则.异面直线和所成角的余弦值为.【小问2详解】解：由（1）可得，设平面的法向量为，则，令，得，由（1）知设直线与平面所成角为，则.直线与平面所成角的正弦值为.20. 已知为坐标原点，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求线段的长.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据题意得到，化简得到答案.（2）设直线方程为，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，根据垂直关系结合中点坐标公式得到，再计算弦长得到答案.【小问1详解】设，依题意，，整理得，曲线的方程为.小问2详解】显然直线斜率存在且不为，设，，设直线方程为，，由得，，，，设线段中点，，，，..21. 如图，四棱锥中，为等边三角形，平面底面，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点. （1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析.    （2）.【解析】【分析】（1）建立空间坐标系，求出， ，计算得到，又，为线段中点，得到，由线面垂直的判定定理得到结果；（2）建立坐标系，求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，两个平面夹角的余弦值为，代入数值求解即可.【小问1详解】取中点，中点，连结，，平面底面，底面为直角梯形，所以底面，，以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，，，，，，又，为线段中点，，，平面；【小问2详解】设平面的一个法向量为，则，令，则，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，设平面与平面的夹角为，，平面与平面的夹角的余弦值为.22. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆方程；（2）已知为坐标原点，为椭圆上非顶点的不同两点，且直线不过原点，不垂直于坐标轴.在下面两个条件中任选一个作为已知：①直线与直线斜率之积为定值；②的面积为定值，证明：存在常数，使得，且点在椭圆上，并求出的值.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）    （2）证明见解析，【解析】【分析】（1）根据离心率，将点代入椭圆方程，解得答案.（2）设直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据题目条件化简得到，根据向量关系计算点坐标，代入椭圆方程，计算得到答案.【小问1详解】依题意,解得，.椭圆方程为.【小问2详解】设直线，由得，，，，若选①：，.整理得.由得，，因为点在椭圆上，所以，.若选②：，整理得，，，.由得，因为点在椭圆上，所以，.【点睛】本题考查了椭圆标准方程，椭圆中的向量求参数问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，本题计算量较大，需要学生扎实的计算功底和细心，需要平时多练习.