新教材适用2023_2024学年高中数学第5章三角函数5.6函数y＝Asinωx＋φ素养作业新人教A版必修第一册

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第五章　5.6A　组·基础自测一、选择题1．若函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图象，则( A )A．f(x)＝cos 2x　　 　  B．f(x)＝sin 2xC．f(x)＝－cos 2x  D．f(x)＝－sin 2x[解析]　依题意得f(x)＝sin＝sin＝cos 2x.故选A.2．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( B )A．5　　　 B．4　　　C．3　　　 D．2[解析]　由函数的图象可得＝×＝－x0＝，解得ω＝4.故选B.3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则A，ω的值分别为( A )A．2,2  B．2,1 C．4,2  D．2,4[解析]　由函数的图象可得A＝2，T＝－＝π，∴ω＝＝2，故选A.4．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( B )A．sin  B．sinC．sin  D．sin[解析]　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．5．函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法正确的是( D )A．关于点对称B．关于直线x＝－对称C．关于点对称D．关于直线x＝对称[解析]　将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos.令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，故A错误．令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故B错误．令x＝，求得f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故C错误，D正确．故选D.二、填空题6．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，为了得到g(x)＝sin的图象，只需将y＝f(x)的图象上横坐标伸长为原来的_4_倍．[解析]　∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π.∴ω＝2.∴f(x)＝sin.又g(x)＝sin＝sin，∴只需将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)＝sin的图象．7．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，所得函数的解析式为_y＝－cos_2x_.[解析]　把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得y＝sin的图象；再将图象向右平移个单位，可得y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象．8．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝ －_.[解析]　由题意可得：T＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，∴φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得：φ＝－，据此有：f(x)＝2cos，f＝2cos＝2cos＝－.故答案为－.三、解答题9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象如图，求该函数的一个解析式．[解析]　方法一(最值点法)：由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.又＝，∴图象上的最高点为，∴＝sin，即sin＝1，可取φ＝－，故函数的一个解析式为y＝sin.方法二(五点对应法)：由图象知A＝，又图象过点，，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得解得故函数的一个解析式为y＝sin.10．已知函数y＝3sin.(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．[解析]　(1)列表：x－0π2πxy030－30描点：在坐标系中描出下列各点，，，，.连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如图所示．这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin的图象．(2)①把y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象；②把y＝sin图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；③将y＝sin的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图象．B　组·能力提升一、选择题1．函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)的图象的一个对称中心是( B )A．点  B．点C．点  D．点[解析]　由函数图象知A＝2，由图象过点(0，)，可得2sin φ＝，即sin φ＝.由于|φ|<，得φ＝，即f(x)＝2sin.由2x＋＝kπ，k∈Z可解得x＝－，k∈Z.故f(x)的图象的对称中心点，k∈Z.当k＝0时，f(x)的图象的一个对称中心是点.2．(多选题)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，将函数f(x)图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1)，则函数f(x)＝sin(2x＋φ)( BD )A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增[解析]　将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin，函数f(x)的图象过点P(0,1)，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z；所以φ＝－＋2kπ，k∈Z；因为－π<φ<0，所以φ＝－；所以函数f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z；解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；所以f(x)在，上单调递增．3．(多选题)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则( AD )A．g(x)在上的最小值为－B．g(x)在上的最小值为－1C．g(x)在上的最大值为D．g(x)在上的最大值为1[解析]　f(x)左移个单位，得到函数g(x)＝sin 2，即g(x)＝sin，当0≤x≤时，≤2x＋≤，故－≤sin≤1，当2x＋＝，x＝时g(x)max＝1，当2x＋＝，x＝时g(x)min＝－.故选AD.二、填空题4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝ －_.[解析]　由函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)是奇函数，可得φ＝，则f(x)＝Acos＝－Asin ωx(A>0，ω>0)．由△EFG是边长为2的等边三角形，可得A＝，周期T＝4＝，ω＝，则f(x)＝－sinx，∴f(1)＝－.5．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数中，所有正确结论的编号为_②④_.[解析]　∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，∵φ＝kπ＋.∵φ∈，∴φ＝，∴y＝sin.由图象及性质可知②④正确．三、解答题6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的单调增区间；(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．[解析]　(1)由题意作出f(x)的简图如图．由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，∴4π＝，即ω＝，∴f(x)＝2sin，∴f(0)＝2sin φ＝1，又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.∵f(x0)＝2sin＝2，∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.∴x0＝4kπ＋，k∈Z，又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0＝.(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．(3)∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，∴－≤sin≤1，∴－≤f(x)≤2，故f(x)的值域为[－，2]．C　组·创新拓展函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的零点个数为_8_，所有零点之和为_8_.[解析]　函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的零点即方程2sin πx＝的根，作函数y＝2sin πx与y＝的图象如图所示：由图可知共有8个公共点，所以原函数有8个零点．y＝2sin πx－＝2sin π(1－x)－，令t＝1－x，则y＝2sin πt－，t∈[－3,3]，该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.