【期中真题】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题.zip

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哈三中2022—2023学年度上学期2021级高二学年第三次验收考试数学试卷考试说明：（1）哈三中高二期中试题150分.（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷  （选择题，共60分）一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 椭圆的焦点坐标为（    ）A. 和 B. 和C. 和 D. 和【答案】B【解析】【分析】由椭圆方程可得焦点在轴上,利用求得焦点坐标即可【详解】由题,焦点在轴上,则,所以,则焦点坐标为和,故选:B【点睛】本题考查椭圆焦点坐标,属于基础题2. 抛物线的准线方程为A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.【详解】，抛物线的准线方程为，即，故选A .【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.3. 已知直线，，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行与斜率的关系即可求解.【详解】因，所以，即，解得或，经检验时，，重合，不满足题意；时，，两直线平行，满足题意；所以“”是“”的充要条件.故选:C.4. 如图，ABCD－EFGH是棱长为1正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，因为，所以，，，，，所以点P到AB的距离．故选：C.5. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于,两点，若，则（    ）A. 6 B. 7 C. 5 D. 8【答案】B【解析】【分析】根据椭圆定义，结合焦点三角形的周长与长轴的关系即可求解.【详解】由椭圆的方程可知：，则.由椭圆的定义可知：，，所以，则，故选：.6. 过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（    ）A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条【答案】D【解析】【分析】利用直线与双曲线联立组成的方程组仅有一组解，即可求得满足条件的直线共有4条.【详解】当过点的直线斜率不存在时，其方程为，直线与双曲线有且仅有一个公共点，满足要求；当过点的直线斜率存在时，其方程可设为，由，整理得当时，方程可化为，方程仅有一根，直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意；当时，方程可化为，方程仅有一根，直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意；当时，若方程仅有一组解，则，解之得此时方程为，整理得，则此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意综上，满足条件的直线共有4条故选：D7. 设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图像,将转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当共线时,取最小值为,算出结果即可.【详解】解:由题知圆:, 为抛物线焦点,为抛物线准线,则过点向作垂线垂足为,如图所示:则,根据抛物线定义可知,=,若求的最小值,只需求的最小值即可,连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,此时最小,为,,,.故选:B8. 已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.【详解】  不妨设点为第一象限的交点，则由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以当时，有最大值，最大值为，故选：B.【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．（二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. (多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为（    ）A. y2＝x B. y2＝8x C. y2＝－8x D. x2＝－8y【答案】AD【解析】【分析】【详解】当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.故选：AD10. 已知曲线的方程为，则（    ）A. 当时，曲线是半径为2的圆B. 存在实数，使得曲线的离心率为的双曲线C. 当时，曲线为双曲线，离心率为D. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据圆，双曲线和椭圆的定义，依次判断每个选项，AD正确，B选项方程无解排除，求出双曲线离心率排除C选项得到答案.【详解】当时，方程为，表示半径为的圆，A正确；若曲线表示双曲线，则，故或，当时，，无解，当时，，无解，B错误；当时，，曲线为双曲线，，C错误；曲线为焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，故D正确.故选：AD.11. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ）  A. B. 点E到直线的距离为C. 直线与平面所成的角的正弦值为D. 点到平面的距离为【答案】AC【解析】【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，则，，则，所以，故A正确；，则，所以，所以点E到直线的距离为，故B错误；因为平面，所以即为平面的一条法向量，则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；设平面的法向量为，则有，可取，则点到平面的距离为，故D错误.故选：AC.  12. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ）A. 椭圆的长轴长为B. 线段AB长度的取值范围是C. 面积的最小值是4D. 的周长为【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆性质可判断B；取特值，结合OA长度的取值范围可判断C；由椭圆定义可判断D.【详解】由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；，由椭圆性质可知，所以，B正确；记，则取，则，C错误；由椭圆定义知，，所以的周长，D正确.故选：ABD第Ⅱ卷  （非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上）13. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______________________．