初中数学浙教版七年级下册第四章 因式分解4.1 因式分解优秀一课一练

这是一份初中数学浙教版七年级下册第四章 因式分解4.1 因式分解优秀一课一练，共20页。试卷主要包含了下列分解因式正确的是，下列多项式，的值为，如果能被n整除，则n的值可能是等内容，欢迎下载使用。


1．下列分解因式正确的是( )
A．
B．
C．
D．
2．用提公因式法分解因式时，提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各式中，不能继续因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．140B．70C．35D．24
6．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+3）（x﹣4），则a，b的值分别是（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣12B．a＝1，b＝12C．a＝﹣1，b＝12D．a＝1，b＝﹣12
7．下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤B．②③④C．②④⑤D．②③④⑤
8．的值为（ ）
A．B．C．D．353
9．如果能被n整除，则n的值可能是
A．20B．30C．35D．40
10．已知a，b，c为三角形的三边，则关于代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值，下列判断正确的是（ ）
A．大于0B．等于0
C．小于0D．以上均有可能
11．因式分解： ．
12．分解因式：= ．
13．已知a，b为自然数，且a＞b，若（a+b）+（a﹣b）+ab+＝243，则a，b的值分别为 ．
14．若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值为 ．
15．如果x＋y=-8，x－y=2,那么代数式x2－y2的值是 .
16．已知x+y=0，xy=－6，则x3y+xy3的值是 ．
17．现有若干个长方形和正方形纸片如图1所示，将其拼成一个大长方形如图2，根据面积关系，我们有：，请利用拼图分解因式： ．
18．若n为正整数，则代数式（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1的值一定是某个正整数的平方，这个正整数为 ．（用含n的代数式表示）
19．因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．先因式分解，再计算求值：，其中．
21．（1）已知可以被10到20之间的两个整数整除，求这两个整数．
（2）已知关于x的多项式有一个因式是，求实数k的值．
22．设，是否存在实数，使得代数式能化简为？若能，请求出所有满足条件的值，若不能，请说明理由.
23．32003-4×32002+10×32001能被7整除吗？为什么？
24．若a、b、c为△ABC的三边．
(1)判断代数式a−2ab−c+b的值与0的大小关系，并说明理由；
(2)满足a+b+c=ab+ac+bc，试判断△ABC的形状.
25．利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：
（1）因式分解：________．
（2）填空：
①当时，代数式_________．
②当_______时，代数式．
（3）应用：求代数式的最大值．
26．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示．
（1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；
（2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；
（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．B
【分析】根据因式分解的方法和要求逐项判断即可．
【详解】解：A．；选项错误，不符合题意；
B． ；选项正确，符合题意；
C．；选项错误，不符合题意；
D．选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解；掌握因式分解的常用方法：提公因式法、公式法，分组分解法等是解题的关键．
2．A
【分析】根据公因式的定义求解即可．
【详解】解：
故多项式各项的公因式是xy．
故选A．
【点睛】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键．
3．B
【分析】各项利用因式分解的方法判断即可．
【详解】解：A、，本选项不合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不合题意；
D、，本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．C
【分析】首先把每个选项中的多项式进行因式分解，再根据结果即可判定．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握和运用因式分解的方法，是解决本题的关键．
5．B
【分析】由矩形的周长和面积得出，，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，根据矩形的周长和面积公式得到，是解答关键．
6．A
【分析】首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+3）（x-4），
∴x2+ax+b=（x+3）（x-4）=x2-x-12，
故a=-1，b=-12，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多项式乘法，正确利用乘法公式用将原式展开是解题关键．
7．C
【分析】根据公式法的特点即可分别求解．
【详解】①不能用公式法因式分解；
②，可以用公式法因式分解；
③不能用公式法因式分解；
④=，能用公式法因式分解；
⑤=，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤
故选C．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点．
8．D
【分析】观察式子中有4次方与4的和，将因式分解，再根据因式分解的结果代入式子即可求解
【详解】
原式
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解的应用，找到是解题的关键．
9．B
【分析】两项的底数可以进行转化，25写成5的平方，利用幂的乘方转化后，就可提取公因数进行分解即可解答．
【详解】，
能被n整除，则n的值可能是30，
故选B．
【点睛】本题考查了分解因式在计算中的应用，将所给的式子化成积的形式，关键是将两项的底数转化成相同的．
10．C
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式a2-2ab+b2-c2分解因式就可以进行判断．
【详解】a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形中三边之间的关系．（a+c-b）[a-（b+c）]是一个正数与负数的积，所以小于0．
11．
【分析】先进行分组，再计算多项式乘以多项式，然后再利用十字相乘法可进行求解．
【详解】解：
；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
12．a（b+1）（b﹣1）
【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．
13．a＝24，b＝8或a＝54，b＝2．
【分析】先设k，则a＝bk，再把原式化为含未知数b、k的形式，再根据243＝3×81可知，k和必为3的倍数，再由a＞b且a，b为自然数即可求出a、b的值．
【详解】解：设k，则a＝bk，
∴原式可变形为：bk+b+bk﹣b++k＝k＝243，
∵243＝3×81，
∴k和必为3的倍数，
∵a＞b且a，b为自然数，
∴a＝24，b＝8，或a＝54，b＝2．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，解答此题的关键是把原式化为含未知数b、k的形式，再根据k和必为3的倍数进行解答．
14．81
【分析】设另一个因式为x−a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得，根据各项系数相等列式，计算可得2m−n＝4．
【详解】解：设另一个因式为x−a，
则，
得，
由①得：a＝m−2③，
把③代入②得：n＝2（m−2），即2m−n＝4，
＝34＝81，
故答案为：81．
【点睛】本题是因式分解的意义和同底数幂的除法，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；因此具体作法是：按多项式法则将分解的两个因式相乘，列等式或方程组即可求解．
15．16
【分析】利用平方差分解x2-y2，再把x+y=8，x-y=2，代入可得答案．
【详解】解：x2-y2=（x+y）（x-y）=8×2=16，
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
16．
【分析】将代数式利用因式分解的方式进行变形，再将题中条件代入即可求解．
【详解】解：∵
又∵，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解法的运用，熟练掌握因式分解法是解答此题的关键．
17．
【分析】画出一个长为2a+b、宽为a+2b的矩形即可得进行因式分解．
【详解】如图所示：
所以.
故答案为：．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
18．n2＋3n＋1
【分析】先利用多项式乘多项式法则计算（n＋1）（n＋2），然后再把（n2＋3n）看做一个整体，再运用整式乘法计算，最后将结果写成一个完全平方的形式即可．
【详解】解：（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1
＝（n2＋3n＋2）（n2＋3n）＋1
＝（n2＋3n）2＋2（n2＋3n）＋1
＝（n2＋3n＋1）2.
∵代数式（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1的值一定是某个正整数的平方，
∴这个正整数是n2＋3n＋1.
故填：n2＋3n＋1.
【点睛】本题主要考查了整式的运算以及完全平方公式的应用，将已知整式运算成完全平方公式形式成为解答本题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据平方差公式因式分解；
（2）先提取公因式，然后根据完全平方公式因式分解；
（3）运用平方差公式因式分解；
（4）运用十字相乘法因式分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）
；
（3）
；
（4）

