新教材适用2023_2024学年高中数学第4章指数函数与对数函数综合测试新人教A版必修第一册

第四章综合测试

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若a<，则化简的结果是( C )

A.  B．－

C.  D．－

[解析]　∵a<，∴2a－1<0.

于是，原式＝＝.故选C.

2．函数y＝·ln(2－x)的定义域为( B )

A．(1,2)  B．[1,2)

C．(1,2]  D．[1,2]

[解析]　要使函数有意义，则解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1,2)．故选B.

3．设函数f(x)＝log2x，若f(a＋1)<2，则a的取值范围为( A )

A．(－1,3)  B．(－∞，3)

C．(－∞，1)  D．(－1,1)

[解析]　∵函数f(x)＝log2x在定义域内单调递增，f(4)＝log24＝2，

∴不等式f(a＋1)<2等价于0<a＋1<4，解得－1<a<3，故选A.

4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a＝f(1)，b＝f(2－0.3)，c＝f(－20.3)，则( A )

A．b<a<c  B．c<b<a

C．b<c<a  D．a<b<c

[解析]　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以c＝f(－20.3)＝f(20.3)．

又因为y＝2x是R上的增函数．所以0<2－0.3<1<20.3.由于函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(2－0.3)<f(1)<f(20.3)＝f(－20.3)，即b<a<c.

5．函数y＝logax(a>0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一坐标系中的图象可能是( C )

[解析]　当a>1时，y＝logax单调递增，y＝(a－1)x2－2x－1开口向上，不过原点，且对称轴x＝>0，可排除AB选项；

当0<a<1时，y＝logax单调递减，y＝(a－1)x2－2x－1开口向下，可排除D，故选C.

6．函数f(x)与g(x)＝ax互为反函数，且g(x)过点(－2，4)，则f(1)＋f(2)＝( A )

A．－1  B．0

C．1  D．

[解析]　由题意指数函数g(x)＝ax的图象过点(－2,4)，故可得4＝a－2，解得a＝，故函数g(x)＝x，

故其反函数f(x)＝logx，

7．已知函数f(x)＝ln(ax－b)的定义域是(1，＋∞)，那么函数g(x)＝(ax＋b)(x－1)在区间(－1,1)上( A )

A．有最小值无最大值

B．有最大值无最小值

C．既有最小值也有最大值

D．没有最小值也没有最大值

[解析]　因为函数f(x)＝ln(ax－b)的定义域是(1，＋∞)，

即不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，

所以a>0且a－b＝0，即a＝b>0，

所以g(x)＝(ax＋b)(x－1)＝a(x－1)(x＋1)，

函数开口向上，对称轴为x＝0，在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

所以g(x)min＝g(0)＝－a，没有最大值．

8．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列最接近的是(lg 3≈0.477)( C )

A．10－26  B．10－35

C．10－36  D．10－25

[解析]　所求数字过大，再根据题中lg 3的提示联想到先取对数，

对于有lg ＝361lg 3－52×4≈－35.8，则≈10－35.8，分析选项中10－36与其最接近，选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( BD )

A．f(x)＝

B. f(x)＝5x4＋2 021x2

C．f(x)＝ex－e－x

D. f(x)＝ln

[解析]　函数f(x)＝是奇函数，故A不符合题意；f(x)＝5x4＋2021x2是偶函数，且易判断f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故B符合题意；f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故f(x)＝ex－e－x为奇函数；对于D，f(x)＝ln(|x|＋1)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，故D符合题意．故选BD.

10．已知a>0，且a≠1，下列函数中一定经过点(2,1)的是( BCD )

A．y＝loga(x－1)

B．y＝ax－2

C．y＝(x－1)a

D．y＝ax2－5ax＋6a＋1

[解析]　因为x＝2时，y＝loga(2－1)＝0，

y＝a2－2＝1，y＝(2－1)a＝1，

y＝4a－10a＋6a＋1＝1.故选BCD.

11．若f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则下列命题正确的是( ABC )

A．f(x＋2)是偶函数

B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数

C．f(x)没有最大值

D．f(x)没有最小值

[解析]　f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，故A正确．同时画出函数的图象，如图所示：所以函数在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故ABC正确．故选ABC.

12．已知正实数x，y满足log2x＋<x－y，则下列结论正确的是( BC )

A.<  B．x3<y3

C．ln(y－x＋1)>0  D．2x－y<

[解析]　∵正实数x，y满足log2x＋logy<x－y，

∴log2x－x<log2y－y.

易知f(x)＝log2x－x为单调递增函数，故0<x<y，

∴>，x3<y3，故A错误、B正确；

∴y－x>0，y－x＋1>1，ln(y－x＋1)>0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确．故选BC.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．函数y＝－|x|的单调递增区间是_(－∞，0)_.

