人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件一课一练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．(多选题)下列是“集合P是集合Q的子集”的必要条件的是( AC )
A．P∩Q＝P B．P∩Q＝∅
C．P∪Q＝Q D．P∪Q＝P
[解析] 由“集合P是集合Q的子集”可推出P∩Q＝P，P∪Q＝Q，推不出P∩Q＝∅，P∪Q＝P.
2．条件p：(a＋b)·(a－b)＝0，条件q：a＝b，则p是q的( B )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
[解析] 由(a＋b)·(a－b)＝0知，a＝b或a＝－b，所以pq，q⇒p，所以p是q的必要条件．
3．使不等式0＜x＜2成立的一个充分条件是( A )
A．0＜x＜1 B．－eq \f(1,3)＜x＜1
C．－1＜x＜2 D．0＜x＜3
[解析] 设p所对应的集合为A，q所对应的集合为B，则p成立的充分条件是q，转化为B⊆A，所以不等式0＜x＜2成立的充分条件对应的集合是集合{x|0＜x＜2}的子集，根据选项，只有A符合要求．
4．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的( A )
A．充分条件
B．必要条件
C．无法判断
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由题意可知，好货⇒不便宜，故选A．
5．“x，y∈Q”是“xy∈Q”的( A )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 两个有理数的乘积仍为有理数，故“x，y∈Q”⇒“xy∈Q”，反之，当x＝y＝eq \r(2)，xy＝2∈Q，但x∉Q，y∉Q.
故“xy∈Q”“x，y∈Q”．所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分条件．
二、填空题
6．已知命题p：整数a的末位是0，q：a能被5整除．则p是q的_充分_条件；q是p的_必要_条件．(用“充分”“必要”填空)
[解析] 因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．
7．下列说法正确的是_①③_.(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2[解析] ②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②错误；①③正确．
8．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x2}_.
[解析] “B的充分条件是A”，即A是B的充分条件，得A⇒B，即A⊆B，得a>2.
三、解答题
9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA．
[解析] (1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．即p⇒q，qp，
所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．
(2)因为x2>1⇒x>1或x<－1，所以p⇒q，且qp.
所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．
(3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即pq，且q⇒p，
所以p不是q的充分条件，但p是q的必要条件．
(4)画出Venn图(如图)可得．
结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA，
反之也成立．所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件．
10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
[解析] (1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(m,2)))))⊆{x|x<－1，或x>3}，
即只需－eq \f(m,2)≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1，或x>3}⊆eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(m,2)))))，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．
B 组·能力提升
一、选择题
1．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( B )
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
[解析] 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意．
2．已知集合A＝{x∈R|－1A．{m|m≥2} B．{m|m≤2}
C．{m|m>2} D．{m|－2[解析] 因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.
3．(多选题)有以下说法，其中正确的为( ACD )
A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”必要条件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件
D．“x>3”是“x2>4”的充分条件
[解析] x∈Ax∈(A∩B)，故B错，A、C、D都正确，故选ACD.
二、填空题
4．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中_①③④_是a＋b>0的充分条件．(填序号)
5．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围_{a|a≤1}_.
三、解答题
6．是否存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．
[解析] 令A＝{x|x>2或x<－1}．
由4x＋p<0，得B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<－\f(p,4))).
当B⊆A时，即－eq \f(p,4)≤－1，即p≥4，
此时x<－eq \f(p,4)≤－1⇒x>2或x<－1，
∴当p≥4时，4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件．
C 组·创新拓展
设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．
[解析] (1)由题意得到A＝[1,5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a≤1，,1＋2a≥5，))解得a≥2，
故实数a的取值范围是[2，＋∞)．
(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当B＝∅时，2－a＞1＋2a，即a＜eq \f(1,3)时，满足题意，
当B≠∅时，即a≥eq \f(1,3)时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤2－a，,1＋2a≤5，))
解得eq \f(1,3)≤a≤1.
综上a≤1，
故实数a的取值范围是(－∞，1]．