【期中真题】广西玉林市第十一中学等校2023届高二上学期期中联合测试数学试题.zip

2022年秋季学期高二年级期中联合测试

数学试题

（考试时间120分钟，满分150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由直线方程求得斜率，再求直线倾斜角.

【详解】设直线倾斜角为，直线方程化成斜截式为，所以直线斜率，由，得.

故选：A

2. 在四面体中，等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量线性运算法则化简.

【详解】.

故选：C

3. 若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据椭圆的定义，直接求解.

【详解】设点到另一个焦点的距离为，

由椭圆方程可知，，

则，所以.

故选：D

4. 当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】相关点法求解PQ的中点的轨迹方程.

【详解】设，PQ的中点M的坐标为，

∵，∴

∴

又∵点P在圆上，

∴，即，

故选：C．

5. 已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出．

【详解】∵，

∴，又平面的一个法向量为，

∴点A到平面的距离为

故选：B

6. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.

【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

根据弦长公式得最小值为.

故选：B.

【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

7. 当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】作曲线与直线的图象，计算出直线与曲线相切时对应的实数的值，数形结合可得结果.

【详解】对方程变形得，即，

所以曲线表示圆的上半圆，

对直线方程变形得，该直线过定点，且斜率为，如下图所示：

当直线与半圆相切时，则有，解得，

当直线过点时，，解得.

由图形可知，当曲线与直线有两个相异的交点时，.

故选：C

8. 已知点、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且满足，，则该椭圆的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，则，利用勾股定理可求得，再利用椭圆的定义可得出，求出、，利用勾股定理结合离心率公式可求得结果.

【详解】如下图所示：

设，则，因为，则，

由椭圆的定义可得，则，

所以，，则，

由勾股定理可得，则，则，

因此，该椭圆的离心率为.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（    ）

A. 的一个方向向量为 B. 在轴上的截距等于

C. 与直线垂直 D. 与直线平行

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出直线方程，由直线方程直接判断D，由直线方程得一法向量，由法向量与方向向量的关系判断A，直线方程中令，解出为横截距，判断B，由两直线垂直的关系判断C．

【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，它与直线平行，D正确；

直线的一个法向量是，而，因此是直线的一个方向向量，A正确；

在直线方程中令得，B错误；

由于，C正确．

故选：ACD．

10. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ）

A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线

C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.

【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；

对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；

对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；

对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确．

故选：BCD

11. 已知，分别是正方体的棱和的中点，则（    ）

A. 与是异面直线

B. 与所成角的大小为

C. 与平面所成角的正弦值为

D. 二面角的余弦值为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据异面直线的判定定理可判断A；建立空间直角坐标系，用向量方法可计算B，C，D是否正确

【详解】根据异面直线的判定定理，及正方体的结构特征，易知：A正确；

以为原点，，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

设正方体棱长2，则，，，，

,
所以 ,,
设与所成角的大小为,
则
所以 ，故B错误;
由题意可知,平面的法向量为,,

设与平面所成角为, 则
,故C错误;
,

设平面的一个法向量为，

则，令，得，

设平面的一个法向量为，，

则，令，得，

设二面角为，由题图知为锐角，

则，故D正确．

故选:AD．

12. 如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与坐标轴交于，，则（    ）

A. 双曲线的方程为

B. 双曲线与双曲线共渐近线

C. 存在一点，使过该点的任意直线与双曲线有两个交点

D. 存在无数个点，使它与，两点的连线的斜率之积为3

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意可得，代入双曲线方程可求出，从而可求出双曲线方程，然后逐个分析判断

【详解】由题意可得，

所以，即，解得，

所以双曲线方程为，所以A正确，

双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以B正确，

由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，所以C错误，

由题意得，设为双曲线上任意一点，则，，

所以，

所以双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3，所以D正确，

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若直线和直线垂直，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求解.

【详解】直线和直线垂直，则有，解得.

故答案为：

14. 已知圆．若圆C与圆外切，则m的值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由两圆外切圆心距等于半径之和求解.

【详解】圆化为标准方程为，则圆心，半径.

圆，圆心，半径.

由两圆外切，有，即，解得.

故答案为：-11

15. 平面内一点到直线的距离为：．由此类比，空间中一点到平面的距离为__________．

【答案】

【解析】

【分析】类比可得空间中一点到平面的距离，从而计算可得.

【详解】解：依题意类比可得空间中一点到平面的距离

.

故答案为：

16. 二面角为，,是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为 _____．

【答案】

【解析】

【分析】将分解为，再求模即可.

【详解】由题意，∵二面角为，，，∴与夹角为，

∴与夹角为，

，

∴，即的长为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知，，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）-6

（2）-4

【解析】

【分析】

（1）利用向量共线的坐标表示，即得解；

（2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解；

【详解】解：（1），

∴，

∴.

（2），

∵，

∴，

∴，

∴.

【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

18. 已知圆经过点，，且___________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.

①在过直线与直线交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

（1）求圆的方程；

（2）求过点的圆的切线方程.

【答案】（1）；   

（2）切线方程为或

【解析】

【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；

（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论即可

小问1详解】

选①，由可得，所以，

设圆的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为，即

选②，直线恒过，

而圆E恒被直线平分，

所以恒过圆心，因为直线过定点，

所以圆心为，可设圆的标准方程为，

由圆E经过点，得，

则圆E的方程为

选③，设圆E的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为

【小问2详解】

因为，所以点P在圆E外，

若直线斜率存在，设切线的斜率为，

则切线方程为，即

由圆E的方程为可得圆心，半径为2，

所以圆心到切线的距离，解得，

所以切线方程为；

若直线斜率不存在，直线方程为，圆心到直线的距离为2，满足题意；

综上所述，过点的圆E的切线方程为或

19. 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题：

（1）求的模长；

（2）求，的夹角.

【答案】（1）；   

（2）90°.

【解析】

【分析】（1）根据空间向量线性的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可；

（2）根据空间向量夹角公式进行求解即可.

【小问1详解】

因为E，F，G是中点，所以，

因此，

因为正四面体所有棱长为1，

所以，

所以；

【小问2详解】

由（1）可知：，

同理，，

所以，的夹角为90°.

20. 如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．

【答案】万元．

【解析】

【分析】由，结合双曲线的定义可判断点M的轨迹是双曲线的右支，进而根据可求解.

【详解】如图所示，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直坐标系xOy，则，，．连接AM，AC．因为，

所以点M的轨迹是双曲线的右支．

因为，当M，A，C三点共线时等号成立，

又总费用为万元，

所以，所以修建这两条公路的最低总费用为万元．

21. 如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.

（1）证明：平面；

（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析    （2）存在，

【解析】

【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；

（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出.

【小问1详解】

证明：正方形中，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，

，且，又，

，又，，

，又，，

又平面，

平面；

【小问2详解】

解：如图，以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，

设点，，，

，

，

设平面的法向量为，

，

令，

显然，平面的法向量为，

，

即，即

即，解得或（舍），

所以存在一点，且.

22. 已知椭圆C：过点，且离心率．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）2

【解析】

【分析】（1）根据题意，列出关于a，b的方程，解方程可得答案；

（2）设直线l的方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，从而求得弦长，求得点P到直线l的距离，根据三角形的面积公式结合基本不等式求得答案.

小问1详解】

∵，∴,

又椭圆C：过点，

∴，∴，,

故所求椭圆方程为;

【小问2详解】

设l的方程为，，,

联立得,

由，解得

由韦达定理，得，,

则．

点P到直线l的距离,

∴,

当且仅当，即时等号成立,

∴面积的最大值为2.