2024金华一中高一上学期10月月考数学试题含解析

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由补集和交集的定义求解即可.
【详解】由题可得，则.
故选：C
2. 给出下列关系式，错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合之间的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，根据元素与集合间的关系，可得，所以A正确；
B中，根据空集是任何集合的子集，可得，所以B正确；
C中，根据集合与集合间的关系，可得，所以不正确；
D中，根据集合的定义，可得，所以D正确.
故选：C.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，求解即可.
【详解】依题意可得，解得，
所以函数的定义域是.
故选：B.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
【详解】解：因为，所以，
，，
或，
当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；
当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
5. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一元一次不等式求得，且；由此化简二次不等式并求出解集.
【详解】由关于x的不等式的解集是，
得且，
则关于x的不等式可化为，
即，
解得：或，
所求不等式的解集为：.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题.
6. 用一架两臂不等长的天平称黄金，先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金（ ）
A. 大于B. 等于C. 小于D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】由杠杆原理与基本不等式求解
【详解】设左右两臂的长度为，两次取的黄金重量为克，显然，
则，化简得，由基本不等式得
故选：A
7. 对任意，，都有，则实数的最大值为
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】原不等式化为，换元得到恒成立，结合二次函数图像的性质列式求解即可.
【详解】∵，，∴
令，∴，不妨设
∴或，解得：或
综上：，∴的最大值为
故答案为B.
【点睛】本题主要考查学生对于齐二次不等式（或方程）的处理方法，将多变量问题转化成单变量问题，进而利用二次函数或者基本不等式进行求解.
8. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把转化为，再将，根据基本不等式即可求出．
【详解】，且，
，
，
，
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为，
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的性质及基本不等式一一判定即可.
【详解】对于A项，，
因为，所以，即A正确；
对于B项，，由上可知，即B正确；
对于C项，，即C错误；
对于D项，，当且仅当时取得等号，
又，所以，即D正确.
故选：ABD
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 与是同一个函数
C. 函数的值域为
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法令，求出的值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D..
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误；
对于C，函数的定义域为，
函数，令，则，
所以，所以函数的值域为，故C错误；
对于D，若函数的定义域为，可得，则函数的定义域为，故D正确.
故选：AD.
11. 若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ）
A. 的取值范围为B. 的取值范围是
C. 的取值范围是D. 的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD；
【详解】由，两式相加得，即，故A正确；
由，得，又，两式相加得，即，故B正确；
设，
所以，解得，则，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，故C正确，D错误.
故选：ABC.
12. 若，，且，下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为6
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，可通过直接使用基本不等式去求解mn的最大值；选项B，可使用“1”的代换，从而构造出乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式求解；选项C，首先先将扩大，然后再让式子乘以两个分式分母组成的和，构造出乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式求解，选项D，可直接求解出该式子的最小值，从而完成判断求解.
【详解】选项A，因为，，
所以，当且仅当，即时等号成立，故该选项正确；
选项B，因为，，
当且仅当，即时等号成立，故该选项不正确；
选项C，，
当且仅当，即时等号成立，
故该选项正确；
选项D，，当且仅当，
即时等号成立，故该选项正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
在中，将x换成x-1,代入即得f(x).
【详解】在中，将x换成x-1，
可得，
故答案为：
【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了学生综合分析问题的能力，属于基础题.
14. 已知集合，，且，则___________．
【答案】3或
【解析】
【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质，即可求得答案.
【详解】因为，，
故，
又，若，若，则；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
当时，，，符合题意，
故或，
故答案为：或
15. 命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是______.
【答案】
【解析】
【分析】方程变形为，转化为函数与与有且仅有一个交点，依据，，分类讨论，数形结合，求解a的范围即可
【详解】由得：；
当时，，则，解得：,∵，，满足题意；
当时，；若存在唯一的，使得成立，则与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解得：，则；
当时，,结合图象可得：，解得：，则；
综上所述：原命题成立的充要条件为，
故答案为：-116. 定义为与x距离最近的整数（当x为两相邻整数算术平均数时，取较大整数），令函数，如：，，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】首先确定各相邻整数算术平均数在中哪两个数之间，再根据函数新定义判断的对应值，进而求目标式的值.
【详解】，，
，，
，，
，，
，
所以，，，
，，，
，，，
，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：找到各相邻整数算术平均数在中的位置为关键.
四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，再把代入，利用补集、交集定义求解作答.
（2）由已知可得，再利用集合的包含关系分类求解作答.
【小问1详解】
解不等式，得，即，
当时，，，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，由，得，
当，即时，，满足，因此；
当，即时，，即有，
则，解得，因此，
所以实数取值范围.
18. 要设计一张矩形广告，该广告含有左､右全等的两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为200，四周空白的宽度为2，两栏之间的中缝空白的宽度为4.请设计广告的长与宽的尺寸，使矩形广告面积最小，并求出最小值.
【答案】广告的长为28，长为14时，可使广告的面积最小，最小值为392
【解析】
【分析】
先设一个矩形栏目的长为和广告的面积为S，接着用表示出栏目的宽、广告的长、广告的宽；再建立函数关系，接着由基本不等式求面积的最小值；最后判断等号成立的条件并作答.
【详解】解：设一个矩形栏目的长为x，广告的面积为S.
则两栏的面积之和为200，得宽为，广告的长为，宽为，其中
广告的面积，
当且仅当即时，等号成立，
此时广告的宽为，高为，S取得最小值392.
答：广告的长为28，长为14时，可使广告的面积最小，最小值为392
【点睛】本题考查根据实际问题建立函数关系、利用基本不等式求最值，是基础题.
19. （1）已知，，试比较与的大小并证明；
（2）如果x，，比较与的大小并证明.
【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】（1）（2）应用作差法比较代数式的大小关系即可.
【详解】（1），证明如下：
，
若，则，故，即；
若，则；
若，则，故，即；
综上，.
（2），证明如下：
，
当且仅当时等号成立，故.
20. 设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）讨论和两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数的取值范围；
（2）按，和三种情况分类讨论，当，比较和1的大小，分情况写出不等式的解集．
【小问1详解】
由得，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，满足，
即，解得；
故实数的取值范围是．
【小问2详解】
不等式，等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上：当时，等式的解集为或
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
21. 已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．
（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用是多少元？
（2）设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？
【答案】（1）88元；（2），天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少；
【解析】
【分析】（1）首先求出第天、第天剩余配料的重量，再根据题意计算可得；
（2）分和，两种情况讨论，分别求出函数解析式，设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元，即可得到的解析式，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：（1）第8天剩余配料（千克），
第9天剩余配料（千克），
当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用（元，
即当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用是88元．
（2）①当且时，；
②当且时，，
．
所以，
设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元，
当且时，，
当且时，，
当且时，当且仅当时，有最小值（元，
当且时，
当且仅当即时取等号，
当时有最小值393元，
即天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少；
22. 如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.
（Ⅰ）若，，求的定义域；
（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值；
（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可；
（Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可；
（Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可.
【详解】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：.
∴的定义域为；
（Ⅱ）当时，，
（1）当，即时，的定义域为，值域为，
∴时，不是“同域函数”.
（2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”.
∴.
综上所述，的值为.
（Ⅲ）设的定义域为，值域为.
（1）当时，，此时，，，从而，
∴不是“同域函数”.
（2）当，即，
设，则的定义域.
①当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，，
又∵，∴的取值范围为.
②当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，
此时，由，可知不成立.
综上所述，的取值范围为