高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）巩固练习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( C )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
[解析] 用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同，故选C.
2．利用二分法求方程 lg3x＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是( C )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] 设 f(x)＝lg3x－3＋x ,
当连续函数 f(x) 满足 f(a)·f(b)<0 时， f(x)在区间 (a，b) 上有零点，即方程 lg3x＝3－x 在区间 (a，b) 上有解，
f(1)＝lg31－3＋1＝－2<0 ，又 f(2)＝lg32－1<0，
f(3)＝lg33－3＋3＝1>0 , f(4)＝lg34－3＋4＝1＋lg34>2>0，
故 f(2)·f(3)<0 ，故方程 lg3x＝3－x 在区间(2,3)上有解．故选C.
3．函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(－1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点，则实数a的取值范围是( B )
A．－3C．－3eq \f(3,4)
[解析] ∵函数f(x)＝ax2－2x＋1在(－1,1)和(1,2)上分别存在一个零点，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1f1<0，,f1f2<0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋3a－1<0，,a－14a－3<0，))解得eq \f(3,4)4．函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p的取值范围是( A )
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(－1,1) D．[－1,1]
[解析] 记f(x)＝x2＋2px＋1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在点(1,0)的左方，另一个在点(1,0)的右方，
∴必有f(1)<0，即12＋2p＋1<0.
∴p<－1.∴p的取值范围为(－∞，－1)．
5．(多选题)下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是( BC )
A．y＝3x2－2x＋5
B．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋1，x≥0,x＋1，x<0))
C．y＝eq \f(2,x)＋1，x∈(－∞，0)
D．y＝eq \f(1,2)x2＋4x＋8
[解析] 由y＝3x2－2x＋5，知此函数的判别式Δ<0，故函数y＝3x2－2x＋5无零点；由y＝eq \f(1,2)x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值．故D错误．
二、填空题
6．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是_(2)_.
(1)(－1,0)；(2)(0,1)；(3)(1,2)；(4)(2,3)．
[解析] 令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147<0，F(0)＝－0.44<0，F(1)＝0.542>0，F(2)＝0.739>0，F(3)＝0.759>0，所以F(0)·F(1)<0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2)．
7．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2，x≤0，,2x－6＋ln x，x>0))的零点个数是_2_.
[解析] 当x≤0时，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝eq \r(2)(舍)或x＝－eq \r(2)，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点．
当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x，
令2x－6＋ln x＝0，得ln x＝6－2x.作出函数y＝ln x与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图象(图略)，
则两函数图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋ln x(x>0)只有一个零点．
综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.
8．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测_6_次．
[解析] 第1次取中点把焊点数减半为eq \f(64,2)＝32，第2次取中点把焊点数减半为eq \f(32,2)＝16，第3次取中点把焊点数减半为eq \f(16,2)＝8，第4次取中点把焊点数减半为eq \f(8,2)＝4，第5次取中点把焊点数减半为eq \f(4,2)＝2，第6次取中点把焊点数减半为eq \f(2,2)＝1，所以至多需要检测的次数是6.
三、解答题
9．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
[解析] 因为f(1.25)·f(1.375)<0，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．
10．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．
参考数值：
[解析] (1)令f(x)＝2x＋2x－5.
因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．
因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，
f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以方程2x＋2x＝5有一解在(1,2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，
且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以函数的零点近似值为1.312 5，
即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.
B组·能力提升
一、选择题
1．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝eq \f(a＋b,2)与真实零点的误差最大不超过( B )
A.eq \f(ε,4) B．eq \f(ε,2)
C．ε D．2ε
[解析] 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－eq \f(a＋b,2)＝eq \f(a＋b,2)－a＝eq \f(b－a,2)2．(多选题)已知函数f(x)在区间(0，a)(a>0)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,4)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,8)))，则下列说法不正确的是( ACD )
A．函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,16)))内一定有零点
B．函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,16)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,16)，\f(a,8)))内有零点，或零点是eq \f(a,16)
C．函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,16)，a))内无零点
D．函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,16)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,16)，\f(a,8)))内有零点
[解析] 根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,16)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,16)，\f(a,8)))中或零点是eq \f(a,16).故选ACD.
3．已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间(0,4)，(0,2)，(1,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))内，则与f(0)符号相同的是( A )
A．f(1) B．f(2)
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) D．f(4)
[解析] 零点在(0,4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，零点在(0,2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0；零点在(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0；零点在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))内，则有f(1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，则f(1)>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0.所以与f(0)符号相同的是f(1)．
二、填空题
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝_0.25_.
[解析] ∵f(0)<0，f(0.5)>0，
∴f(0)·f(0.5)<0，
∴f(x)在(0,0.5)内必有零点，利用二分法，则第二次应计算feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0＋0.5,2)))＝f(0.25)，∴x1＝0.25.
5．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称_4_次就可以发现这枚假币．
[解析] 将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
三、解答题
6．已知函数y＝|3x－1|，试问k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
[解析] 作出y＝|3x－1|的图象，如图所示．
当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0综上所述，当k<0时方程无解；当k＝0或k≥1时方程有一解；当0C组·创新拓展
若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[解析] 由题意得f(x)的图象是开口向上的抛物线，由a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点．所以f(x)的两个零点分别在(a，b)和(b，c)内．x
－1
0
1
2
3
f(x)
－0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
－0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9
x
1.25
1.281 25
1.312 5
1.375
1.5
2x
2.378
2.430
2.484
2.594
2.828
区间
中点的值
中点函数值符号
(1,2)
1.5
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)>0
(1.25,1.312 5)
1.281 25
f(1.281 25)<0