【答案】【解析】【分析】根据双曲线的简单几何性质可知，以原点为中心，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，即有，再根据以及即可求出.【详解】因为以原点为中心，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以,所以．故答案为：．14. 圆：与圆：的公切线条数为____________.【答案】3【解析】【分析】将两圆的公切线条数问题转化为圆与圆的位置关系，然后由两圆心之间的距离与两半径之间的关系判断即可.【详解】圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径.因为，所以两圆外切，所以两圆的公切线条数为3.故答案为：315. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，弦长为6，则直线的方程为______.【答案】或【解析】【分析】过抛物线的焦点的直线的方程分为两种情况，分别去求弦的长，综合两种情况即可求得直线的方程【详解】抛物线的焦点坐标为当过抛物线的焦点的直线斜率不存在时，其方程为，此时，不符合题意；当过抛物线的焦点的直线斜率存在时，设其方程为，设由，整理得，则，则，则，整理得解之得，则则直线的方程为或故答案为：或16. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是______.①曲线关于坐标原点对称；②的取值范围是；③曲线是一个椭圆；④曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.【答案】①【解析】【分析】根据曲线方程确定曲线的的几何性质，结合方程可确定曲线关于原点对称，根据表达式可确定的取值范围，以及根据方程分情况确定曲线对应的图象，再作出图形观察面积的大小.【详解】对于①，若点满足曲线的方程，则点也一定满足曲线的方程，所以曲线关于坐标原点对称，故①正确；对于②，，所以，故②错误；对于③，当时，，此时，当时，，此时，所以曲线由两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故③错误；对于④，因为椭圆的面积与椭圆的面积相等，作出曲线与椭圆，由图可知，曲线围成区域的面积大于椭圆围成区域的面积，所以曲线围成区域的面积大于椭圆围成区域的面积，故④错误.故答案为：①.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）求抛物线的标准方程.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）将已知点代入双曲线方程，然后可得；（2）由双曲线右焦点与抛物线的焦点相同可解.【小问1详解】因为双曲线过点，所以  所以，得又因为，所以所以双曲线的渐近线方程【小问2详解】由（1）得 所以  所以双曲线的右焦点是所以抛物线的焦点是所以，所以所以抛物线的标准方程18. 已知圆的方程为：，点.（1）求过点的的切线方程；（2）过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）或    （2）或【解析】【分析】（1）配方法求出圆心和半径，再根据点到直线的距离公式可求出斜率，可得直线方程；（2）根据弦长公式可求出圆心到直线的距离，进而求出直线方程.【小问1详解】，圆心当切线斜率不存在时，检验知不是切线；当切线斜率存在时，设解之：或0，故直线方程为：或【小问2详解】由弦长公式，当直线斜率不存在时，满足；当直线斜率存在时，设解之代入化简得：故直线方程为：或19. 已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.【答案】（1）    （2）1【解析】【分析】（1）找出焦点的坐标，根据已知条件建立方程组解出即可（2）分析直线斜率存在且不为0，设直线方程联立方程组利用韦达定理，利用中点公式建立方程组解出即可【小问1详解】由的焦点坐标为  由双曲线与有相同的焦点所以双曲线的焦点坐标为故，在双曲线中：    ①又双曲线经过点所以    ②解得：所以双曲线的方程为：【小问2详解】由题知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：由直线与双曲线交于两点，设所以 消去整理得：所以所以由的中点坐标为所以所以.20. 如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；    （2）【解析】【分析】（1）先由证得∥平面，同理证得∥平面，进而证得平面∥平面，即可证得平面；（2）先证得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由向量夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】由正方形的性质知：，又平面，平面，∥平面，，平面，平面，∥平面，，平面，平面∥平面，平面，平面；【小问2详解】平面平面，平面平面，平面，则平面，又，则平面，又，则两两垂直，以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由得：，则，设平面的法向量为，则，取得，又易得平面的一个法向量为，则，又二面角为锐角，则二面角的余弦值为.21. 已知动点P与平面上两定点，连线的斜率的积为定值．（1）试求出动点P的轨迹方程C；（2）设直线与曲线C交于M，N两点，判断是否存在k使得面积取得最大值，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）1（x≠±2），（2）见解析【解析】【分析】（1）由斜率之积即可求出轨迹方程；（2）把直线方程，与（1）中方程联立，利用根与系数关系，表示面积，求最值即可．【详解】解：（1）设P（x，y），有kPA•kPB得•整理可得1（x≠±2），∴C的方程为1（x≠±2），（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），其坐标满足 消去y并整理得（4k2+1）x2+8kx＝0，故，即，此时，直线方程为：【点睛】本题以斜率为载体，考查曲线方程的求解，关键是利用斜率公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆内三角形面积的最值问题．22. 已知，分别是椭圆的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为.为坐标原点，过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线的斜率为正时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)根据椭圆中之间的关系求解即可；(2)利用直线方程表示出的坐标，进而表示出，利用韦达定理将表示为关于的表达式，结合直线与椭圆的位置关系确定的范围，进而可求解.【小问1详解】由题可知解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设直线，，由得解得或（舍），且的直线方程为，的直线方程为，令解得，所以，同理，所以,由，可得所以即，因为，所以，所以，所以.的取值范围为.