高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第2课时练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第2课时练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝( A )
A．－3 B．－4
C．－5 D．2
[解析] 由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，
a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.
2．在数列{an}中，a1＝eq \f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( B )
A．－eq \f(16,3) B．eq \f(16,3)
C．－eq \f(8,3) D．eq \f(8,3)
[解析] ∵a1＝eq \f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，
a3＝(－1)3×2×eq \f(2,3)＝－eq \f(4,3)，
a4＝(－1)4×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－eq \f(8,3)，
a5＝(－1)5×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)))＝eq \f(16,3).
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是( A )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 因为an＝(n2－6n＋9)－4＝(n－3)2－4，故当n＝3时，an取得最小值－4，所以数列的第3项是最小项．
4．(多选题)下列叙述中，正确的是( ABC )
A．通项公式为an＝2的数列是常数列
B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1n·\f(1,n)))是摆动数列
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n,2n＋1)))是递增数列
D．若数列{an}是递增数列，则数列{an·an＋1}也是递增数列
[解析] A中每一项均为2，是常数列；B中项的符号由(－1)n为调整，是摆动数列；C中eq \f(n,2n＋1)可变形为eq \f(1,2＋\f(1,n))，为递增数列；D中若an＝n－3，则anan＋1＝(n－3)(n－2)＝n2－5n＋6，不是递增数列．
5．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝( C )
A．－7 B．3
C．15 D．81
[解析] 由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3.
又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9.
又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7.
又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5.
又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15.故选C．
二、填空题
6．数列{an}满足an＝eq \f(1,an－1)＋2(n≥2，n∈N*)，当a1＝1时，a4＝ eq \f(17,7) .
[解析] 由a1＝1，an＝eq \f(1,an－1)＋2(n≥2，n∈N*)，得a2＝3，a3＝eq \f(7,3)，a4＝eq \f(17,7).
7．对于正项数列{an}中，定义：Gn＝eq \f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,n)为数列{an}的“匀称值”已知数列{an}的“匀称值”为Gn＝n＋2，则该数列中的a10＝ eq \f(21,10) .
[解析] Gn＝eq \f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,n)＝n＋2，即nGn＝neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋2))＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，
故a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋2))；a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9＋2))；
两式相减得10a10＝21，所以a10＝eq \f(21,10).
8．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝eq \f(an＋1,an)构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前5项为 eq \f(5,2)，eq \f(8,5)，eq \f(11,8)，eq \f(14,11)，eq \f(17,14) .
[解析] ∵an＝3n－1(n∈N*)，
∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，
∴bn＝eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3n＋2,3n－1).
∴b1＝eq \f(5,2)，b2＝eq \f(8,5)，b3＝eq \f(11,8)，b4＝eq \f(14,11)，b5＝eq \f(17,14).
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(lg2an)＝－2n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的单调性．
[解析] (1)因为f(x)＝2x－2－x，f(lg2an)＝－2n，
所以2lg2an－2－lg2an＝－2n，即an－eq \f(1,an)＝－2n，
所以aeq \\al(2,n)＋2nan－1＝0，解得an＝－n±eq \r(n2＋1).
因为an>0，所以an＝eq \r(n2＋1)－n，n∈N*.
(2)eq \f(an＋1,an)＝eq \f(\r(n＋12＋1)－n＋1,\r(n2＋1)－n)
＝eq \f(\r(n2＋1)＋n,\r(n＋12＋1)＋n＋1)<1.
因为an>0，所以an＋110．已知数列{an}满足a1＝1，其前n项和是Sn，对任意正整数n，Sn＝n2an，求此数列的通项公式．
[解析] ∵Sn＝n2an，∴n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，化为eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)，
∴an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·eq \f(an－2,an－3)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)·a1
＝eq \f(n－1,n＋1)·eq \f(n－2,n)·eq \f(n－3,n－1)·…·eq \f(2,4)·eq \f(1,3)·1
＝eq \f(2,nn＋1)，
n＝1时也成立，∴an＝eq \f(2,nn＋1).
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)如果{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为( AD )
A．an＝2n＋3 B．an＝－n2－3n＋1
C．an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n D．an＝1＋lg2n
[解析] A是n的一次函数，一次项系数为2，所以为递增数列；
B是n的二次函数，二次项系数为－1，且对称轴为n＝－eq \f(3,2)，所以为递减数列；
C是n的指数函数，且底数为eq \f(1,2)，是递减数列；
D是n的对数型函数，且底数为2，是递增数列．
2．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)(n∈N*)，则该数列的前2 021项的乘积是( C )
A．－2 B．－1
C．2 D．1
[解析] 因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)(n∈N*)，所以a2＝eq \f(1＋a1,1－a1)＝eq \f(1＋2,1－2)＝－3，同理可得a3＝－eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1,3)，a5＝2，…，所以数列{an}每四项重复出现，即an＋4＝an，且a1·a2·a3·a4＝1，而2 021＝505×4＋1，所以该数列的前2 021项的乘积是a1·a2·a3·a4·…·a2 021＝1505×a1＝2.
3．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是( B )
A．40 B．45
C．50 D．55
[解析] 交点个数依次组成数列为1,3,6，即eq \f(2×1,2)，eq \f(2×3,2)，eq \f(3×4,2)，由此易得an＝eq \f(nn－1,2)，
∴a10＝eq \f(10×9,2)＝45.
二、填空题
4．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x1＝5，且对任意的正整数n均有xn＋1＝f(xn)，则x2 024＝_2__.
[解析] 由题意可知x1、x2、x3、x4、x5、…的值分别为5,2,1,5,2，…，{xn}周期为3.
∴x2 024＝x3×674＋2＝x2＝2.
5．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，有以下四种说法：
(1)该数列有无限多个正数项．
(2)该数列有无限多个负数项．
(3)该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值．
(4)－70是该数列中的一项．
其中正确说法的序号为_(2)(4)__.
[解析] 令－2n2＋13n>0，得0令－2n2＋13n＝－70，得n＝10，或n＝－eq \f(7,2)(舍去)．
即－70是该数列的第10项，所以(4)正确．
三、解答题
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通项公式an.
[解析] 因为数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，
所以a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5.
n＝1时，4n－5＝－1≠a1，所以{an}的通项公式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n＝1，,4n－5，n≥2))(n∈N*)．
7．已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，n≥2时，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．
[解析] 因为anan－1＝an－1－an，
所以n≥2时，eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－\f(1,a1)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a3)－\f(1,a2)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))＝＝n＋1.所以eq \f(1,an)＝n＋1，所以当n≥2时，an＝eq \f(1,n＋1).当n＝1时，a1＝eq \f(1,2)也适合上式，所以an＝eq \f(1,n＋1)(n∈N*)．
C 组·探索创新
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－ax－6，x≤10，,ax－9，x>10.))若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( C )
A．(1,3) B．(1,2]
C．(2,3) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(14,11)，3))
[解析] 由题意知an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－an－6，n≤10，,an－9，n>10.))
因为数列{an}是递增数列，所以当n≤10时，3－a>0，即a<3，
当n>10时，a>1，且a10由上可得a的取值范围为{a|21
2
3
4
5
f(x)
5
1
3
4
2