新教材适用2023_2024学年高中数学第5章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.2蝗制素养作业新人教A版必修第一册

第五章　5.1　5.1.2

A　组·基础自测

一、选择题

1．下列各对角中，终边相同的是( D )

A．，　　　　　 B．－，

C．，－  D．－，－

[解析]　A错误，＝6π＋，＝10π－，终边不相同；B错误，π＝6π＋，其终边与－的终边不同；C错误，的终边在y轴的负半轴上，而－的终边在y轴的正半轴上，所以终边不相同；D正确，因为－＝－2π－，所以－和－的终边相同．

2．若α＝5 rad，则角α的终边所在的象限为( D )

A．第一象限　　　　 B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

[解析]　∵<5<2π，∴α＝5 rad为第四象限角，其终边位于第四象限．

3．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( D )

A．－－8π  B．π－8π

C．－10π  D．π－10π

[解析]　∵－1 485°＝－5×360°＋315°，

又2π rad＝360°，315°＝π rad.

故－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π.

4．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是( D )

A．

B．

C．

D．(k∈Z)

[解析]　阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)．

5．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是( C )

A．tan 1  B．

C．  D．

[解析]　如右图所示，设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交于D，则∠AOD＝∠AOB＝1，AC＝AB＝1.

在Rt△AOC中，OA＝＝.

∴扇形的面积S＝×2×＝.

二、填空题

6．将－1 360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为 －8π＋_.

[解析]　∵－1 360°＝－4×360°＋80°，而80°＝，

∴应填－8π＋.

7．若－π<α<π，2α与－的终边互相垂直，则α＝ －，－，，_.

[解析]　因为2α与－的终边互相垂直，所以2α＋＝＋2kπ或2α＋＝－＋2kπ(k∈Z)．因为－π<α<π，所以令k＝0,1，可得α＝－或或－或.

8．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为 _.

[解析]　连接AO，OB，因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为×4＝.

三、解答题

9．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．

[解析]　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成．故满足条件的角的集合为.

(2)将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为.

(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为.

(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.

10．(1)把310°化成弧度；

(2)把 rad化成角度；

(3)已知α＝15°、β＝、γ＝1、θ＝105°、φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．

[解析]　(1)310°＝ rad×310＝ rad.

(2) rad＝°＝75°.

(3)解法一(化为弧度)：

α＝15°＝15×＝.θ＝105°＝105×＝.

显然<<1<.故α<β< γ<θ＝φ.

解法二(化为角度)：

β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，

φ＝×°＝105°.

显然，15°<18°<57.30°<105°.

故α<β<γ<θ＝φ.

B　组·能力提升

一、选择题

1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( D )

A．第一象限  B．第四象限

C．x轴上  D．y轴上

[解析]　∵＝2kπ＋(k∈Z)，

∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．

当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．

2．(多选题)圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( BC )

A．扇形的面积不变

B．扇形的圆心角不变

C．扇形的面积增大到原来的4倍

D．扇形的圆心角增大到原来的2倍

[解析]　α＝＝＝α′，故圆心角不变，由面积公式S＝lr知，扇形的面积增大到原来的4倍，故选BC．

3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)( B )

A．6平方米  B．9平方米

C．12平方米  D．15平方米

[解析]　如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin ＝4×＝2，可得：弦＝2AD＝2×2＝4，所以，弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米)．故选B．

二、填空题

4．已知θ∈，则θ的终边所在的象限是_第一或第二象限_.

[解析]　当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝2mπ－(m∈Z)，

∴θ的终边在第一或第二象限．

5．如图，以正方形ABCD中的点A为圆心、边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为 2－_.

[解析]　设AB＝1，∠EAD＝α，因为S扇形ADE＝S阴影BCD，则由题意可得×12×α＝12－，所以解得α＝2－.

三、解答题

6．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.

(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；

(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.

[解析]　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，所以α＝∠AOB＝60°＝.

(2)由(1)可知α＝，r＝10，所以弧长l＝α·r＝×10＝，

所以S扇形＝lr＝××10＝，

而S△AOB＝·AB·r＝×10×5＝25，

所以S＝S扇形－S△AOB＝25.

7．已知一个扇形的周长为12 cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．

[解析]　设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的弧长为l＝rθ，根据题意，扇形的周长2r＋l＝12，解得l＝12－2r，所以扇形的面积S＝lr＝(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9，故当r＝3时，S取得最大值，此时l＝12－2×3＝6，扇形的圆心角θ＝＝＝2.

8．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．

(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；

(2)比较两种方案中的扇形面积的大小．

[解析]　(1)由题图①所示的方案，可得∠OAD＝，R1＝2，

所以扇形的周长为C1＝2R1＋×R1＝2×2＋＝4＋.

由题图②所示的方案，可得∠MON＝，R2＝1，

所以扇形的周长为C2＝2R2＋×R2＝2×1＋＝2＋.

所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|C1－C2|＝＝＝2－.

(2)题图①所示方案的扇形面积为S1＝α1R＝××22＝.题图②所示方案的扇形面积为S2＝α2R＝××12＝.

所以两种方案中的扇形面积一样大．

C　组·创新拓展

　如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，求点A走过的路径长为 _dm，走过的弧所在扇形的总面积为 _dm2.

[解析]　所在的圆的半径是2 dm，所对圆心角为，

所在的圆的半径是1 dm，所对圆心角为，

所在的圆的半径是 dm，所对圆心角是.

点A走过的路程是3段圆弧长之和，即：

＋＋＝(dm)；

3段弧所对应的扇形总面积为：

＋＋＝(dm2)．