新教材适用2023_2024学年高中数学本册综合测试题二新人教A版选择性必修第二册

这是一份新教材适用2023_2024学年高中数学本册综合测试题二新人教A版选择性必修第二册，共9页。
本册综合测试题(二)
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列{an}满足a1＝－3，an＋1＝3an－1(n∈N*)，那么a4的值为( C )
A．－10　　 B．－31
C．－94　　 D．94
[解析]　a2＝3×(－3)－1＝－10，a3＝3×(－10)－1＝－31，a4＝3×(－31)－1＝－94，故选C.
2．(2023·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为( C )
A．e2 B．e
C．e－1 D．e－2
[解析]　依题可知，f ′(x)＝aex－≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥，
设g(x)＝xex，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，
g(x)>g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.故选C.
3．在等比数列{an}中，若a3，a15是方程x2－6x＋2＝0的根，则的值为( C )
A. B．－
C. D．－或
[解析]　显然方程x2－6x＋2＝0有两个正实根，依题意，有a3a15＝2，a3>0，设等比数列{an}公比为q，a9＝a3q6>0，所以＝＝＝.
故选C.
4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品量为( D )
A．100 B．200
C．250 D．300
[解析]　由题意知，总成本为C＝20 000＋100x，所以总利润为
P＝R(x)－C＝
P′＝
令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′0，
由已知得y ′＝，则直线l的斜率k＝，
设直线l的方程为y－＝(x－x0)，即x－2y＋x0＝0，
由于直线l与圆x2＋y2＝相切，则＝，即5x－4x0－1＝0，
解得x0＝1，x0＝－(舍)，
则直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝x＋.故选D.
6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( C )
A．16 B．8
C．4 D．2
[解析]　由题意知解得
∴a3＝a1q2＝4.
故选C.
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a70，所以{an}为递减数列，又S13＝＝13a70，所以S12S13b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
[解析]　函数f(x)＝sin x＋cos x－2x的定义域为R，求导得f ′(x)＝cos x－sin x－2＝cos－2≤－20，则a2 022>0 B．若a4>0，则a2 023>0
C．若a3>0，则S2 023>0 D．若a4>0，则S2 022>0
[解析]　当a3＝a1q2>0时，a1为正数，q无法确定，故当q＝1时，S2 023＝2 023a1>0，当q≠1时，S2 023＝，分析可得q>1与q0，C选项正确；而a2 022＝a1q2 021无法确定正负，A选项错误；当a4＝a1q3>0时，不妨设数列为－1,1，－1,1，…则a2 023＝－10时－1，可得q2＝2，即q＝，
所以a2n＝a1·q2n－1＝a2·q2n－2＝2×2n－2＝2n＝2n.
14．已知函数f(x)＝ax＋ln x在x＝2处取得极值，则实数a＝ －　.
[解析]　由题，有f ′(x)＝a＋，则f ′＝a＋＝0⇒a＝－.
又a＝－时，f ′(x)＝－＝，
当02时，f ′(x)x2>0，若不等式>mex1＋x2恒成立，则m的取值范围为_(－∞，2]__.
[解析]　>mex1＋x2⇔ex1－x2－ex2－x1－m(x1－x2)>0恒成立，
令t＝x1－x2>0，则不等式转化为et－e－t－mt>0，
设函数f(t)＝et－e－t－mt(t>0)，f ′(t)＝et＋e－t－m，
当m≤2时，f ′(t)>0，则f(t)在(0，＋∞)上单调递增，故f(t)>f(0)＝0，符合题意；当m>2时，由于f ″(t)＝et－e－t>0，故f ′(t)在(0，＋∞)上单调递增，存在t0∈(0，＋∞)满足f ′(t0)＝0，即f(t)在(0，t0)单调递减，(t0，＋∞)单调递增，因此当t∈(0，t0)时，f(t)0，
∴g(x)在(－1,1)上单调递增．
19．(本小题满分12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
[解析]　(1)因为Sn＝，即6Sn＝a＋3an－4，①
当n＝1时6S1＝a＋3a1－4，解得a1＝4或a1＝－1(舍去)，
当n≥2时6Sn－1＝a＋3an－1－4，②
①－②时6Sn－6Sn－1＝a＋3an－4－，即6an＝a－a＋3an－3an－1，
即a－a－3an－3an－1＝0，
即＝0，
因为an>0，所以an－an－1－3＝0，即an－an－1＝3，
所以{an}是以4为首项，3为公差的等差数列，
所以an＝4＋3＝3n＋1.
(2)由(1)可得＝＝，
所以Tn＝＋＋…＋
＝＝＝.
20．(本小题满分12分)已知f(n)＝…(n∈N*)，g(n)＝(n∈N*)．
(1)当n＝1,2,3时，分别比较f(n)与g(n)的大小；
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．
[解析]　(1)当n＝1时，f(1)＝2，g(1)＝，f(1)>g(1)，
当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，f(2)>g(2)，
当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，f(3)>g(3)．
(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N*)，
即…>.
下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，上面已证．
②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即
…>，则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝…·>
＝×＝.
因为＝＝g(k＋1)，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
综上可知：对任意n∈N*，猜想均成立．
21．(本小题满分12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与15年的能源耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解析]　(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝，而建造费用为C1(x)＝8x，
因此得隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和为f(x)＝15C(x)＋C1(x)＝15×＋8x＝＋8x(0≤x≤10)．
(2)f ′(x)＝8－，令f ′(x)＝0，即＝8，
解得x＝，x＝－(舍去)，
由0x－x2，x∈(0,1)；
综上所述x－x20，
所以f ′(x)>>0，
即当x∈(0，m)⊆(0,1)时，f ′(x)>0，则f(x)在(0，m)上单调递增，
结合偶函数的对称性可知f(x)在(－m,0)上单调递减，
所以x＝0是f(x)的极小值点，不合题意；
(ⅱ)当b2>2时，取x∈⊆(0,1)，则bx∈(0,1)，
由(1)可得f ′(x)＝－bsin bx－0，h′＝b3－b>0，则h′(x)>0对∀x∈恒成立，
可知h(x)在上单调递增，且h(0)＝2－b20，
所以h(x)在内存在唯一的零点n∈，
当x∈(0，n)时，则h(x)0,1－x2>0，
则f ′(x)或a