新教材适用2023_2024学年高中数学第1章集合与常用逻辑用语综合测试新人教A版必修第一册

第一章综合测试

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2022·全国甲卷)集合M＝{2,4,6,8,10}，N＝{x|－1<x<6}，则M∩N＝( A )

A．{2,4}　　　　　　　 B．{2,4,6}

C．{2,4,6,8}  D．{2,4,6,8,10}

[解析]　因为M＝{2,4,6,8,10}，N＝{x|－1<x<6}，所以M∩N＝{2,4}，故选A．

2．命题“∀x>0，x2－2x＋1>0”的否定是( A )

A．∃x>0，x2－2x＋1≤0

B．∀x>0，x2－2x＋1≤0

C．∃x≤0，x2－2x＋1≤0

D．∀x≤0，x2－2x＋1≤0

[解析]　含有量词的命题的否定，一改量词将“∀”改为“∃”，二否结论将“>”改为“≤”，条件不变，故选A．

3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,3,5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有_________个( C )

A．3  B．4

C．7  D．8

[解析]　因为集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,3,5}，所以A∩B＝{3,5}，图中阴影部分表示的集合为：∁U(A∩B)＝{1,2,4}，所以图中阴影部分表示的集合的真子集有：23－1＝8－1＝7.

4．已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为( D )

A．或－  B．－或

C．或－或0  D．－或或0

[解析]　A＝{－3,2}，∵B⊆A，∴－3∈B或2∈B或B＝∅；∴－3a－1＝0，或2a－1＝0或a＝0.∴a＝－或或0.故选D.

5．命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，则m的取值范围是( A )

A．{m|m＜2}  B．{m|m≤2}

C．{m|m＞2}  D．{m|m≥2}

[解析]　若命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是真命题，则m≥2.因为命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，所以m的取值范围是{m|m＜2}．故选A．

6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是( C )

A．9  B．8

C．7  D．6

[解析]　x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝－3.

所以{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}＝{2,5,6}共3个元素，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C．

7．已知全集U＝R，M＝{x|x<－1}，N＝{x|x(x＋2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是( A )

A．{x|－1≤x<0}

B．{x|－1<x<0}

C．{x|－2<x<－1}

D．{x|x<－1}

[解析]　题图中阴影部分为N∩(∁UM)，

因为M＝{x|x<－1}，

所以∁UM＝{x|x≥－1}，

又N＝{x|x(x＋2)<0}＝{x|－2<x<0}，

所以N∩(∁UM)＝{x|－1≤x<0}．故选A．

8．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( C )

A．62%  B．56%

C．46%  D．42%

[解析]　设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，

由题意，可得x＋z＝60，x＋y＋z＝96，y＋z＝82，解得z＝46.

∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( ACD )

A．∅⊆A  B．－2∈A

C．{0,2}⊆A  D．A⊆{y|y<3}

[解析]　∵A＝{0,2}，∴∅⊆A，－2∉A，{0,2}⊆A，A⊆{y|y<3}．故选ACD.

10．设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q，且P≠Q，则下列选项中错误的是( CD )

A．∀x∈Q，有x∈P

B．∃x∈P，使得x∉Q

C．∃x∈Q，使得x∉P

D．∀x∉Q，有x∉P

[解析]　因为P∩Q＝Q，且P≠Q，所以Q是P的真子集，所以∀x∈Q，有x∈P，∃x∈P，使得x∉Q，C，D错误．

11．下列命题中，假命题是( BCD )

A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1

B．∀x∈R，x＜x2

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

D．∃x∈R，x2＋2≤0

[解析]　可设x≤1，y≤1，则x＋y≤2，与x＋y＞2矛盾，故A为真命题；

当x＝1时，不成立，故B为假命题；

＝－1中，a，b≠0，而a＋b＝0中，可以取到a＝b＝0，故C为假命题；

x2＋2＞0恒成立，故D为假命题．

12．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m＋1}，则A∩B＝∅的一个充分不必要条件是( BD )

A．m≤－2  B．m＜－2

C．m＜2  D．－4＜m＜－3

[解析]　设A∩B＝∅的一个充分不必要条件是p，p对应的集合为C，当A∩B＝∅时，m＋1≤－1，解得m≤－2，所以C{m|m≤－2}．因此满足条件的选项为BD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，集合B＝{1,3,5,7,9}，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为_3_.

[解析]　由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为∁A(A∩B)．

又A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，

∴A∩B＝{1,3,5}，∴∁A(A∩B)＝{0,2,4}，

即Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3，故答案为3.

14．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－3x＋a＝0}，若A∩B≠∅，则a的值为_3或6或9_.

[解析]　由题意可知B＝.若A∩B≠∅，则＝1或＝2或＝3，得a＝3或6或9.

15．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}，若A中只含有一个元素，则a的值为 0或_；若A的真子集个数是3，则a的范围是 _.

[解析]　集合A中只含一个元素．∴a＝0或解得a＝0或a＝；

∵A的真子集个数是3个，

∴ax2－3x＋1＝0有两个不等的实根，

∴解得a<0或0<a<.

∴a的取值范围是.

16．在下列所示电路图中，下列说法正确的是_(1)(2)(3)_(填序号)．

(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；

(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；

(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；

(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．

[解析]　(1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件，因此正确；(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件，因此正确；(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件，因此正确；(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件，因此错误．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．

(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；

(2)末位是0的实数能被2整除；

(3)∃x>1，x2－2>0；

(4)存在实数没有算术平方根；

(5)奇数的平方还是奇数．

[解析]　(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，真命题．

(2)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题．

(3)命题中含有存在量词“∃”，是存在量词命题，真命题．

(4)命题“存在实数没有算术平方根”，是存在量词命题，真命题．

(5)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题．

18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}．

(1)若a＝1，求A∪B；

(2)在①∁RA⊆∁RB，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

[解析]　(1)当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}．

(2)三个条件∁RA⊆∁RB，A∪B＝A，A∩B＝B都表示B⊆A，所以，解得－1≤a≤0，所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．

19．(本小题满分12分)设集合A＝{x|－1<x<4}，B＝，C＝{x|1－2a<x<2a}．

(1)若C＝∅，求实数a的取值范围；

(2)若C≠∅且C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)因为C＝{x|1－2a<x<2a}＝∅，

所以1－2a≥2a，所以a≤，

即实数a的取值范围是.

(2)因为C＝{x|1－2a<x<2a}≠∅，

所以1－2a<2a，即a>.

因为A＝{x|－1<x<4}，B＝，

所以A∩B＝，

因为C⊆(A∩B)，所以解得<a≤，

即实数a的取值范围是.

20．(本小题满分12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0.

[证明]　(1)充分性：∵－<m<0，

∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，

且－3m>0，

∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根．

(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，

则有解得－<m<0.

综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0.

21．(本小题满分12分)(1)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；

(2)已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m<x<2m－1}，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

故有或解得m≤3.

又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．

(2)因为p是q的充分条件，所以A⊆B，

如图：

则解得m>3.

所以实数m的取值范围为{m|m>3}．

22．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}，

(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；

(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)A＝{1,2}．∵A∩B＝{2}，

∴2∈B，代入B中方程，得a2＋4a＋3＝0，

所以a＝－1或a＝－3.

当a＝－1时，B＝{－2,2}，满足条件；

当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．

综上，a的值为－1或－3.

(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A．

①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；

②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足要求；

③当Δ>0，即a>－3时，

B＝A＝{1,2}才能满足要求，经检验不可能成立．

综上可知a的取值范围是a≤－3.