广东省四校2023届高三数学上学期第一次联考试题（Word版附解析）

这是一份广东省四校2023届高三数学上学期第一次联考试题（Word版附解析），共7页。

1. 设集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解集合对应不等式，后由集合交集定义可得答案.
【详解】解，得，故.
解，得，故
则，即.
故选：D
2. 设，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求出复数的代数形式，再由模的公式求其模.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：A.
3. 已知向量、为单位向量，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为向量、为单位向量，所以，
若，则，
则，即，
即，即，所以，故充分性成立，
若，则，所以，
即，所以，，
所以成立，故必要性成立，
故是充分必要条件；
故选：C
4. 已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A. 90B. 10C. 10D. 90
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，得，然后求出二项式展开式的通项公式，由的次数为零，求出，从而可求出常数项.
【详解】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，
所以，得，
所以，
则其展开式的通项公式为，
令，得，
所以该展开式中的常数项为，
故选：A
5. 已知随机变量，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机变量可知，再根据，，可求出，利用，建立方程，即可求出结果.
【详解】因为随机变量，所以，
因为，，所以，即，
又
所以，即.
故选：B.
6. 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边OM相切于点C时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点D．E的坐标分别是，，F是x轴正半轴上的一动点，当最大时，点F的横坐标为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据米勒定理可知，当的外接圆与轴相切时，最大，利用圆的垂径定理和三角形外接圆的性质，即可求解.
【详解】因为点D、E是y轴正半轴上的两个定点，点F是x轴正半轴上的一个动点，
根据米勒定理可知，当的外接圆与x轴相切时，最大，
由垂径定理可知，弦DE的垂直平分线必过的外接圆圆心，
所以弦DE中点G的纵坐标，即为外接圆半径的大小，即，
设的外接圆的圆心为，其中，则，即，
解得，所以的外接圆的方程为，
令，可得，即点F的横坐标为.
故选：C．
7. 设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性定义可判断出为定义在上的奇函数；结合导数、奇偶性可求得在上单调递增；将所求不等式化为，由单调性可解得结果.
【详解】由题意知：定义域为；
，
为定义在上的奇函数；
令，则，在上单调递增；
又在上单调递增，
在上单调递增，又为奇函数，在上单调递增；
由得：，
，解得：，即的取值范围为.
故选：A.
8. 已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由中点B，且得，由点到直线距离公式得，从而得，通过三角形全等证得△MNB为等边三角形，然后得，从而计算出离心率．
【详解】记M为双曲线C：的渐近线上的点，因为，且，所以，．
所以．因为右焦点到渐近线的距离，
所以．所以，所以，
所以，所以，
又因为，．
所以△MNB为等边三角形，所以，所以，
即，所以．
故选：A．
二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，，，…，.则下列结论正确的是（ ）
A. 若其经验回归方程为，当解释变量每增加1个单位，预报变量增加0.8个单位
B. 若其经验回归方程必过点，则
C. 若根据这组数据得到样本相关系数，则说明样本数据的线性相关程度较强
D. 若用相关指数来刻画回归效果，回归模型1的相关指数，回归模型2的相关指数，则模型1的拟合效果更好
【答案】ABC
【解析】
【分析】依据回归方程的含义判断A,B选项，利用相关系数与相关指数的定义判断选项C,D.
【详解】在经验回归方程中，一次项系数为0.8，故当解释变量每增加1个单位，预报变量增加0.8个单位，故A正确；
在经验回归方程中恒过样本中心，则，故，故B正确；
相关系数，则样本数据的线性相关程度越强．故C正确；
相关指数越大，模型拟合效果越好，故D错误．
故选：ABC．
10. 为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A. 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍
B. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
C. 向上平移一个单位长度
D. 向下平移一个单位长度
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数图像变换求得结果.
【详解】解：由题意函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，
可得到函数的图象，则错误，B正确；
因为，
则将函数的图象向上平移一个单位可得到函数的图象，
则C正确，D错误.
故选：BC.
11. 已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于、两点，则（ ）
A. B.
C. 的面积为D. 线段的中点到轴的距离为2
【答案】AC
【解析】
【分析】通过解方程组求出交点坐标，结合两点间距离公式、点到直线距离公式、中点坐标公式、直线垂直的性质逐一判断即可.
