山西省临汾市洪洞县向明中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷

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考试时间：120分钟；考试分数：150分；命题人：解慧明
一、单选题
★1．有下列说法:
①若，则与，共面；
②若与，共面，则=x+y；
③若=x+y，则P，M，A，B共面；
④若P，M，A，B共面，则=x+y.
其中正确的是（ ）
A．①②③④
B．①③④
C．①③
D．②④
★2．在空间直角坐标系中，若点关于z轴的对称点的坐标为，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
★3．已知向量，，若与互相垂直，则的值为（ ）
A．－1 B．2 C． D．1
★4．在空间直角坐标系中，，则的值是（ ）
A． B． C．D．
★★5．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ）
B．
C．
D．
★★6．已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
★7．已知，，与共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
★★8．在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
★★9．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若＝，则＝
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若＝－且＝－，则=
D．若与共线，与共线，则与共线
★★10．已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A．
B．
C．
D．
★★11．若，，是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
★★12．如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
(第12题) （第16题） （第17题）
A． B．
C．向量与的夹角是. D．异面直线与所成的角的余弦值为.
三、填空题
★13．已知两个向量，若，则m的值为 .
★14．已知，，则向量与的夹角为 .
★15．已知向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），若，则实数t的值为 .
★★16．已知线段垂直于三角形所在的平面，且，为垂足，为的中点，则的长为 .
四、解答题
★17．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
18．已知，，．求：
★(1)； ★(2)．
19．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点．

★(1)求证：平面；
★★(2)试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论．
20．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．
★（1）求证：；
★★（2）求异面直线与所成角的余弦值．
21．已知在平行六面体中，，，，且.
★（1）求的长；
★★（2）求与夹角的余弦值.
22．如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，．
★★(1)若点F为DC的中点，求；
★★(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值．
参考答案：
1．C
【来源】6.1.3共面向量定理（1）
【分析】利用空间向量共面定理逐一判断即可.
【详解】若，共线，由=x+y知一定与，共面，
若，不共线，则满足共面定理，与，共面，①对；
同理③对；若与，共面，且，共线，则不一定有=x+y，故②不对；
同理④不对，
故选：C.
2．A
【来源】山东省潍坊市诸城第一中学2022-2023学年高二下学期2月月考数学试题
【分析】根据给定条件，求出点M关于z轴对称点坐标，再列式计算作答,
【详解】依题意，点关于z轴的对称点，
于是得，解得，
所以.
故选：A
3．B
【来源】江苏省宿迁市沭阳塘沟高级中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题
【分析】根据与互相垂直，可得，再根据数量积的坐标运算即可得解.
【详解】解：因为与互相垂直，
所以，
即，解得.
故选：B.
4．D
【来源】广东省佛山市南海区桂华中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段测试数学试题
【分析】先求坐标，再根据向量数列积公式求解即可．
【详解】由题意得，
所以
故选：D
5．A
【来源】山东省烟台市龙口市龙口第一中学东校2023-2024学年高二上学期开学数学试题
【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.
【详解】
=,
故选：A.
6．C
【来源】新疆乌鲁木齐市第八中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题
【分析】设与夹角为，先利用向量的夹角公式求出，再利用同角三角函数的关系可求出的值.
【详解】设与夹角为，，
因为是空间的一个单位正交基底，且，
所以，
所以，
因为，
所以，
故选：C
7．A
【来源】1.1.1空间向量及其线性运算（分层作业）（题型分类基础练 能力提升综合练）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）
【分析】利用空间向量共线性质求参数的值.
【详解】因为，共线，
则，
∴，
∴，
故选：A．
8．D
【来源】突破1.1 空间向量及其运算（课时训练）
【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解．
【详解】解：由题意，建立如图的空间坐标系，
底面为正方形，，，底面，
点，， ， ，
则，，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．
9．AC
【来源】模块三 专题1 空间向及其运算 A基础卷（人教B）
【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.
【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；
将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；
若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；
若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.
故选：AC.
