高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程当堂达标检测题

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一、选择题（共11小题）
1. 圆心为 1,1 且过原点的圆的方程是
A. x−12+y−12=1B. x+12+y+12=1
C. x+12+y+12=2D. x−12+y−12=2

2. 已知圆的方程为 x2+y2−4x=1，则它的圆心坐标和半径的长分别是
A. 2,0，5B. 2,0，5C. 0,2，5D. 0,2，5

3. 以 C2,−3 为圆心，且过点 B5,−1 的圆的方程为
A. x−22+y+32=25B. x+22+y−32=65
C. x+22+y−32=53D. x−22+y+32=13

4. 圆心为 1,−1 且过原点的圆的方程是
A. x+12+y−12=1B. x+12+y+12=1
C. x−12+y+12=2D. x−12+y−12=2

5. 过点 A1,−1 与 B−1,1 且圆心在直线 x+y−2=0 上的圆的方程为
A. x−32+y+12=4B. x+32+y−12=4
C. x+12+y+12=4D. x−12+y−12=4

6. 方程 x4−y4−4x2+4y2=0 所表示的曲线是
A. 两条相交的直线B. 两条相交直线和两条平行直线
C. 两条平行直线和一个圆D. 两条相交直线和一个圆

7. 经过点 1,0 且圆心是两直线 x=1 与 x+y=2 的交点的圆的方程为
A. x−12+y2=1B. x−12+y−12=1
C. x2+y−12=1D. x−12+y−12=2

8. 若原点在圆 x−32+y+42=m 的外部，则实数 m 的取值范围是
A. −∞,25B. −∞,5C. 0,25D. 0,5

9. 经过点 A5,2，B3,2，圆心在直线 2x−y−3=0 上的圆的方程为
A. x−42+y−52=10B. x+42+y−52=10
C. x−42+y+52=10D. x+42+y+52=10

10. 若点 1,1 在圆 x−a2+y+a2=4 的内部，则实数 a 的取值范围是
A. 0,1B. −1,1
C. −1,1D. −∞,−1∪1,+∞

11. 已知一圆的圆心为点 2,−3，一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上，则此圆的方程是
A. x−22+y+32=13B. x+22+y−32=13
C. x−22+y+32=52D. x+22+y−32=52

二、填空题（共6小题）
12. 过三点 A1,3，B4,2，C1,−7 的圆的标准方程是 ．

13. 设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2−2ay−2=0 相交于 A，B 点，若 ∣AB∣=23，则圆 C 的面积为 ．

14. 已知点 A−2,0，B2,2，那么以线段 AB 为直径的圆的方程为 ．

15. 圆 x2+y2=2 的半径是 ．

16. 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M0,5 在圆 C 上，且圆心到直线 2x−y=0 的距离为 455，则圆 C 的方程为 ．

17. 已知圆 x−62+y−82=4 的圆心为 C，O 为坐标原点，则以 OC 为直径的圆的标准方程为 ．

三、解答题（共7小题）
18. 方程 x+a2+y+b2=m2 表示什么图形?

19. 圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱的跨度 AB=20 米，拱高 OP=4 米，在建造时每隔 4 米需用一个支柱支撑，求支柱 A2B2 的长度（精确到 0.01 米）．

20. 分别根据下列条件，求相应圆的方程．
（1）圆心为 C−32,3，半径为 R=3．
（2）圆心为 C2,1，过点 A−1,2．
（3）与 x 轴相交于 A1,0，B5,0 两点，且半径等于 5．

