高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时综合训练题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．化简sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( B )
A．－sin x B．sin x
C．－cs x D．cs x
[解析] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＋eq \f(1,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x＝sin x．故选B.
2.eq \r(3)cseq \f(π,12)－sineq \f(π,12)的值是( B )
A．0 B．eq \r(2)
C．－eq \r(2) D．2
[解析] eq \r(3)cseq \f(π,12)－sineq \f(π,12)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs\f(π,12)－\f(1,2)sin\f(π,12)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)cs\f(π,12)－cs\f(π,3)sin\f(π,12)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝2sineq \f(π,4)＝eq \r(2).
3．(多选题)cs α－eq \r(3)sin α化简的结果可以是( BD )
A．eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)) B．2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))
C．eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)) D．2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
[解析] cs α－eq \r(3)sin α＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs α－\f(\r(3),2)sin α))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)cs α－sin\f(π,3)sin α))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))).
cs α－eq \r(3)sin α＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs α－\f(\r(3),2)sin α))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,6)cs α－cs\f(π,6)sin α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)).故选BD.
4．在△ABC中，若sin Asin BA．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[解析] ∵sin Asin B∴cs Acs B－sin Asin B>0，
∴cs(A＋B)>0，∵A，B，C为三角形的内角，∴A＋B为锐角，∴C为钝角．
5．已知cs α＝eq \f(3,5)，cs(α－β)＝eq \f(7\r(2),10)，且0＜β＜α＜eq \f(π,2)，那么β＝( C )
A．eq \f(π,12) B．eq \f(π,6)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)
[解析] ∵0＜β＜α＜eq \f(π,2)，
∴0＜α－β＜eq \f(π,2)，
由cs α＝eq \f(3,5)得sin α＝eq \f(4,5)，
由cs(α－β)＝eq \f(7\r(2),10)得sin(α－β)＝eq \f(\r(2),10)，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
＝eq \f(4,5)×eq \f(7\r(2),10)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),10)
＝eq \f(25\r(2),50)＝eq \f(\r(2),2)，
∴β＝eq \f(π,4).故选C.
二、填空题
6．已知α是锐角，sin α＝eq \f(3,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))等于 eq \f(\r(2),10)_.
[解析] 易知cs α＝eq \f(4,5)，
故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \f(π,4)cs α－sineq \f(π,4)sin α＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)－\f(3,5)))＝eq \f(\r(2),10).
7．已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ －eq \f(1,2)_.
[解析] 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＋cs β＝1，①,cs α＋sin β＝0，②))
①2＋②2得2＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
8．在△ABC中，3sin A＋4cs B＝6,4sin B＋3cs A＝1，则C等于_30°_.
[解析] 已知两式两边分别平方相加，得
25＋24(sin Acs B＋cs Asin B)＝37，即25＋24sin(A＋B)＝37，
∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)＝eq \f(1,2)，∴C＝30°或150°.
当C＝150°时，A＋B＝30°，
此时3sin A＋4cs B＜3sin 30°＋4cs 0°＝eq \f(11,2)与已知矛盾，∴C＝30°.
三、解答题
9．化简求值：
(1)cs 44°sin 14°－sin 44°cs 14°；
(2)sin(54°－x)cs(36°＋x)＋cs(54°－x)sin(36°＋x)．
[解析] (1)原式＝sin(14°－44°)
＝sin(－30°)＝－eq \f(1,2).
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
10．已知cs α＝－eq \f(4,5)，eq \f(π,2)<α<π，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值．
[解析] ∵cs α＝－eq \f(4,5)，且eq \f(π,2)<α<π，
∴sin α＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))2)＝eq \f(3,5)，
∴cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cs eq \f(π,6)cs α＋sin eq \f(π,6)sin α＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＝eq \f(3－4\r(3),10)，
cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cs eq \f(π,6)cs α－sin eq \f(π,6)sin α＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＝－eq \f(3＋4\r(3),10).
B 组·能力提升
一、选择题
1．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccs B，那么这个三角形是( C )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
[解析] 由sin A＝2sin Ccs B可知sin[π－(B＋C)]＝2sin Ccs B，
∴sin(B＋C)＝2sin Ccs B，
∴sin Bcs C－cs Bsin C＝0，
∴sin(B－C)＝0，即B＝C.故选C.
2．(多选题)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是( BD )
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
[解析] 因为sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝sin α＋sin β，所以cs β＝1且cs α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．
3．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且tan α＝eq \f(1＋sin β,cs β)，则( C )
A．3α－β＝eq \f(π,2) B．3α＋β＝eq \f(π,2)
C．2α－β＝eq \f(π,2) D．2α＋β＝eq \f(π,2)
[解析] ∵tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1＋sin β,cs β)，
∴sin αcs β＝cs α＋cs αsin β，
∴sin(α－β)＝cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，
又α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴α－β＝eq \f(π,2)－α，即2α－β＝eq \f(π,2).故选C.
二、填空题
4．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcs(x＋φ)的最大值为_1_，最小值为_－1_.
[解析] 因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcs(x＋φ)＝sin [(x＋φ)＋φ]－2sin φcs(x＋φ)＝sin(x＋φ)cs φ－sin φcs(x＋φ)＝sin x，所以函数f(x)的最大值为1，最小值为－1.
5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋sin α＝－eq \f(4\r(3),5)，－eq \f(π,2)＜α＜0，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝ －eq \f(4,5)_，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))＝ eq \f(4,5)_.
[解析] ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋sin α＝eq \f(1,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＋sin α＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α＋\f(1,2)cs α))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝－eq \f(4\r(3),5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝－eq \f(4,5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(4,5).
三、解答题
6．已知cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(3,5)，－eq \f(π,2)<β<0<α(1)求sin(α－β)的值；
(2)若sin β＝－eq \f(5,13)，求sin α的值．
[解析] (1)∵cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(3,5)，
∴cs(α－β)＝eq \f(3,5)，
∵－eq \f(π,2)<β<0<α∴sin(α－β)＝eq \f(4,5).
(2)又sin β＝－eq \f(5,13)，∴cs β＝eq \f(12,13)，
由(1)得cs(α－β)＝eq \f(3,5)，sin(α－β)＝eq \f(4,5)，
∴sin α＝sin [(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cs β＋cs(α－β)sin β
＝eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝eq \f(33,65).
C 组·创新拓展
若sin θ－eq \r(3)cs θ＝eq \f(2\r(2),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝( A )
A．－eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
[解析] 因为sin θ－eq \r(3)cs θ＝eq \f(2\r(2),3)，
所以eq \f(1,2)sin θ－eq \f(\r(3),2)cs θ＝eq \f(\r(2),3)，
所以sin θcseq \f(π,3)－cs θsineq \f(π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(2),3).