数学必修 第一册3.4 函数的应用（一）测试题

这是一份数学必修 第一册3.4 函数的应用（一）测试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为( A )
A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x
C．y＝eq \f(1,3)x(x≥0) D．y＝eq \f(1,3)x
[解析] 由题意设y＝kx，将(36,108)代入解析式，得k＝3，故y＝3x.此时考虑到实际问题的实际意义可知x≥0.
2．北京某快递公司邮寄重量在1 000克以内的包裹的费用标准如下表：
如果某人在北京通过该快递公司邮寄900克的包裹到距该快递公司1 300 km的某地，那么他应付的邮费是( C )
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．8.00元
[解析] 当0＜x≤2 000时，邮费y与运送距离x之间的函数关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5，0＜x≤500，,6，500＜x≤1 000，,7，1 000＜x≤1 500，,8，1 500＜x≤2 000，))
∵1 300∈(1 000,1 500]，∴当x＝1 300时，y＝7，故选C.
3．有一直角墙角的平面图如图所示，两边的长度足够长，在点P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0[解析] 设BC＝x，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－x≥4，,x≥a.))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤12，,x≥a.))
所以04．下表表示一球自一斜面滚下七秒内所行的距离s的呎数(注：呎是一种英制长度单位)
当t＝2.5时，距离s为( B )
A．45 B．62.5
C．70 D．75
[解析] 由图表可知，距离s与时间t的关系是s＝10t2，
∴当t＝2.5时，s＝10×(2.5)2＝62.5，故选B.
5．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A，B产品各一件，盈亏情况为( B )
A．不亏不赚 B．亏5.92元
C．赚5.92元 D．赚28.96元
[解析] 依题意有A产品的原价为16元，B产品的原价为36元，若厂家同时出售A，B两种产品，亏5.92元．
二、填空题
6．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为_800_副．
[解析] 由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少为800副时才不亏本．
7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 2eq \r(3)_cm2.
[解析] 设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝eq \f(\r(3),4)x2＋eq \f(\r(3),4)(4－x)2＝eq \f(\r(3),2)(x－2)2＋2eq \r(3)≥2eq \r(3)，
这两个正三角形面积之和的最小值是2eq \r(3) cm2.
8．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－k＋\f(4 500,x)))L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝_100_，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为_[60,100]_.
[解析] 记每小时的油耗为y，
根据题意得y＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－k＋\f(4 500,x)))，
则当x＝120时，y＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(120－k＋\f(4 500,120)))＝11.5，解得k＝100，
所以y＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－100＋\f(4 500,x))).
y≤9，即eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－100＋\f(4 500,x)))≤9，解得45≤x≤100.
又因为60≤x≤120，所以x的取值范围为[60,100]．
三、解答题
9．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2 500元，每件产品的售价为3 500 元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则
(1)设总成本为y1(单位：万元)，单位成本为y2(单位：万元)，销售总收入为y3(单位：万元)，总利润为y4(单位：万元)，分别求出它们关于总产量x(单位：万元)的函数解析式；
(2)根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．
[解析] (1)由题意，得y1＝150＋0.25x，y2＝eq \f(150,x)＋0.25，y3＝0.35x，y4＝0.35x－(150＋0.25x)＝0.1x－150.
(2)画出y4＝0.1x－150的图象如图．
由图象可知，当x<1 500时，该公司亏损；
当x＝1 500时，公司不赔不赚；当x>1 500时，公司赢利．
10．某市经测算2023年6月每日处理厨余垃圾的成本P(元)与日处理量x(吨)之间的函数解析式可近似地表示为P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(40x，0≤x≤20，,\f(1,2)x2＋76x－1 000，20＜x≤30，))且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值为100元的化工产品的收益．
(1)设纯收益为y元，写出函数y＝f(x)的解析式；(纯收益＝总收益－成本)
(2)该公司每日处理厨余垃圾多少吨时，获得日纯收益最大？
[解析] (1)由题意可得f(x)＝100x－P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100x－40x，0≤x≤20，,100x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋76x－1 000))，20＜x≤30))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60x，0≤x≤20，,－\f(1,2)x2＋24x＋1 000，20＜x≤30.))