【详解】由，
不妨设，
因为，所以选项A正确；
因为，所以不互相垂直，因此选项B不正确；
因为点到直线的距离为，
所以的面积为，因此选项C正确；
因为线段的中点的横坐标为：，
所以线段的中点到轴的距离为3，因此选项D不正确，
故选：AC
12. 如图，在棱长为1的正方体ABCD—中，E为侧面的中心，F是棱的中点，若点P为线段上的动点，N为ABCD所在平面内的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. ·的最小值为
B. 若，则平面PAC截正方体所得截面的面积为
C. 若与AB所成的角为，则N点的轨迹为双曲线
D. 若正方体绕旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，，得，然后用空间向量法求得，求得数量积计算最小值判断A；由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断B；根据与AB所成的角为，运用夹角公式计算并化简，判断C；结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D．
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，正方体棱长为1，
则，，，，,
对于A，，设，，所以，，，
，
所以时，，A不正确；
对于B，，则是上靠近的三等分点，，
取上靠近的三等分点，则，
，显然与平面的法向量垂直，因此平面，
所以截面与平面的交线与平行，作交于点，
设，则，由得，解得，
则与重合，因此取中点，易得，截面为，它是等腰梯形，
，，，梯形的高为，
截面面积为，B正确；
对于C，，若与AB所成的角为，则有，两边平方化简整理有，C正确；
对于D，，，，，，
，，同理，
所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转．D正确．
故选：BCD．
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则函数的零点个数为______个.
【答案】1
【解析】
【分析】令，求解即可.
【详解】由题意，令，
即，
即，
解得，即函数有1个零点.
故答案为：1
14. 在的内角，，的对边分别为，，，已知，则的值为_______.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：∵代入得，由余弦定理得．
考点：1．正弦定理；2．余弦定理的推论．
15. 是公差为2的等差数列的前n项和，若数列也是等差数列，则________.
【答案】或3
【解析】
【分析】
可由特殊值求出，再验证对所有正整数，都有数列是等差数列
【详解】由题意，
∵数列是等差数列
∴，，解得或，
时，，时，，均为的一次函数，数列是等差数列，
故答案为：或3.
【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，考查等差数列的证明，如果数列的通项公式是的一次函数，则数列一定是等差数列．
16. 在中，已知，，，则的内接正边长的最小值为______.
【答案】##.
【解析】
【分析】先根据题意求出，设正的边长为，，在中，由正弦定理可得，则，再利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质可求出的最小值，从而可得答案.
【详解】因为，，，
所以，
设正的边长为，，
在中，，即，
因为，所以,
，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为
，其中，
所以，
因为，
所以当时，取得最小值，
所以的内接正边长的最小值为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查数形结合的思想，解题有关键是在中利用正弦定理表示出，从而可表示出，再利用三角函数恒等变换公式化简变形可求出边长的最小值，考查计算能力，属于较难题.
四.解答题：本题共6小题，共70分.
17. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.
【答案】（1）
（2）556
【解析】
【分析】（1）数列的前项和为与的关系，求解数列的通项公式；
（2）由题意得新数列的前50项，分组后由等差数列与等比数列的前项和公式求解．
【小问1详解】
解：数列的前项和为，且，
当时，，
所以；
当时，，不符合上式，
所以；
【小问2详解】
解：保持数列中各项先后顺序不变，在与，2，之间插入个1，
则新数列的前50项为：5，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1．
则
．
18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，为边上一点，若.
（1）证明：平分；
（2）若为锐角三角形，，，，求的长.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别在△ABD、△ACD中利用正弦定理进行边化角，结合题意化简整理；
（2）在中，由余弦定理结合题意求出，再由可求得，在三角形△ACD中，由余弦定理即可求出的长.
【小问1详解】
设∠BAD＝α，∠CAD＝β，
在△ABD中，由正弦定理得：，即，
在△ACD中，由正弦定理得：，即
由题意可得：，则
∵，则
∴，
又因为，
所以=，即，
所以AD平分∠BAC；
【小问2详解】
在中，由余弦定理得：，
化简得：，所以或，
当时，，因为为锐角三角形，
所以不符合题意.
因为，设，
所以，解得：，所以，
在三角形△ACD中，由余弦定理可得，
.
故的长为.
19. 每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.
（1）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“睡眠足”与“常参加体育锻炼”是否有关？
（2）现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为，求的分布列及数学期望；
（3）用此样本的频率估计总体的概率，从该辖区随机调查常参加体育锻炼的3名人员，设调查的3人中睡眠足的人数为，求的方差.
参考公式：，其中.
