江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学试题（原卷+解析）

这是一份江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学试题（原卷+解析），共20页。试卷主要包含了设过抛物线C等内容，欢迎下载使用。

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卷交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。
4．作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝
A．{x|0＜x≤16} B．{x|1＜x≤16} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x≤2}
2．已知复数z满足|z－1|＝|z－i|，且eq \f(1,z－1)纯虚数，则z＝
A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i
3．已知数列{an}满足an＋1＝(－1)nan，且a1＝1，则a18＋a19＝
A．－2 B．0 C．1 D．2
4．2022年是党的二是大召开之年，是开启新百年征程的一年，为突出展现党的十八大以来十年间的非凡成就，某校团委开展“非凡十年非凡成就”宣讲活动，讲述祖国各地发生的沧桑巨变，拟安排甲、乙等5位“校园名嘴”到4个班级进行宣讲，每位“校园名嘴”都要宣讲，每班至少安排一人，则甲、乙不在同一班级宣讲的概率为
A．eq \f(9,10) B．eq \f(4,5) C．eq \f(3,4) D．eq \f(2,5)
5．已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为1，eq \\ac(\S\UP7(→),AO)＝eq \f(1,2)eq \\ac(\S\UP7(→),AB)＋eq \f(1,2)eq \\ac(\S\UP7(→),AC)，eq \\ac(\S\UP7(→),BA)在eq \\ac(\S\UP7(→),BC)上的投影向量为eq \f(1,4)eq \\ac(\S\UP7(→),BC)，则eq \\ac(\S\UP7(→),OA)·eq \\ac(\S\UP7(→),BC)＝
A．eq －\r(,3) B．－1 C．1 D．eq \r(,3)
6．设过抛物线C：y2＝x的焦点的直线交C于A，B两点(A在x轴上方)，过C的顶点和点A的直线交C的准线于D，若点A，D的纵坐标之比为－4，则直线AB的斜率为
A．eq \f(3,4) B．eq \f(5,4) C．eq \f(4,3) D．eq \f(5,3)
7．已知直线y＝k1x与y＝k2x(k1＞k2)曲线y＝ax＋2ln|x|(a∈R)的两条切线，则k1－k2＝
A．eq \f(4,e) B．2a C．4 D．无法确定
8．已知三棱锥P－ABC的外接球半径为5，AB＝6，PC＝8，则三棱锥P－ABC的体积的最大值为
A．48 B．56 C．64 D．72
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设a，b，c∈R，下列命题正确的是
A．若a＞b，则a2＞b2 B．ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＜b＜0，eq \f(1,a)＞\f(1,b) D．若c＞a＞b，则eq \f(a,c－a)＞\f(b,c－b)
10．设α，β是两个不重合的平面，下列选项中，是“α∥β”的必要不充分条件的是
A．α内存在无数条直线与β平行 B．存在平面γ，满足γ∥α，且γ∥β
C．存在直线l与α，β所成的角相等 D．α内存在不共线的三个点到β的距离相等
11．将函数y＝cs(x－eq \f(π,6))的图象上所有点的横坐标变为原来的ω(ω＞0)倍，纵坐标不变，得到的函数图象恰与函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象重合，则
A．ω＝2 B．φ＝eq \f(π,3)
C．直线x＝eq \f(π,6)是曲线y＝f(x)的对称轴 D．(eq \f(π,3)，0)是曲线y＝f(x)的对称中心
12．已知函数f(x)及其导数f′(x)的定义域均为R，对任意的实数x，y，恒有f(x＋y)＝f(x)(1－y)＋f(y)f(1－x)，f(1)＝1，f(2)＝0，则
A．f(3)＝－1 B．f′(0)＝0 C．f(－1)＝f(5) D．f′(－1)＝f′(5)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．请写出一个圆心在直线y＝x上，且与直线y＝6相切的圆的方程 ▲ ．
14．已知x，y之间的一组数据如下表：
则回归直线必过的一个定点坐标是 ▲ ；已知线性回归方程ŷ＝x＋中，x每增加1个单位时y平均的增加0.77，则当x＝6时，y＝ ▲ ．(第一空2分，第二空3分)
15．若函数f(x)＝EQ \B\lc\{(\a\al(x－1，x＜a，,1－|x－2a|，x≥a．))存在最大值，则实数a的取值范围是 ▲
16．记Sn为数列{an}的前n项和，已知对n∈N*，an＋an＋1＝2n＋1，且存在k∈N*，Sk＝S k＋1＝210，则a1的取值集合为 ▲ ．(用列举法表示)
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn＋1}是公比为2的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式：
(2)求数列{nan}的前n项和Tn．
18．(12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2＝2(a2－b2)．
(1)求证：sinC＝4sinBcsA；
(2)若tan(A－B)＝EQ \F(1,2)，求tanA．
19．(12分)
某厂生产一种零件，假设该零件的尺寸(单位：mm)服从正态分布N(30，σ2)(σ＞0)，尺寸不大于29.95mm的概率为eq \f(1,52)，某客户向该厂预定1000件该种零件，要求零件的尺寸误差小于0.05mm．
(1)为完成订单且避免过度生产，你认为该厂计划生产多少件零件最为合理?
(2)实际投产时，技术人员微调了该种零件的生产工艺．微调后，当生产了1020件零件时恰好完成订单．请结合(1)的结果，利用独立性检验判断能否有95%的把握认为微调与零件的尺寸误差有关．
附：χ2＝EQ \F(n(ad－bc)\s\up3(2),(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d．
20．(12分)
如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，PA＝2，BC＝1．
(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值的最大值．
21．(12分)
已知双曲线C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，左右顶点分别为A，B，且它们到渐近线的距离为eq \f(\r(,3),2)．
(1)求C的方程；
(2)设点P，Q在C的右支上，直线AP，BQ在y轴上的截距之比为1：3，求证：直线PQ过定点．
22．(12分)
已知a＞1，x0是函数f(x)＝xex－asinx在区间(0，eq \f(π,2))上的极值点．
(1)若函数y＝－extanx的图象过点(x0，f(x0))，求x0；
(2)求证：f(x)在区间[0，＋∞)上存在两个零点x1，x2，且x1＋x2＜2x0．
x
1
2
3
4
5
y
4.3
5.4
6.1
6.7
7.5
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.005
k
2.706
3.841
7.879