新教材适用2023_2024学年高中数学第5章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.1任意角素养作业新人教A版必修第一册

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第五章　5.1　5.1.1 A　组·基础自测一、选择题1．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( B )A．120°　　　　　　　 B．－120°C．－60°  D．60°[解析]　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°，故选B．2．(多选题)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是( ABC )A．①  B．②C．③  D．④[解析]　第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，分析可知：①是第二象限角；②480°＝120°＋360°，是第二象限角；③－960°＝120°－3×360°，是第二象限角；④1 530°＝90°＋4×360°，不是第二象限角．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是( A )A．第一、三象限  B．第一、二象限C．第二、四象限  D．第三、四象限[解析]　由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z.当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限．综上，α终边所在的象限是第一或第三象限．4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( C )A．{α|－45°<α<120°}B．{α|120°<α<315°}C．{α|k·360°－45°<α<k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋315°，k∈Z}[解析]　在(－360°，360°)范围内，阴影部分表示为(－45°，120°)，故选C．5．已知α为第三象限角，则所在的象限是( D )A．第一或第二象限  B．第二或第三象限C．第一或第三象限  D．第二或第四象限[解析]　法一：因为α终边在第三象限，所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)，k为偶数时，在第二象限，k为奇数时，在第四象限．故选D．法二：如图所示，将每个象限二等分，标号Ⅲ所在的区域即为所在的区域，故选D．二、填空题6．如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝_－40°_.[解析]　由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°.7．－1 485°角是第_四_象限的角，与其终边相同的角中最大的负角是_－45°_.[解析]　因为－1 485°＝－5×360°＋315°，而315°∈(270°，360°)，所以－1 485°是第四象限角．又－360°＋315°＝－45°，最大的负角是－45°.8．终边在直线y＝x上的角的集合S＝ {β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}_.[解析]　在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：30°、210°(如图)，所以终边在y＝x上的角的集合是S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．三、解答题9．已知角θ的7倍角的终边与角θ的终边重合，且0°<θ<360°，求满足条件的角θ的集合．[解析]　由题意知，7θ＝θ＋k·360°，k∈Z，即6θ＝k·360°，k∈Z，∴θ＝k·60°，k∈Z，由0°<θ<360°，得0°<k·60°<360°，k∈Z，∴0<k<6，k∈Z，即k＝1,2,3,4,5，∴θ的集合为{60°，120°，180°，240°，300°}．10．已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.[解析]　(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．令－1 910°－k·360°≥0°，解得k≤－＝－5.k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或θ＝－470°.B　组·能力提升一、选择题1．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( C )A．第一象限角的集合B．第一或第二象限角的集合C．第一或第三象限角的集合D．第一或第四象限角的集合[解析]　由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z.∴k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z，故选C．2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( C )A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}[解析]　令k分别取－1,0,1,2，对应得到α的值为－126°，－36°，54°，144°.故选C．3．(多选题)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( BD )A．α＋β＝90°B．α＋β＝180°C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)[解析]　假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，AC都不满足条件．二、填空题4．与－500°角的终边相同的最小正角是_220°_，最大负角是_－140°_.[解析]　与－500°角的终边相同的角可表示为α＝k·360°－500°(k∈Z)，当k＝2时α＝220°为最小正角，当k＝1时α＝－140°为最大负角．5．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈ {α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}_.[解析]　在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．三、解答题6．在集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个在区间(－360°，360°)内的角？(3)写出其中的第三象限角．[解析]　(1)由k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．(2)由－360°<k·90°＋45°<360°，得－<k<.又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.所以在给定的角的集合中在区间(－360°，360°)内的角共有8个．(3)其中的第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.C　组·创新拓展如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．[解析]　根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，所以67.5°<<112.5°.又k∈Z，所以k＝3或4，所以所求的θ的值为或.因为0°<<90°，90°<<180°，所以θ在第一象限或第二象限．