高中3.1 椭圆同步练习题

这是一份高中3.1 椭圆同步练习题，共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题）
1. 若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 a，b，c，则其焦点到相应准线的距离 p 等于
A. a2cB. b2cC. b2aD. a2b

2. 椭圆 x225+y29=1 与 x29−k+y225−k=100 的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为
A. 13B. 12C. 23D. 34

11. 设 P 是椭圆 x25+y23=1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为
A. 22B. .23C. 25D. 42

12. 设椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30∘，则 C 的离心率为
A. 36B. 13C. 33D. 12

二、填空题（共5小题）
13. 若焦点在 x 轴上的椭圆 x24+y2m=1 的离心率为 12，则 m= ．

14. 椭圆 x24+y29=1 的焦距是 ．

15. 焦点的坐标分别是 0,−2，0,2，并且经过点 −32,52 的椭圆的方程为 ．

16. 如图，已知 F1，F2 是椭圆 M:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且 PF2⊥OF2，若 △F1F2P 为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为 ．

17. 已知 F1，F2 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1 的左、右焦点，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，B 两点，若 △ABF2 为正三角形，则该椭圆的离心率为 ．

三、解答题（共6小题）
18. 解答下列问题．
（1）中心在原点，两个焦点在 x 轴上的椭圆上有一点 P3,y，若点 P 到两焦点的距离分别为 6.5 和 3.5，求此椭圆方程；
（2）已知 P 是椭圆 x245+y220=1 在第一象限内的点，P 与两焦点 F1，F2 的连线互相垂直，求点 P 的横坐标及点 P 到两准线的距离．

19. 已知椭圆的中心在原点，焦距为 6，且经过点 0,4．求它的标准方程．

20. 我国载人航天飞船“神舟七号”发射圆满成功．已知“神舟七号”飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点，远地点离地面的距离分别为 200 公里，350 公里．设地球半径为 R 公里，求飞船轨道的方程．

21. 已知 A4,0，B2,2 是椭圆 x225+y29=1 内的两个点，M 是椭圆上的动点，求 ∣MA∣+∣MB∣ 的最大值和最小值．

22. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 上一点，∠F1PF2=120∘，∣PF1∣=2+3，∣PF2∣=2−3．
（1）求椭圆 C 的方程．
（2）求点 P 的坐标．

23. 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在 y 轴上，c=6，e=23；
（2）经过点 2,0，e=32．
答案
1. B
2. B
3. B
4. B【解析】由题意椭圆的标准方程是 x24+y236=1，
所以 b=2，短轴长为 2b=4．
5. D
6. D
7. D
8. B
【解析】由题意得，则
a=2，c=2−m，e=ca=2−m2=12，
化简后得 m=1.5．
9. A
10. A
【解析】设 E0,m，则直线 AE 的方程为 −xa+ym=1，由题意可知 M−c,m−mca，0,m2 和 Ba,0 三点共线，则 m−mca−m2−c=m2−a，化简得 a=3c，则 C 的离心率 e=ca=13．
11. C
【解析】由题意知 a2=5，a=5．由椭圆的定义可知，点 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=25．
12. C
13. 3
14. 25
15. y210+x26=1
16. 2−1
17. 33
18. （1） x225+4y275=1；
（2） 3，距离分别为 12，6．
19. （1）若椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1．
将点 0,4 代入，得 b=4．由 2c=6，解得 c=3．
所以 a2=b2+c2=25，从而椭圆方程为 x225+y216=1；
（2）若椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 y2a2+x2b2=1．
将点 0,4 代入，得 a=4．由 2c=6，解得 c=3，
b2=a2−c2=7，从而椭圆方程为 y216+x27=1．
综上所述，椭圆的标准方程为 x225+y216=1 或 y216+x27=1．
20. 如图所示，以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，
且令地心 F2 为椭圆右焦点，则轨道方程为焦点在 x 轴上的椭圆标准方程，
不妨设为 x2a2+y2b2=1a>b>0，
则地心 F2 坐标为 c,0，a2=b2+c2，
则 a−c=R+200,a+c=R+350, 解得 a=R+275,c=75,
所以 b2=R+200R+350，
所以轨道方程为 x2R+2752+y2R+200R+350=1．
21. 由已知得 A4,0 是椭圆的右焦点，设左焦点为 F−4,0，根据椭圆定义得 ∣MA∣+∣MB∣=10+∣MB∣−∣MF∣．因为 ∣∣MB∣−∣MF∣∣≤∣FB∣=210，所以 ∣MB∣−∣MF∣∈−210,210，故 ∣MA∣+∣MB∣ 的最小值和最大值分别为 10−210 和 10+210．
22. （1） 2a=PF1+PF2=4，
所以 a=2，
在 △PF1F2 中，由余弦定理可得 ∣F1F2∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2−2∣PF1∣∣PF2∣cs120∘，
所以 4c2=15，
所以 c=152，
b2=a2−c2=4−154=14,
故椭圆的方程为 x24+4y2=1．
（2） 设点 Pm,n，由题意可知 m>0，
S△PF1F2=12∣PF1∣∣PF2∣sin120∘=12×2+3×2−3×32=12×2c×∣n∣.
所以 n=±510．
将点 P 的坐标代入椭圆的方程可得 m24+15=1，解得 m=455，
故点 P455,510 或 P455,−510．
23. （1） 由 c=6，e=23 得，6a=23，解得 a=9，
因为 a2=b2+c2，
所以 b2=a2−c2=81−36=45，
因为焦点在 y 轴上，
所以椭圆的标准方程为 y281+x245=1．
（2） 由 e=32，得 ca=32，
设 a=2k，c=3kk>0，
则 b=a2−c2=2k2−3k2=k，
由于椭圆经过点为 2,0，即为椭圆的顶点，且在 x 轴上，
所以，若点 2,0 为长轴的顶点，则 a=2，
此时 2k=2，
所以 k=1，
所以 b=1，
则椭圆的标准方程为 x24+y2=1．
若点 2,0 为短轴的顶点，则 b=2，此时 k=2，
所以 a=4，
则椭圆的标准方程为 y216+x24=1．