．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握：提公因式，乘法公式，十字相乘法等因式分解的方法是解本题的关键．
20．，
【分析】先利用提公因式法将原式分解因式，再将的值代入计算即可．
【详解】解：
当时，
原式．
【点睛】本题考查因式分解，求代数式的值．理解掌握因式分解的方法是解决本题的关键．
21．（1）15和17；（2）20
【分析】（1）先对原式进行因式分解，然后即可求出这两个整数．
（2）设另一个因式为（x+n），根据多项式乘以多项式法则展开得出，得出方程，即可求出k值．
【详解】解：（1）原式=（216+1）（216-1）
=（216+1）（28+1）（24+1）（24-1）
=（216+1）（28+1）×17×15
则这两个数是15和17．
（2）设另一个因式为（x+n），
则，
则，
∴2n-5=3，-5n=-k，
解得：n=4，k=20．
【点睛】本题考查因式分解的应用，多项式乘以多项式法则，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
22．能，或.
【分析】化简代数式，根据代数式恒等的条件列关于k的方程求解即可.
【详解】解：∵，
∴
.
∴要使代数式，只要.
∴，解得或.
23．能被7整除
【详解】试题分析：首先提取，然后得出后面的数字为7，则可以得出答案．
试题解析：32003－4×32002+10×32001=32001(32－4×3+10)=32001×7..
24．（1）a−2ab−c+b<0；（2）△ABC是等边三角形.
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式先将代数式进行变形，然后利用三角形三边关系即可判断．
（2）根据完全平方公式将题目所给的等式进行变形，然后利用非负性即可求出答案．
【详解】(1) a−2ab−c+b=(a−b) −c=(a−b+c)(a−b−c)
∵a+c>b，a∴a−b+c>0，a−b−c<0，
∴a−2ab−c+b<0
(2)∵a+b+c=ab+ac+bc
∴2a+2b+2c−2ab−2ac−2bc=0，
∴a−2ab+b+b−2bc+c+a−2ac+c=0，
∴(a−b) +(b−c) +(a−c) =0，
∴a−b=0，b−c=0，a−c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形.
【点睛】此题考查因式分解的应用，勾股定理的逆定理，解题关键在于利用三角形三边关系
25．（1）（x-2）2；（2）①0；②3；（3）36
【分析】（1）根据完全平方公式可以将题目中的式子因式分解；
（2）①将x=-2代入代数式x2+4x+4中，即可求得代数式x2+4x+4的值；
②将代数式变形为x2-6x+9，再利用完全平方公式变形，求出x的值，即可解答本题；
（3）将代数式变形，然后根据非负数的性质，即可得到代数式的最大值．
【详解】解：（1）x2-4x+4=（x-2）2，
故答案为：（x-2）2；
（2）①当x=-2时，
x2+4x+4
=（-2）2+4×（-2）+4
=4+（-8）+4
=0，
故答案为：0；
②∵，
∴x2-6x+9=0，
∴（x-3）2=0，
∴x1=x2=3，
故答案为：3；
（3）
=
=
=
当x=-4时，取得最大值36．
【点睛】本题考查因式分解的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．
26．(1)；（2）画图见解析，；（3）266．
【分析】(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可；
(2)根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果；
(3)根据题意列出方程，求出即可．
【详解】解：(1)用面积和差计算得：；
用长方形面积公式计算得：；
可得等式为：；
(2) 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示：
根据面积公式可得，；
(3) （2）中拼成的长方形周长为66，则，
解得，，
∴，即，
图1中小长方形的面积为24，则，
则，
；
拼成的长方形面积是266．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键．