数学选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时同步测试题

这是一份数学选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时同步测试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知{an}是等比数列，a2 012＝4，a2 024＝16，则a2 018＝( C )
A．4eq \r(2) B．±4eq \r(2)
C．8 D．±8
[解析] ∵数列{an}为等比数列，且a2 012＝4，a2 024＝16，
∴a2 018是a2 012，a2 024的等比中项，且是同号的，
∴a2 018＝eq \r(a2 012·a2 024)＝eq \r(4×16)＝8.故选C．
2．数列m，m，m，…一定( C )
A．是等差数列，但不是等比数列
B．是等比数列，但不是等差数列
C．是等差数列，但不一定是等比数列
D．既是等差数列，又是等比数列
[解析] 当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列．当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C．
3．(2023·湖南武冈二中高二月考)在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项是( B )
A．±4 B．4
C．±eq \f(1,4) D．eq \f(1,4)
[解析] 由题意，得a4＝a1q3＝eq \f(1,8)×23＝1，
a8＝a1q7＝eq \f(1,8)×27＝16，
设G为a4与a8的等比中项，则G2＝a4·a8＝16，故G＝±4，在数列{an}中a4与a8的等比中项为a6且a6>0，故选B.
4．设{an}为等比数列，给出下列四个数列：①{2an}，②{aeq \\al(2,n)}，③{2an}，④{lg2|an|}．
其中一定为等比数列的是( D )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①②
[解析] 设an＝a1qn－1，
①2an＝2a1qn－1，所以数列{2an}是等比数列；
②aeq \\al(2,n)＝aeq \\al(2,1)q2n－2＝aeq \\al(2,1)(q2)n－1，所以数列{aeq \\al(2,n)}是等比数列；
③eq \f(2an,2an－1)＝2an－an－1，因为an－an－1不是一个常数，所以数列{2an}不是等比数列；
④eq \f(lg2|an|,lg2|an－1|)＝eq \f(lg2|a1qn－1|,lg2|a1qn－2|)不是一个常数，
所以数列{lg2|an|}不是等比数列．故选D.
5．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( C )
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n]
[解析] 依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C．
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＋a3＝20，a2＋a4＝60，则a7＋a8＝_5_832__.
[解析] 设公比为q，则q＝eq \f(a2＋a4,a1＋a3)＝3，
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10a1＝20，
∴a1＝2.∴a7＋a8＝a1(q6＋q7)＝2(36＋37)＝5 832.
7．已知等比数列前3项为eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，则其第8项是 －eq \f(1,256) .
[解析] ∵a1＝eq \f(1,2)，a2＝a1q＝eq \f(1,2)q＝－eq \f(1,4)，
∴q＝－eq \f(1,2)，∴a8＝a1q7＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))7＝－eq \f(1,256).
8．正项等比数列{an}，若3a1，eq \f(1,2)a3,2a2成等差数列，则{an}的公比q＝_3__.
[解析] 因为正项等比数列{an},3a1，eq \f(1,2)a3,2a2成等差数列，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q>0，,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a1q2))＝3a1＋2a1q，))
解得q＝3.所以{an}的公比q＝3.
三、解答题
9．已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3＝30.
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
[解析] (1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，
∴4q＋2q2＝30，
∴q2＋2q－15＝0，
∴q＝3或－5.
∵an＞0，∴q＝3.
∴an＝a1qn－1＝2·3n－1.
(2)∵b1＝a2，∴b1＝6.
又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1.
∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，
b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，
b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32，
b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.
10．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1))an，设bn＝eq \f(an,n).
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解析] (1)由条件可得an＋1＝eq \f(2n＋1,n)an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：
由条件可得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得eq \f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
B 组·素养提升
一、选择题
1．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( D )
A．1 B．2
C．3 D．eq \f(9,8)
[解析] 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，
故a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(3,8)，c＝eq \f(1,4)，则a＋b＋c＝eq \f(9,8).故选D.
2．(多选题)已知{an}是公比为q的等比数列，a3＝4，且a2，a3＋1，a4成等差数列，则q的值可能为( AC )
A．eq \f(1,2) B．1
C．2 D．3
[解析] 因为a2，a3＋1，a4成等差数列，所以2(a3＋1)＝a2＋a4，即10＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,q)＋q))，所以q＋eq \f(1,q)＝eq \f(5,2)，解得q＝2或q＝eq \f(1,2).
3．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( C )
A．m>k
B．m＝k
C．m0，∴q＝eq \f(\r(5)－1,2).
5．在两个非零实数a和b之间插入2个数，使它们成等比数列，则这个等比数列的公比为 eq \f(\r(3,a2b),a) (用a，b表示)．
[解析] 设这个公比为q，则
b＝aq3，q3＝eq \f(b,a)(a≠0，b≠0)，
所以q＝eq \r(3,\f(b,a))＝eq \f(\r(3,a2b),a).
三、解答题
6．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)
＝4an＋1－4an，
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
即bn＋1＝2bn.
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1.
于是eq \f(an＋1,2n＋1)－eq \f(an,2n)＝eq \f(3,4)，
因此数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(3,4)的等差数列，eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)＋(n－1)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,4)n－eq \f(1,4).
所以an＝(3n－1)·2n－2.
C 组·探索创新
(2023·吉林高二检测)长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同地使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例eq \f(\r(5)－1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618称为黄金分割比例))，这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停地分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD的长为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)＋1,2)))5 .(指数幂形式)
[解析] 根据题意，如图：若图中最小正方形的边长为1，即HP＝1，则矩形HPLJ中，LP＝HJ＝eq \f(1,\f(\r(5)－1,2))＝eq \f(\r(5)＋1,2)，则在矩形HJIF中，HF＝eq \f(HJ,\f(\r(5)－1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)＋1,2)))2，
同理：FC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)＋1,2)))3，DC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)＋1,2)))4，
则BC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)＋1,2)))5.1
2
0.5
1
a
b
c
1
2
3
4
0.5
1
1.5
2
0.25
0.5
0.75
1
0.125
0.25
0.375
0.5
0.062 5
0.125
0.187 5
0.25