高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时达标测试，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知{an}为等差数列，a1＝－1，a5＝5，则a3＝( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵{an}为等差数列，∴a3＝eq \f(－1＋5,2)＝2.
故选B.
2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( A )
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个不等实根
D．不能确定有无实根
[解析] 由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，Δ＝62－4×10an≥0，对任意p≤qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p，q∈N*))，都有aq－ap是数列{an}中的项，则( B )
A．a3＝a1＋a2 B．a4＝a2＋a3
C．a5＝a3＋a4 D．a6＝a4＋a5
[解析] 因为an＋1>an，a1≥0，a1－a1＝0∈{an}，所以a1＝0.
因为0＝a1－a2 021，则f(a1)>f(－a2 021)＝－f(a2 021)，
所以f(a1)＋f(a2 021)>0.
同理可得f(a2)＋f(a2 020)>0，f(a3)＋f(a2 019)>0，…，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2 020))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2 021))
＝[f(a1)＋f(a2 021)]＋[f(a2)＋f(a2 020)]＋…＋[f(a1 010)＋f(a1 012)]＋f(a1 011)>0，
故选A．
2．(多选题)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有( BD )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0
C．a3＋a100≤0 D．a51＝0
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，易知d>0，
∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，
且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，
∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，
故B，D正确，A错误．
又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，
∴a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d>0，故C错误．故选BD.
3．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( C )
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞eq \r(a1a3)
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
[解析] 先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a30，则aeq \\al(2,2)>a1a3⇒a2>eq \r(a1a3)，选C．
二、填空题
4．已知各项都为正数的等差数列{an}中，a5＝3，则a3a7的最大值为_9__.
[解析] 依题意，等差数列{an}各项都为正数，所以a3>0，a7>0，所以a3a7≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a3＋a7,2)))2＝aeq \\al(2,5)＝9.当且仅当a3＝a7＝3时等号成立．
5．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1,2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为 －eq \f(1,2) .
[解析] ∵a4＋λa10＋a16＝15，∴(λ＋2)a10＝15，
∴(λ＋2)(a1＋9d)＝15.
又a1＝1，∴λ＋2＋9(λ＋2)d＝15，∴λ＝eq \f(15,1＋9d)－2.
∵d∈[1,2]，∴令t＝1＋9d，t∈[10,19]，因此λ＝f(t)＝eq \f(15,t)－2，
当t∈[10,19]，函数f(t)是减函数，故当t＝10时，实数λ有最大值，最大值为f(10)＝－eq \f(1,2).
三、解答题
6．设数列{an}是等差数列，bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))an又b1＋b2＋b3＝eq \f(21,8)，b1b2b3＝eq \f(1,8)，求通项an.
[解析] ∵b1b2b3＝eq \f(1,8)，又bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))an，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a3＝eq \f(1,8).
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a1＋a2＋a3＝eq \f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a2＝eq \f(1,2)，
∴b1b3＝eq \f(1,4)，b1＋b3＝eq \f(17,8)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝2，,b3＝\f(1,8)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝\f(1,8),b3＝2，))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,a3＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3，,a3＝－1，))
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＋2(n为正整数)．令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．
[解析] 在Sn＝－an－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝eq \f(1,2).当n≥2时，Sn－1＝－an－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－2＋2，
∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1，
∴2an＝an－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1，
∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1＋1，
即当n≥2时，bn－bn－1＝1，
又b1＝2a1＝1，
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，∴an＝eq \f(n,2n).
C 组·探索创新
(多选题)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是( ABD )
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
[解析] 由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，则d＝10，
同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，则d′＝－10，
故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A正确；
因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d′＝135－60＝75，
因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，
故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；
因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，
又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；
因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，
所以a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d′＝135－30＝105，
所以b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D正确．
故选ABD.