21. 已知圆满足：①截 y 轴所得弦长为 2；②被 x 轴分成两段弧，其弧长的比
为 3:1；③圆心到直线 l:x−2y=0 的距离为 55，求该圆的方程．

22. 求圆心在直线 x−2y−3=0 上，且过点 A2,−3，B−2,−5 的圆的标准方程．

23. 求圆心在直线 x−2y−3=0 上，且过点 A2,−3，B−2,−5 的圆的标准方程．

24. 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M2,0，AB 边所在直线的方程为 x−3y−6=0，点 T−1,1 在 AD 边所在直线上．
（1）求 AD 边所在直线的方程；
（2）求矩形 ABCD 外接圆的方程．
答案
1. D
【解析】由题意知圆半径 r=2，
所以圆的方程为 x−12+y−12=2．
2. B
【解析】圆的方程为 x2+y2−4x=1，即 x−22+y2=5，
则它的圆心坐标和半径的长分别是 2,0，5．
3. D
【解析】半径 r=5−22+−1+32=32+22=9+4=13，
则以 C2,−3 为圆心的圆心方程为 x−22+y+32=13．
4. C
【解析】圆心为 1,−1 且过原点的圆的半径为 1−02+−1−02=2，故圆心为 1,−1 且过原点的圆的圆的方程为 x−12+y+12=2，故选：C．
5. D
6. D
7. B
【解析】由 x=1,x+y=2 得 x=1,y=1, 即所求圆的圆心坐标为 1,1．
由该圆过点 1,0，得其半径为 1，故圆的方程为 x−12+y−12=1．
8. C
【解析】根据题意，
圆 x−32+y+42=m 的圆心为 3,−4，半径为 m，
必有 m>0．
若原点在圆 x−32+y+42=m 的外部，
则 0−32+0+42>m，
则有 m<25．
综合可得 0故选C．
9. A
【解析】设圆心为 a,b，半径为 r，
则 2a−b−3=0，a−52+b−22=r2，a−32+b−22=r2，
解得 a，b，r 的值即可．
10. C
【解析】因为点 1,1 在圆 x−a2+y+a2=4 的内部，
所以 1−a2+1+a2<4，解得 −1故选C．
11. A
【解析】设此直径两端点分别为 a,0，0,b，
由于圆心坐标为 2,−3，
所以 a=4，b=−6，
所以圆的半径 r=4−22+0+32=13，
从而所求圆的方程是 x−22+y+32=13．
12. x−12+y+22=25
13. 4π
【解析】圆 x2+y2−2ay−2=0 可化为 x2+y−a2=a2+2，
所以圆心为 0,a．
由 32+∣0−a+2a∣12+−122=R2=a2+2，得 a2=2，所以 S=πR2=4π．
14. x2+y−12=5
【解析】以 AB 为直径的圆，圆心为 AB 的中点 0,1，半径为 12AB=1242+22=5，
故所求圆的方程为 x2+y−12=5．
15. 2
【解析】因为圆的标准方程中 r2=2，所以圆的半径 r=2．
16. x−22+y2=9
【解析】设圆心 Cm,0m>0，则 ∣2m∣5=455，
解得 m=2，则圆 C 为 x−22+y2=r2．
又点 0,5 在圆 C 上，代入解得 r2=9，
故圆 C 的方程为 x−22+y2=9．
17. x−32+y−42=25
【解析】圆心 C 的坐标为 6,8，
则 OC 的中点坐标为 3,4，
半径 r=32+42=5，
所以以 OC 为直径的圆的方程为 x−32+y−42=25．
18. 当 m=0 时，表示点 −a,−b；当 m≠0 时，表示圆心为 −a,−b，半径为 ∣m∣ 的圆．
19. 约 3.86 米．
20. （1） x+322+y−32=3．
（2） x−22+y−12=6．
（3） x−32+y−12=5 或 x−32+y+12=5．
21. x+12+y+12=2 或 x−12+y−12=2
22. 方法一：设所求圆的标准方程为 x−a2+y−b2=r2．
由题意得 2−a2+−3−b2=r2,−2−a2+−5−b2=r2,a−2b−3=0, 解得 a=−1,b=−2,r2=10.
故所求圆的标准方程为 x+12+y+22=10．
方法二：设所求圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心坐标为 −D2,−E2．
由题意得 −D2−2×−E2−3=0,4+9+2D−3E+F=0,4+25−2D−5E+F=0, 解得 D=2,E=4,F=−5.
故所求圆的方程为 x2+y2+2x+4y−5=0，即其标准方程为 x+12+y+22=10．
方法三：设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x−2y−3=0 上，所以可设点 C 的坐标为 2t+3,t．
因为该圆经过 A，B 两点，所以 ∣CA∣=∣CB∣，
所以 2t+3−22+t+32=2t+3+22+t+52，解得 t=−2．
所以圆心为 C−1,−2，半径 r=10．故所求圆的标准方程为 x+12+y+22=10．
方法四：因为线段 AB 的中点为 0,−4，kAB=−3−−52−−2=12，
所以弦 AB 的垂直平分线的斜率 k=−2，
所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+4=−2x，即 y=−2x−4．
由 y=−2x−4,x−2y−3=0, 得 x=−1,y=−2, 即圆心为 −1,−2，
所以半径 r=−1−22+−2+32=10，
所以所求圆的标准方程为 x+12+y+22=10．
23. 方法一：设点 C 为圆心，
因为点 C 在直线 x−2y−3=0 上，
所以可设点 C 的坐标为 2a+3,a．
又因为该圆经过 A，B 两点，
所以 CA=CB．
所以 2a+3−22+a+32=2a+3+22+a+52，解得 a=−2．
所以圆心坐标为 C−1,−2，半径 r=10．
故所求圆的标准方程为 x+12+y+22=10．
方法二：设所求圆的标准方程为 x−a2+y−b2=r2．
由条件知 2−a2+−3−b2=r2,−2−a2+−5−b2=r2,a−2b−3=0, 解得 a=−1,b=−2,r2=10.
故所求圆的标准方程为 x+12+y+22=10．
方法三：线段 AB 的中点为 0,−4，kAB=−3−−52−−2=12，
所以弦 AB 的垂直平分线的斜率 k=−2，
所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+4=−2x，即 y=−2x−4．
故圆心是直线 y=−2x−4 与直线 x−2y−3=0 的交点，
由 y=−2x−4,x−2y−3=0, 得 x=−1,y=−2. 即圆心为 −1,−2，
圆的半径为 r=−1−22+−2+32=10，
所以所求圆的标准方程为 x+12+y+22=10．
24. （1） 因为 AD⊥AB，
所以 kAD⋅kAB=−1，
所以 kAD=−3．
因为 T−1,1 在 AD 边所在直线上，
所以 lAD：y−1=−3x+1，即 3x+y+2=0．
（2） 由 3x+y+2=0,x−3y−6=0, 得 A0,−2 由题意可知矩形 ABCD 外接圆的圆心即为 M2,0，且外接圆过点 A0,−2，则 r=AM=22，
所以外接圆的方程为 x−22+y2=8．