[解析]　函数y＝－|x|的定义域为(－∞，＋∞)，且y＝－|x|＝|x|，因为y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数，而y＝|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故y＝－|x|的单调递增区间是(－∞，0)．

14．已知函数f(x)＝为定义在区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＝_1_，b＝_1_.

[解析]　因为f(x)是定义在[－2a,3a－1]上的奇函数，

所以定义域关于原点对称，即－2a＋3a－1＝0，所以a＝1，

因为函数f(x)＝为奇函数，

所以f(－x)＝＝＝－，

即b·2x－1＝－b＋2x，所以b＝1.

15．已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)内，则整数m的值为_－2_.

[解析]　因为f(x)＝e－x－2x－5为减函数，

f(－2)＝e2－1>0，f(－1)＝e－3<0，所以f(x)＝e－x－2x－5存在唯一的零点x0，且x0∈(－2，－1)，所以m＝－2.

16．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；

③设野生薇甘菊蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；

④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．

其中正确的说法有_①②③_(请把正确说法的序号都填在横线上)．

[解析]　∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，

∴指数函数的底数为2，故①正确；

当t＝5时，S＝32>30，故②正确；

∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，

∴t1＋t2＝t3，故③正确；

根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)计算：

(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23.

[解析]　

＋2－3＝－1＝－

(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23

＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋－×＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1

18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－1－5(a>0，且a≠1)，若y＝f(x)的图象过点(3,20)．

(1)求a的值及y＝f(x)的零点；

(2)求不等式f(x)≥－2的解集．

[解析]　(1)根据题意，函数f(x)＝ax－1－5的图象过点(3,20)，则有20＝a2－5，

又由a>0，且a≠1，则a＝5，

f(x)＝5x－1－5，若f(x)＝5x－1－5＝0，

则x＝2，即函数f(x)的零点为2.

(2)f(x)≥－2即5x－1－5≥－2，变形可得5x≥15，

解可得x≥log515，即不等式的解集为[log515，＋∞)．

19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)的定义域为.

(1)若t＝log2x，求t的取值范围；

(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．

[解析]　(1)∵≤x≤4，∴－2≤log2x≤2，

∴－2≤t≤2.

∴t的取值范围是[－2,2]．

(2)y＝f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，

由(1)知t＝log2x，t∈[－2,2]，

∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝2－.

当t＝－，即log2x＝－，x＝时，ymin＝－，

当t＝2，即log2x＝2，x＝4时，ymax＝12.

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.

(1)判断f(x)的奇偶性并证明；

(2)当x∈(1，＋∞)时，求函数f(x)的值域．

[解析]　(1)函数f(x)是奇函数，证明如下：

因为对任意x∈R,2x>0恒成立，且f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(2)令2x＝t，则f(x)可化为g(t)＝＝－1＋，因为x∈(1，＋∞)，所以t>2，所以t＋1>3.所以0<<，所以－1<g(t)<－，

所以f(x)的值域是.

21．(本小题满分12分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．

当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,45]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．

根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．

(1)试求p＝f(t)的函数关系式；

(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．

[解析]　(1)由题意知，当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为(12,82)，且曲线过点(14,81)，

则可得f(t)＝－(t－12)2＋82，t∈(0,14]．

又当t∈[14,45]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分，且曲线过点(14,81)，则易得a＝，则f(t)＝(t－5)＋83，t∈[14,45]．

(2)由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，当t∈(0,14]时，令f(t)＝－(t－12)2＋82>80，解得12－2<t≤14.

当t∈(14,45]时，令f(t)＝(t－5)＋83>80，解得14<t<32.综上可得，12－2<t<32.

故老师在(12－2，32)这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．

22．(本小题满分12分)(2022·潍坊高一检测)已知函数f(x)＝

(1)在给定的直角坐标系内直接画出f(x)的图象．

(2)写出f(x)的单调区间，并指出单调性(不要求证明)．

(3)若函数y＝t－f(x)有两个不同的零点，求实数t的取值范围．

[解析]　(1)由题意知，函数f(x)大致图象如图：

(2)根据(1)中函数f(x)的大致图象，可知函数f(x)在[－1,0]上单调递增，在(0,2]上单调递减，在(2,5]上单调递增．

(3)根据(1)中函数f(x)的大致图象，可知

①当t<－1时，直线y＝t与y＝f(x)没有交点；

②当t＝－1时，直线y＝t与y＝f(x)有1个交点；

③当－1<t≤1时，直线y＝t与y＝f(x)有2个交点；

④当1<t<2时，直线y＝t与y＝f(x)有1个交点；

⑤当2≤t<3时，直线y＝t与y＝f(x)有2个交点；

⑥当t＝3时，直线y＝t与y＝f(x)有1个交点；

⑦当t>3时，直线y＝t与y＝f(x)没有交点．

综上可知，当y＝t－f(x)有两个不同的零点时，t的取值范围为：(－1,1]∪[2,3)．