人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念第1课时巩固练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念第1课时巩固练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．下列各组对象能组成一个集合的是( C )
①某中学高一年级所有聪明的学生；②周长为10 cm的三角形；③所有不小于3的正整数；④eq \r(3)的所有近似值．
A．①② B．③④
C．②③ D．①③
[解析] ①④不符合集合中元素的确定性．故选C．
2．已知集合S中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( D )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[解析] 因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故选D.
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
4．由实数x，－x，|x|，eq \r(x2)，－eq \r(x2)所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] ∵eq \r(x2)＝|x|，－eq \r(x2)＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x<0，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．
5．如果集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( B )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
[解析] ∵a∈A，∴当a＝2时，6－a＝4，∴6－a∈A；当a＝4时，6－a＝2，∴6－a∈A；当a＝6时，6－a＝0，∴6－a∉A，故a＝2或4.
二、填空题
6．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳_∉_A，广州_∈_A(填“∈”或“∉”)．
[解析] 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
7．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)_∈_P(填“∈”或“∉”)．
[解析] 直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.
8．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是_k≠±1_.
[解析] 由集合元素的互异性可知，k2≠1，所以k≠±1.
三、解答题
9．已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，
所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.
10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．
[解析] 因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.
由(1)知x＝0应舍去．
综上知，x＝1，y＝0.
B 组·能力提升
一、选择题
1．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( B )
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
[解析] 因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B.
2．(多选题)集合A有且只有2个元素构成，且满足“a∈A且4－a∈A，a∈N*且4－a∈N*”，则实数a的值可以是( AC )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 因为a∈A且4－a∈A，a∈N*且4－a∈N*，
若a＝1，则4－a＝3，此时A满足要求；
若a＝2，则4－a＝2，此时A含1个元素不满足要求．
若a＝3，则4－a＝1，此时A满足要求；
若a＝4，则4－a＝0∉N*，此时A不满足要求，故选AC．
3．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(xy,|xy|)可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是( ACD )
A．3∈A，－1∉A B．3∈A，－1∈A
C．3∉A，－1∈A D．3∉A，－1∉A
[解析] 当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1.
所以3∈A，－1∈A．故选ACD.
二、填空题
4．用符号“∈”或“∉”填空：
(1)设集合B是小于eq \r(11)的所有实数的集合，则2eq \r(3)_∉_B,1＋eq \r(2)_∈_B；
(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3_∉_C,5_∈_C；
(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1_∉_D，(－1,1)_∈_D.
[解析] (1)∵2eq \r(3)＝eq \r(12)>eq \r(11)，∴2eq \r(3)∉B；∵(1＋eq \r(2))2＝3＋2eq \r(2)<3＋2×4＝11，∴1＋eq \r(2)(2)∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3∉C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C．
(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，但－1是数，∴－1∉D；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D.
5．若eq \f(1－a,1＋a)∈A，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为 －1±eq \r(2)_.
[解析] 由题意，得eq \f(1－a,1＋a)＝a，
∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1±eq \r(2).
三、解答题
6．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
[解析] (1)因为－2是集合A中的元素，
所以－2＝a－3或－2＝2a－1.
若－2＝a－3，则a＝1，
此时集合A含有两个元素－2,1，符合要求；
若－2＝2a－1，则a＝－eq \f(1,2)，
此时集合A中含有两个元素－eq \f(7,2)，－2，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为1或－eq \f(1,2).
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5.
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
C 组·创新拓展
设集合S中的元素x＝m＋neq \r(2)，m，n∈Z.
(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
(2)对S中的任意两个元素x1，x2，则x1＋x2，x1·x2是否属于S?
[解析] (1)a是集合S中的元素，因为a＝a＋0×eq \r(2)∈S.
(2)不妨设x1＝m＋neq \r(2)，x2＝p＋qeq \r(2)，m，n，p，q∈Z.
则x1＋x2＝(m＋neq \r(2))＋(p＋qeq \r(2))＝(m＋p)＋(n＋q)eq \r(2)，因为m，n，p，q∈Z.
所以n＋q∈Z，m＋p∈Z.
所以x1＋x2∈S，
x1·x2＝(m＋neq \r(2))·(p＋qeq \r(2))＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)eq \r(2)，m，n，p，q∈Z.
故mp＋2nq∈Z，mq＋np∈Z.
所以x1·x2∈S.
综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.