高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时课时作业，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．已知eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值是( C )
A．2 B．－2
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
[解析] 由eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝2，得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1,2).
2．已知点P(1，a)在角α的终边上，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,3)，则实数a的值是( C )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．－2 D．－eq \f(1,2)
[解析] ∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))
＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝－eq \f(1,3)，
∴tan α＝－2.
∵点P(1，a)在角α的终边上，
∴tan α＝eq \f(a,1)＝a，
∴a＝－2.故选C.
3．若sin α＝eq \f(3,5)，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( C )
A．eq \f(4,3) B．－eq \f(4,3)
C．7 D．eq \f(1,7)
[解析] 易知tan α＝－eq \f(3,4).
tan β＝tan [(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×1)＝eq \f(\f(7,4),\f(1,4))＝7.
4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C的值是( B )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
[解析] 由tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，得eq \f(tan A＋tan B,1－tan A·tan B)＝－1，即tan(A＋B)＝－1.
∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝eq \f(3π,4)，
∴C＝eq \f(π,4)，cs C＝eq \f(\r(2),2).
5．已知tan α、tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且－eq \f(π,2)<αA．eq \f(π,3) B．－eq \f(2π,3)
C．eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3) D．－eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
[解析] 由韦达定理得
tan α＋tan β＝－3eq \r(3)，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3)，
又－eq \f(π,2)<α且tan α<0，tan β<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－eq \f(2π,3).
二、填空题
6．tan 70°＋tan 50°－eq \r(3)tan 50°tan 70°＝ －eq \r(3)_.
[解析] ∵tan 70°＋tan 50°＝tan 120°(1－tan 50°·tan 70°)
＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan 50°·tan 70°，
∴原式＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan 50°·tan 70°－eq \r(3)tan 50°·tan 70°＝－eq \r(3).
7．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为_－2_.
[解析] 因为tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(4,1－3)＝－2.
8．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为 eq \f(1,7)_.
[解析] tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]
＝eq \f(tanβ－α－tan α,1＋tanβ－α·tan α)＝eq \f(3－2,1＋3×2)＝eq \f(1,7).
三、解答题
9．已知sin α＝－eq \f(3\r(10),10)且α是第三象限角，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值．
[解析] ∵sin α＝－eq \f(3\r(10),10)且α是第三象限角，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))2)＝－eq \f(\r(10),10).
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝3.
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－tan\f(π,4),1＋tan α·tan\f(π,4))＝eq \f(3－1,1＋3×1)＝eq \f(1,2).
10．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))＝eq \r(2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝2eq \r(2)，求：
(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))；
(2)tan(α＋β)．
[解析] (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))·tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))))
＝eq \f(\r(2)＋2\r(2),1－\r(2)·2\r(2))＝－eq \r(2).
(2)tan(α＋β)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋\f(π,4)))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))·tan\f(π,4))
＝eq \f(－\r(2)＋1,1－－\r(2)×1)＝2eq \r(2)－3.
B 组·能力提升
一、选择题
1．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－3，则sin α＝( A )
A．eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(2\r(5),5) D．±eq \f(\r(5),5)
[解析] tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋tan \f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))tan \f(π,4))＝－eq \f(1,2)，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，
∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴sin α＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，故选A.
2．(多选题)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，下列各式正确的是( CD )
A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－eq \r(3)
C．tan A＝tan B D．cs B＝eq \r(3)sin A
[解析] ∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，
∴2(A＋B)＝C，∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \r(3)，∴A，B都错；
∵tan A＋tan B＝eq \r(3)(1－tan A·tan B)＝eq \f(2\r(3),3)，
∴tan A·tan B＝eq \f(1,3)，①
又tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，②
由①②联立解得tan A＝tan B＝eq \f(\r(3),3)，所以cs B＝eq \r(3)sin A，故C，D正确，故选CD.
3．已知α＋β＝eq \f(π,6)，且α、β满足eq \r(3)(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于( D )
A．－eq \f(\r(3),3) B．eq \r(3)
C．－eq \r(3) D．3eq \r(3)
[解析] ∵eq \r(3)(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，
∴eq \r(3)tan αtan β＋3(tan α＋tan β)
＝tan α－2eq \r(3).①
∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\r(3),3)，
∴3(tan α＋tan β)＝eq \r(3)(1－tan αtan β)，②
将②代入①得eq \r(3)＝tan α－2eq \r(3)，∴tan α＝eq \r(3)＋2eq \r(3)＝3eq \r(3).
二、填空题
4．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则taneq \f(α＋β,2)＝ eq \f(1,7)_.
[解析] taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))))
＝eq \f(\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))),1－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝eq \f(1,7).
5．在△ABC中，若sin Acs B＝3sin Bcs A，B＝A－eq \f(π,6)，则B＝ eq \f(π,6)_.
[解析] ∵sin Acs B＝3sin Bcs A，∴tan A＝3tan B，
又B＝A－eq \f(π,6)，
∴tan B＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))＝eq \f(tan A－tan\f(π,6),1＋tan Atan\f(π,6))，
即tan B＝eq \f(3tan B－tan\f(π,6),1＋3tan Btan\f(π,6))，
∴3tan2B－2eq \r(3)tan B＋1＝0，∴tan B＝eq \f(\r(3),3)，
又B为三角形的内角，∴B＝eq \f(π,6).
三、解答题
6．已知tan α，tan β都是关于x的一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．
[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠0，,Δ＝2m－32－4mm－2≥0，))
解得m≤eq \f(9,4)且m≠0.
且tan α＋tan β＝－eq \f(2m－3,m)，tan αtan β＝eq \f(m－2,m).
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\f(2m－3,m),1－\f(m－2,m))＝eq \f(3,2)－m.
又m≤eq \f(9,4)且m≠0，
∴tan(α＋β)的最小值为eq \f(3,2)－eq \f(9,4)＝－eq \f(3,4).
C 组·创新拓展
是否存在锐角α和β，使得下列两式
①α＋2β＝eq \f(2,3)π ②taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立？
[解析] 存在α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)，使①②同时成立．
假设存在符合题意的锐角α和β，
由①知：eq \f(α,2)＋β＝eq \f(π,3)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))＝eq \f(tan\f(α,2)＋tan β,1－tan\f(α,2)tan β)＝eq \r(3)，
由②知taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)，∴taneq \f(α,2)＋tan β＝3－eq \r(3)，
∴taneq \f(α,2)，tan β是方程x2－(3－eq \r(3))x＋2－eq \r(3)＝0的两个根，
得x1＝1，x2＝2－eq \r(3).
∵0<α∴taneq \f(α,2)≠1，即taneq \f(α,2)＝2－eq \r(3)，tan β＝1.
又∵0<β∴存在锐角α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)，使①②同时成立．