10．AC
【来源】辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题
【分析】直接利用向量求出向量的模，进一步求出单位向量．
【详解】解：由于向量，
所以
根据单位向量的关系式，
可得或．
故选：．
11．ABD
【来源】突破1.2 空间向量基本定理（课时训练）
【解析】根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可．
【详解】解：对于中、、，
中、、，
中、、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；
对于，、、，
满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底．
故选：ABD．
【点睛】本题考查了空间向量共面的判断与应用问题，属于基础题．
12．AB
【来源】1.1.2 空间向量的数量积运算 精讲（4大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）
【分析】根据题意，引入基向量，分别用基向量表示，利用向量求长度的计算公式，计算可得A正确；利用向量证垂直的结论，计算可得B正确；利用向量求夹角公式，计算可得CD错误.
【详解】设，因为各条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，
所以，
因为，所以，，故A正确；
由，所以，
所以，故B正确；
因为，且，所以
，所以其夹角为，故C错误；
因为，，
，
，
所以，故D错误.
故选：AB.
13．
【来源】山西省名校联考2022-2023学年高二上学期期末数学试题
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式计算求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：.
14．/
【来源】1.3.2 空间向量运算的坐标表示（AB分层训练）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破 分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）
【分析】运用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
15．﹣8
【来源】练习10 空间向量及其运算-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（苏教版）
【解析】利用空间向量共线定理直接求解即可．
【详解】∵向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），，
∴，
解得t＝﹣8，
∴实数t的值为﹣8．
故答案为：﹣8．
16．
【来源】3.3空间向量的坐标表示（作业）（夯实基础 能力提升）-【教材配套课件 作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选修第一册）
【分析】则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设求得，即可求出的长.
【详解】因为线段垂直于三角形所在的平面，且，
则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为在上，所以可设，先设，
所以，，
，所以，
，，
因为，所以，解得：，
，，
则的长为.
故答案为：.
17．＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
【来源】1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精讲）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第一册）
【分析】以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可.
【详解】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．
则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
18．(1)
(2)
【来源】第02讲 空间向量的坐标表示-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）
【分析】(1)根据向量的加减运算法则，即可得；（2）根据数乘与向量的加减运算法则，即可得．
(1)
解：，
；
(2)
解：．
19．(1)证明见解析；
(2)为棱的中点时，平面，证明见解析.
【来源】山东省东营市广饶县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题
【分析】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，借助空间位置关系的向量证明求解作答.
（2）设出点M的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.
【详解】（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
于是得，因此，平行于平面BEF，又平面BEF，
所以AG//平面BEF.
（2）依题意，设，，则，因平面BEF，，
则当且时，DM⊥平面BEF，由（1）知，，解得，
所以当，即M为棱的中点时，DM⊥平面BEF.
20．（1）详见解析；（2）．
【来源】宁夏银川三沙源上游学校2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（理）试题
【分析】（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，计算得，即可证明结论；
（2）先求出，再利用向量夹角公式即可得出.
【详解】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，
以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，．因为为中点，所以，
所以，，所以，所以．
（2）由（1）得，，，，
，所以与所成角的余弦值为．
【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
21．（1）；（2）.
【来源】课时1.2 空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019选择性必修第一册）
【分析】(1)根据的模与夹角，利用数量积公式先求的值，再根据求得结果；
（2）由先平方，再开平方即可.
【详解】（1）由题意得||=||=||=1，·=·=·=，
∵=-=-，=-，
∴·=·(-)=-+=.
（2）∵=-=(+)-，
∴==2+2+2+·-·-·=，
∴||=.
22．（1）；（2）.
【来源】专练03 专题强化训练一 空间向量的运算及应用-2021-2022学年高二数学上册同步课后专练（人版A版选择性必修第一册）
【解析】（1）由空间向量的加法法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，由此可求得的长；
（2）计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值，即可得解.
【详解】（1）由题可知，，
那么
，
因此，的长为；
（2）由题知，，
则，
，
所以，.
【点睛】本题考查利用空间向量法计算线段长，同时也考查了利用空间向量法计算向量夹角的余弦值，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.
23．(1)
(2)
【来源】3.1空间直角坐标系测试卷-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册
【分析】（1）可证，再建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后可求夹角的余弦值.
（2）设，则可用表示的坐标，再利用可求，从而可得两条线段的比值.
【详解】（1）因为为等腰直角三角形，，，所以，
又，，所以．
而，，故，
因，平面，故平面.
以点C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，．
则，，
所以．
（2）由（1）知，设，
而，所以，
所以，所以，
又，
因为，故，
所以，解得，
所以．