(2)当0≤x≤20时，f(x)＝60x单调递增，
可得f(x)的最大值为f(20)＝1 200；
当20＜x≤30时，f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋24x＋1 000
＝－eq \f(1,2)(x－24)2＋1 288，
当x＝24时，f(x)的最大值为1 288.
因为1 288＞1 200，所以该公司每日处理厨余垃圾24吨时，获得日纯收益最大．
B组·能力提升
一、选择题
1．某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出；当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的汽车每天需要维护费20元．每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大( D )
A．155 B．165
C．178 D．185
[解析] 设每辆车的日租金为x元，租赁公司的日收益为W元，
则每辆车的日收益为(x－20)元，租赁公司日出租车辆数为200－eq \f(x－100,5)×4，
所以W＝(x－20)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(200－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－100,5)×4))))＝－eq \f(4,5)x2＋296x－5 600.
所以当x＝eq \f(296,\f(4,5)×2)＝185时，W取得最大值．
则每辆车的日租金为185元时，租赁公司的日收益最大．
2．(多选题)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( BD )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝eq \f(1,15)x
[解析] 在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝eq \f(1,15)，D正确．故选BD.
3．(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( BCD )
A．出租车行驶2 km，乘客需付费8元
B．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km
[解析] 出租车行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，B正确；乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；设出租车行驶x km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．故选BCD.
二、填空题
4．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝_3_时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为_30_.
[解析] 设四边形EFGH的面积为S，则
S＝13×3－2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)13－x3－x))
＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0,3]．
因为S＝－2(x－4)2＋32在(0,3]上单调递增，
所以当x＝3时，S有最大值为30.
5．两辆车需要尽快通过一段100 m的桥梁，如果两车安全间距与速度关系为L＝eq \f(v2,25)，设车辆限速不超过60 m/s，那么两车都通过的最短时间为_4_s.(车的长度忽略不计)
[解析] 设车速为v，则两车安全间距L＝eq \f(v2,25)，
第二辆车走过的路程为100＋eq \f(v2,25)，
则两车都通过的时间t＝eq \f(100＋\f(v2,25),v)＝eq \f(100,v)＋eq \f(v,25)(0＜v≤60)．
所以t＝eq \f(100,v)＋eq \f(v,25)≥2eq \r(\f(100,v)·\f(v,25))＝4，
当且仅当eq \f(100,v)＝eq \f(v,25)，即v＝50时等号成立．
所以两车都通过的最短时间为4 s.
三、解答题
6．某汽车制造企业计划在2023年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2 500万元，每生产x(百辆)，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x2＋200x，0(1)求2023年的利润L(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式(其中利润＝销售额－成本)；
(2)2023年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
[解析] (1)当0＝－10x2＋400x－2 500；
当x≥40时，L＝600x－601x－eq \f(10 000,x)＋4 500－2 500
＝2 000－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(10 000,x))).
∴L＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－10x2＋400x－2 500，0(2)当0∴当x＝20时，L取得最大值1 500；
当x≥40时，L＝2 000－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(10 000,x)))≤2 000－2eq \r(x·\f(10 000,x))＝1 800，
当且仅当x＝eq \f(10 000,x)，即x＝100时取等号，
∴当x＝100时，L取得最大值1 800.
∵1 800>1 500，∴2023年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1 800万元．
C组·创新拓展
如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A的方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动．点M与点N同时出发，记运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N共线时其面积为零)，则点M第一次到达点A时，
(1)求y＝f(t)的解析式；
(2)试作出函数f(t)的图象，并写出值域．
[解析] (1)根据题意，
f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2，0≤t≤1，,2－t，1＜t≤2，,t－2，2＜t≤3，,4－t2，3＜t≤4.))
(2)作出函数的图象，如图，
值域为[0,1]．运送距
离x(km)
0＜x
≤500
500＜x
≤1 000
1 000＜x
≤1 500
1 500＜x
≤2 000
…
邮费y(元)
5.00
6.00
7.00
8.00
…
t
0
1
2
3
4
5
s
0
10
40
90
160
250