人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( C )
A．{(1,2)} B．{(2,1)}
C．{1,2} D．{x2－3x＋2＝0}
[解析] 解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2.用列举法表示为{1,2}．
2．对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是( D )
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}
[解析] A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C中t＝0时，x＝－3，不属于给定的集合；只有D是正确的．
3．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为( B )
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))))
[解析] 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋1，,x＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1.))故该集合为{(0,1)}．
4．(多选题)下列命题中正确的是( AD )
A．集合{x∈R|x2＝1}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C．eq \r(13)∈{x|x＜2eq \r(3)}
D．{1,2}与{2,1}是同一个集合
[解析] {x∈R|x2＝1}＝{1，－1}；集合{0}中有一个元素，这个元素是0；{x|x＜2eq \r(3)}＝{x|x＜eq \r(12)}，eq \r(13)＞eq \r(12)，故eq \r(13)∉{x|x＜2eq \r(3)}；根据集合中元素的无序性可知，{1,2}与{2,1}是同一个集合．故选AD.
5．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1，0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集为{x＝1，y＝2}．其中说法正确的个数为( D )
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] 由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解是有序实数对，其解集应为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2))))))，故③不正确．
二、填空题
6．集合{1，eq \r(2)，eq \r(3)，2，eq \r(5)，…}用描述法表示为 {x|x＝eq \r(n)，n∈N*}_.
[解析] 注意到集合中的元素的特征为eq \r(n)，且n∈N*，所以用描述法可表示为{x|x＝eq \r(n)，n∈N*}．
7．两边长分别为3,5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为_{3,4,5,6,7}_，用描述法表示为 {x|2＜x＜8，x∈Z}_.
[解析] 设三角形第三边长度为x，根据三角形三边长度的关系得：x＞5－3，x＞2；x＜5＋3，x＜8，所以x的取值范围为：2＜x＜8.又由第三条边长是整数，故第三条边可取的整数的集合用列举法表示为{3,4,5,6,7}，用描述法表示为{x|2＜x＜8，x∈Z}．
三、解答题
8．用列举法表示下列集合：
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(6,2－x)∈Z，x∈Z))))；
(2){(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．
[解析] (1)因为eq \f(6,2－x)∈Z，所以|2－x|是6的因数，
则|2－x|＝1,2,3,6，即x＝1,3,4,0，－1,5，－4,8.
所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．
(2)因为x∈N且1≤x<5，所以x＝1,2,3,4，
其对应的y的值分别为3,6,9,12.
所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}．
9．用描述法表示下列集合．
(1){2,4,6,8,10,12}；
(2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,4)，\f(3,5)，\f(4,6)，\f(5,7)))；
(3)被5除余1的正整数集合；
(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
(5)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝2))的解组成的集合．
[解析] (1){x|x＝2n，n∈N*，n≤6}．
(2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(n,n＋2)，n∈N*，n≤5)).
(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．
(4){(x，y)|xy<0}．
(5)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2,x－y＝2))))))或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝0)))))).
B 组·能力提升
一、选择题
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}，则B中所含元素的个数为( C )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 由A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}，
当x＝3时，y＝1,2，满足集合B.
当x＝2时，y＝1,3；满足集合B.
当x＝1时，y＝2,3；满足集合B.
共有6个元素．故选C．
2．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD )
A．{x|x＝2k－1，k∈N}
B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N}
D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
[解析] 选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4.
3．(多选题)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则( AD )
A．a∈M B．a∈P
C．b∈M D．b∈P
[解析] 设x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P，即a∈M，b∈P.故选AD.
二、填空题
4．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是_0或1_.
[解析] 集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；
当a＝0时，x＝－eq \f(1,2)，此时A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，满足题意．
故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1.
5．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为_4_.
[解析] 当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.
∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
三、解答题
6．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[解析] (1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq \f(9,8)，此时A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))，当a＝eq \f(9,8)时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3))).
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤eq \f(9,8)且a≠0.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤eq \f(9,8).
C 组·创新拓展
若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．
(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为“可倒数集”；
(2)试写出一个含3个元素的“可倒数集”．
[解析] (1)由于2的倒数为eq \f(1,2)不在集合A中，故集合A不是“可倒数集”．
(2)若a∈A，则必有eq \f(1,a)∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝eq \f(1,a)，即a＝±1，故可以取集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，2，\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(1,3)))等(答案不唯一)．