中考数学二轮培优专题09 倍长中线模型（2份打包，原卷版+解析版）

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倍长中线模型模型：
【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE
1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE
2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE
证明：
∵点D为∆ABC中BC边中点
∴BD=DC
在∆ABD和∆ECD中
AD=ED
∠1=∠2 ∴∆ABD≌∆ECD（SAS） ∴∠ABD=∠ECD ∴AB∥CE
BD=DC
在∆ADC和∆EDB中
AD=ED
∠ADC=∠BDE ∴∆ADC≌∆EDB（SAS） ∴∠EBD=∠ACD ∴AC∥BE
BD=DC
【倍长类中线】已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,
连接EC，则∆BDF≌∆CDE
【基础过关练】
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，中线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 边的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为( )

A．30B．24C．20D．48
4．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2 SKIPIF 1 < 0 ，则∠BCD＝_____．
5．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中线．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
6．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中线，点D在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
7．如图所示， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线， SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ．
求证： SKIPIF 1 < 0 ．
8．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【提高测试】
1．如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）．
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
2．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 延长线上一点， SKIPIF 1 < 0 交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．以上都有可能
3．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．如图，在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，F为 SKIPIF 1 < 0 边的中点，点D，E分别在 SKIPIF 1 < 0 边上运动，且保持 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．在此运动变化的过程中，下列结论：① SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形；②四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积保持不变；③ SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①C．②D．①②
5．如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S△DGF的值为（ ）
A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．9cm2
7．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边的中线，E为 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点F，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为____________．
8．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．
9．如图， SKIPIF 1 < 0 中，点D在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，点E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______________．
10．如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点M为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ______．
11．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
12．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．
13．（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
14．已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2＋FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．
15．已知：如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 .求证： SKIPIF 1 < 0 .
16．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
17．如图，在 SKIPIF 1 < 0 ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
18．如图，已知AD是 SKIPIF 1 < 0 的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．
19．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．
20．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．求证：AD⊥AC
21．如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 .
22．如图，分别以 SKIPIF 1 < 0 的边向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，
求证：（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ．