高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词课时练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( C )
A．∀x∈R，|x|＋x2<0
B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x∈R，|x|＋x2<0
D．∃x∈R，|x|＋x2≥0
[解析] 原命题是全称量词命题其否定是“∃x∈R，|x|＋x2<0”．
2．对某次考试，有命题p：所有一班学生都会做第1题，那么命题p的否定是( B )
A．所有一班学生都不会做第1题
B．存在一个一班学生不会做第1题
C．存在一个一班学生会做第1题
D．至少有一个一班学生会做第1题
[解析] 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，∴命题p：所有一班学生都会做第1题的否定是存在一个一班学生不会做第1题．故选B.
3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( C )
A．∀x∈R，|x|＞0 B．∃x∈R，|x|＞0
C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0
[解析] 由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，再否定命题结论．故选C．
4．(多选题)下列四个命题中，其否定是假命题的有( ABD )
A．有理数是实数
B．有些四边形不是菱形
C．∀x∈R，x2－2x＞0
D．∃x∈R,2x＋1为奇数
[解析] 由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题．有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题．∀x∈R，x2－2x＞0的否定：∃x∈R，x2－2x≤0，是真命题．∃x∈R，2x＋1为奇数的否定：∀x∈R,2x＋1都不是奇数，是假命题．
5．甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了如下预测：
甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中有一人获奖；
丁说：乙的猜测是对的．
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符．已知有两人获奖，则获奖的是( D )
A．甲和丁 B．甲和丙
C．乙和丙 D．乙和丁
[解析] 易知乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不相符，若乙、丁的预测与结果相符，则甲、丙的预测与结果不相符，矛盾，故乙、丁的预测与结果不相符，从而获奖的是乙和丁，故选D.
二、填空题
6．若命题p：∀a，b∈R，方程ax＋b＝2恰有一解，则¬ p： ∃a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解_.
[解析] ¬ p：∃a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解．
7．若命题“∃x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥－\f(1,4)))，x＋m<0”是假命题，则实数m的取值范围是 m≥eq \f(1,4)_.
[解析] 命题“∃x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥－\f(1,4)))，x＋m<0”是假命题，即命题的否定为真命题．其否定为：“∀x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥－\f(1,4)))，x＋m≥0”，解得m≥eq \f(1,4).
8．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＜0是_存在量词命题_(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是_假_命题(填“真”或“假”)，它的否定为¬ p： ∀x∈R，x2＋2x＋5≥0_.
[解析] 命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＜0是存在量词命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．命题p的否定为∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.
三、解答题
9．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)所有的正方形都是矩形；
(2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0；
(3)有的四边形没有外接圆．
[解析] (1)至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(2)对任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．
(3)所有的四边形都有外接圆，假命题．
10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定：
(1)空集是任何一个非空集合的真子集．
(2)等圆的面积相等，周长相等．
(3)∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|＜2.
[解析] (1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集．
(2)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．
(3)该命题是存在量词命题，是真命题．因为当x＝1时，|x－2|＝1＜2.该命题的否定：∀x∈{－2，－1，0,1,2}，|x－2|≥2.
B 组·能力提升
一、选择题
1．已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬ p为( B )
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
[解析] 命题“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，为“某班至少有一个男生不爱踢足球”．故选B.
2．(多选题)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是( AC )
A．¬ p：∃x∈R，x2＋1＝0
B．¬ p：∀x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题，¬ p是假命题
D．p是假命题，¬ p是真命题
[解析] 因为命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．且p为真命题，则¬ p是假命题．故选AC．
3．(多选题)若“∀x∈M，|x|＞x”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是( AB )
A．{x|x＜－5} B．{x|－3＜x≤－1}
C．{x|x＞3} D．{x|0≤x≤3}
[解析] 因为∃x∈M，x＞3为假命题，所以∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆{x|x≤3}，又∀x∈M，|x|＞x为真命题，可得M⊆{x|x＜0}，所以M⊆{x|x＜0}．
二、填空题
4．命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬ p为_∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解_.
5．若命题p：∃x∈R，x2－4x＋a＝0为假命题，则实数a的取值范围是_{a|a＞4}_，p的否定是 ∀x∈R，x2－4x＋a≠0_.
[解析] 若命题p为假命题，则¬ p：∀x∈R，x2－4x＋a≠0为真命题，则Δ＝(－4)2－4a＜0，解得a＞4.
三、解答题
6．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，求实数a的取值范围．
[解析] 命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，则其否定“∀m∈R，A∩B＝∅”为真命题．
当a＜0时，集合A＝{x|0≤x≤a}＝∅，
符合A∩B＝∅，当a≥0时，因为m2＋3＞0，
所以由∀m∈R，A∩B＝∅，
得a＜m2＋3对于∀m∈R恒成立，
当m∈R时，有m2＋3≥3，所以a＜3，则0≤a＜3，
综上，实数a的取值范围为{a|a＜3}．
C 组·创新拓展
命题p是“对某些实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
[解析] (1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b＞0.
(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－a≤0，,x－b＞0))的解集不为空集，
通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b＜a.