【答案】（1）列联表见详解，有关；
（2）分布列见详解，数学期望为；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据频率直方图计算得到列联表中数据，再根据公式计算，和表格中临界值比较分析得到结论；
（2）根据分层抽样按比例抽取可得睡眠足和不足分别抽取6，2人，则的可能取值为，根据超几何分布的概率公式计算概率，列出分布列，计算数学期望即可；
（3）由题意，根据二项分布的方差公式，求解即可.
【小问1详解】
根据频率分布直方图可得：
常参加体育锻炼且睡眠足的人数为：，
常参加体育锻炼且睡眠不足的人数为：，
不常参加体育锻炼且睡眠足的人数为：，
不常参加体育锻炼且睡眠不足的人数为：，
绘制列联表如下：
，
因此有的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
【小问2详解】
根据（1）中分析可知常参加体育锻炼的人员中睡眠足的有75人，不足的有25人，按照分层抽样抽取8人，故抽取的睡眠足的有人，睡眠不足的有人，
从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为，故的可能取值为，
，，，
分布列如下：
数学期望.
【小问3详解】
由题意，用此样本的频率估计总体的概率，从该辖区随机抽取常参加体育锻炼的人员，睡眠足的概率为，设调查的3人中睡眠足的人数为，故，
根据二项分布的方差公式：.
20. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，//，，，，，侧面为等边三角形.
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在点，，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）取中点为，通过证明面，即可由线面垂直证明面面垂直；
（2）以中点为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点坐标，求得两个平面的法向量，根据其夹角大小即可判断和求值.
【小问1详解】
取的中点为，连接，如下所示：
因为底面是直角梯形，故可得，
在三角形中，，又，
故三角形是边长为2的等边三角形，则；
又因为三角形也是边长为2的等边三角形，则；
则，故，又，
面，，故面，
又因为面，故面面.
【小问2详解】
根据（1）中所证，两两垂直，
故以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
不妨设，，即，
解得，即的坐标为；
则
设平面的法向量为，
则，即，
不妨取，故可得，即，
取平面的一个法向量为，
根据题意可得：，
整理得：，解得（舍）或；
故在棱上存在靠近点的三等分点为，使得二面角的大小为，且.
21. 已知椭圆的左右顶点为、，直线.已知为坐标原点，圆过点、交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.
（1）记直线，的斜率分别为、，求的值；
（2）证明直线过定点，并求该定点坐标.
【答案】（1）；
（2），证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据题意设和圆G的圆心坐标，写出圆的标准方程，联立直线方程，利用韦达定理求出，结合两点坐标求直线斜率公式化简计算即可；
(2)设，根据直线的点斜式方程写出直线AM、AN方程，分别联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，进而求出点的坐标，根据椭圆的对称性可知直线PQ过x轴上的定点，设定点坐标，利用平面共线向量的坐标表示化简计算即可求解.
【小问1详解】
如图，由题意知，圆G的圆心G在直线，设，
则半径为，标准方程为，
设，由，得，
，消去，得，
则，所以；
【小问2详解】
设，由(1)知，，得，
所以，即，
，即，
，消去，得，
则，得，
所以，得.
同理可得，即，
又，，
由椭圆的对称性知，直线过定点，且该定点为轴上的点，
设定点为，则，
，
，
令，解得或(舍去)
此时，所以与共线，
所以直线过定点.
22. 已知.
（1）求的单调区间；
（2）当时（为自然对数的底数），若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）分和两种情况进行讨论函数的单调性即可；
（2）将题意的不等式转化成，令，通过导数可得，故原命题可转化成对任意的上恒成立，令，分和两种情况进行讨论即可
【小问1详解】
由可得，
当时，，所以上单调递增；
当时，令，解得，
当，，单调递减；当，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，，单调递减；，单调递增；
【小问2详解】
由可得，
因为，所以即，
所以，
设，则，
令，解得，
当，，单调递减；当，，单调递增，
故在处取得极小值，又为最小值，所以，
所以令，不等式可转化为对任意的上恒成立，
设，则，
当时，，即在上单调递增，
而，则恒成立；
当时，令，得，
当时，，单调递减，
而，所以当时，，即不恒成立；
综上所述，实数的取值范围为
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
睡眠足
睡眠不足
总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计
0.10
005
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
睡眠足
睡眠不足
总计
常参加体育锻炼人员
75
25
100
不常参加体育锻炼人员
55
45
100
总计
130
70
200