四川省资阳市乐至县乐至中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

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一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.石室中学高一年级有男生570名，若用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取一个容量为110的样本其中女生53人，则高一年级学生总数为（ ）
A.950B.1000C.1050D.1100
2.直线l的方向向量为，则该直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
3.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则B.若，，，则
C.若且，则D.若，，，则
5.在中，，，M为边上的中点，且的长度为，则（ ）
A.B.4C.D.6
6.十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）
A.在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高B.在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当
C.甲的各项得分比乙的各项得分更均衡D.甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大
7.已知中，，，，O为的外心，若，则m的值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知点，在直线和y轴上各找一点P和Q，则的周长的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A.事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件
B.事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C.事件“甲、乙都投得6点”与事件“甲、乙不全投得6点”是对立事件
D.事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
10.直线l过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l在y轴上的截距可能是（ ）
A.3B.0C.D.1
11.设，为夹角为的两个单位向量，则（ ）
A.B.的最小值为
C.的最小值为D.对任意的实数t有恒成立
12.如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A.四面体PBCQ的体积的最大值为
B.的取值范围是
C.若二面角的平面角为θ，则
D.若三棱锥的外接球表面积为S，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.2023年四川省高考分数公布后，石室中学再续辉煌，某基地班的12名同学成绩分别是（单位：）：673，673，677，679，682，682，684，685，687，691，697，705，则这12名学生成绩的上四分位数为_______.
14.已知直线，互相垂直，则a的值为_______.
15.已知等腰直角的斜边在平面α内，与α所成角为，是斜边上的高，则与平面α所成角的正弦值为_______.
16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，于点D，且，则线段长度的最大值为__________.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.如图，已知的顶点为，，是边的中点，是边上的高，是的平分线.
（1）求高所在直线的方程；
（2）求所在直线的方程.
18.在中，已知，，.
（1）求；
（2）若D为上一点，且，求的面积.
19.石室北湖后勤服务中心为监控学校三楼食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分并绘制频率分布表.下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布表，其中样本数据分组为，，……，.
（1）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计频率分布表中前三组的平均分；
（2）学校每周都会随机抽取3名学生和田校长共进午餐，每次田校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量，田校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，田校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务情况.若以本次抽取的50名师生样本频率分布表作为总体估计的依据，用频率估计概率，并假定本周和田校长共进午餐的学生中评分在..之间的会给“差评”，评分在之间的会给“中评”，评分在之间的会给“好评”，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周田校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率.
20.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，求m的值并估计这m人年龄的第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.（参考公式：）
21.如图1，已知平面四边形是矩形，，，将四边形沿翻折，使平面平面，再将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的投影为O.
图1图2图3
（1）如图2，当时，若点在上，且，，证明：平面，并求的长度.
（2）如图3，当时，若点O恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.
22.如图，四面体中，，，，E为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）设，，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值.
乐至中学高2025届第三期10月月考
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.【详解】设高一年级学生总数为N，根据分层抽样有，则.选D.
2.【详解】由题意知：直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为.选C.
3.【详解】由题意知：该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数组有191 271 932 812 393共5个，其频率为，由频率估计概率有该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.35.选B.
4.【详解】对于A，若，，则或者或者m，α相交，故A错误，
对于B，若，，，则或者或者m，α相交，故B错误，
对于C，若且，则m与n可能平行、相交或异面，故C错误.
对于D，若，，则，又，所以，故D正确，故选：D.
5.【详解】在中，；
在中，；
，，又，
，整理可得：，即，，；
在中，，
，解得：（舍）或，
故选：B.
6.【详解】甲的各项得分差异比乙的各项得分差异大，因此乙的各项得分更均衡。选C.
7.【详解】由题意可知，O为的外心，设外接圆半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为D，则D分别为的中点，
因为，两边乘以，即，所以，所以，解得，故选A.
8.【详解】由点及直线l，可求得点M关于l的对称点.同样容易求得点M关于y轴的对称点，则的周长的最小值为.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【详解】对于A，事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者为互斥事件，A错误；
对于B，事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B正确；
对于C，事件“甲、乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲、乙不全投得6点”，故事件“甲、乙都投得6点”与事件“甲、乙不全投得6点”是对立事件，C正确；
对于D，事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D错误，
故选：BC
10.【详解】（1）当直线l的截距为0时，显然满足题意；
（2）当直线l的截距不为0时，设横、纵截距分别为a，b，则直线l的方程为.
由题意：且，所以或1.
综上：直线l的纵截距可取0，1，3.选ABD
11.【详解】对A：，故A错误；
对B：，当且仅当时取得等号，故C错误；
对C：，对，当且仅当时取得最小值，故的最小值为，故C正确；
对D：，两边平方可得：对任意的t恒成立，故D正确；故选：CD.
12.【详解】在直四棱柱中，，点P到底面的距离为，当点Q位于半圆弧上的中点时体积最大，则，故A正确；
由于，，又在中，，，因为，所以，则，故B错误；
因为平面，所以是二面角，则，因为，所以，故C正确；
设线段的中点为N，线段的中点为K，球心O在上，设，，在和中有，整理得，所以，所以外接球的表面积为，故D正确，故选：ACD
三、填空题
13.【详解】，因此这12名学生成绩的上四分位数为.
14.【详解】由直线垂直的条件得，即或2.
15.【详解】如图所示：过C作于H，连接，，，则为与平面α所成角，由题意可得，，设，则有，，，在中，.故答案为：.
16.【详解】由已知得，由正弦定理有：，由于，所以，所以，所以，，所以，得，当取等号又，所以，所以最大值为.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【详解】（1）依中点坐标公式可得，，直线的斜率，于是边上高所在直线的斜率，所以直线方程为，即.
（2）依题意，，，所以，令，显然平分，于是的平分线所在直线的方向向量为，即直线的斜率为3，所以直线的方程为，即.
18.【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
（2）由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：，
则，，.
（2）由三角形面积公式可得，则.
19.【详解】（1）由已知得前三组的平均分为.
（2）由图可知，、、这三组的频率分别为0.1、0.5、0.4；用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为0.1、0.5、0.4.
以本次抽取的3名学生，让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，记3名学生分别为甲、乙、丙；
设本周田校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为A，则A事件即为：甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙中评、乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评；
.
即本周田校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率为0.396.
20.【详解】（1）由题意，，所以，
设第80百分位数为a，因为，，
故第80百分位数位于第四组：内，
由，解得：，
所以第80百分位数为37.5.
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，对应的样本空间为：
，共15个样本点.
设事件“甲，乙两人至少一人被选上”，
则，共有9个样本点.所以.
（ii）设第四组，第五组的宜传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，则，，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10.
21.【详解】（1）点在平面上的射影为O，则点O恰好落在边上，平面平面，又，平面，，又，平面.
设，，则，
，，，在中，，解得.
（2）作，交于E，交于F，当点O恰好落在的内部（不包括边界），点O恰好在线段上，又，，为二面角的平面角，当时，由，可得，且，，故二面角的余弦值的取值范围为.
22.【答案】（1）证明过程见解析
（2）与平面所成的角的正弦值为.
【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
【详解】（1）因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，，，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以，
在中，，所以.
以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，
设平面的一个法向量为，则，取，则，
又因为，，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，所以与平面所成的角的正弦值为.
分数
频率
0.04
0.06
0.22
0.28
0.22
0.18