新教材适用2023_2024学年高中数学第5章三角函数5.25.2.2同角三角函数的基本关系素养作业新人教A版必修第一册

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第五章　5.2　5.2.2A　组·基础自测一、选择题1．α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( B )A．  B．－ C．  D．－[解析]　∵α是第四象限角，∴sin α<0.∵∴sin α＝－.2．已知＝－，则＝( A )A．  B．－ C．2  D．－2[解析]　由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－sin x)(1＋sin x)，得＝，所以＝－＝－＝.故选A．3．若α为第三象限角，则＋的值为( B )A．3  B．－3 C．1  D．－1[解析]　∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－－＝－3.4．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为( B )A．锐角三角形  B．钝角三角形C．等边三角形  D．等腰直角三角形[解析]　(sin α＋cos α)2＝，∴2sin αcos α＝－<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角．5．已知sin α－3cos α＝0，则sin2α＋sin αcos α值为( B )A．  B． C．3  D．4[解析]　由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，又sin2α＋sin αcos α＝＝＝＝.二、填空题6．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝_60°_.[解析]　∵2sin2A＝3cos A，∴2(1－cos2A)＝3cos A，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，∴cos A＝，cos A＝－2(舍去)，∴A＝60°.7．已知tan α＝cos α，那么sin α＝ _.[解析]　由于tan α＝＝cos α，则sin α＝cos2α，所以sin α＝1－sin2α，解得sin α＝.又sin α＝cos2α≥0，所以sin α＝.8．若＝1，则tan α的值为_3_.[解析]　＝1化为＝1，所以2tan α＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3.三、解答题9．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α＝＋.[证明]　左边＝sin α＋cos α＝sin α＋＋cos α＋＝＋＝＋＝右边．即原等式成立．10．(1)已知0<x<π，sin x＋cos x＝，求tan x的值；(2)已知tan x＝2，求sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的值．[解析]　(1)由sin x＋cos x＝，①两边平方，得1＋2sin xcos x＝，则sin xcos x＝－.∵0<x<π，∴<x<π，∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝1＋2×＝，∴sin x－cos x＝.②由①②解得∴tan x＝－.(2)由tan x＝2，得sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x＝＝＝＝.B　组·能力提升一、选择题1．若π<α<，＋的化简结果为( D )A．  B．－C．  D．－[解析]　原式＝＋＝＋＝，∵π<α<，∴原式＝－.2．若＝2，则sin θ·cos θ＝( D )A．－  B． C．±  D．[解析]　由＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝＝＝.3．(多选题)＋的值可能为( BD )A．0  B．1 C．2  D．3[解析]　令f(x)＝＋＝＋，当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，则f(x)＝3，当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，则f(x)＝1，当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，则f(x)＝－3，当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，则f(x)＝－1.故选BD．二、填空题4．已知sin α－cos α＝(0<α<π)，则sin α＝ _，tan α＝_－1_.[解析]　由题意可得解得sin α＝，cos α＝－，则tan α＝＝－1.5．已知cos θ＝，则sin θ的值为_3_.[解析]　原式可化为sin θ＝sin θ＝sin θ＝＝3.三、解答题6．(1)化简：tan α(其中α为第二象限角)；(2)求证：·＝1.[解析]　(1)因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.原式＝tan α＝tan α＝tan α＝·||＝·＝－1.(2)证明：·＝·＝·＝＝＝1.C　组·创新拓展已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ.(1)求k的值；(2)求tan θ＋的值．[解析]　(1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：∵sin2θ＋cos2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，④∴将②③代入④，得－＝1，即9k2－8k－20＝0，解得k＝－或k＝2(舍去)．∴k＝－.(2)tan θ＋＝＋＝，由(1)知sin θ·cos θ＝＝－，∴tan θ＋＝＝－.