九年级下册1.3 解直角三角形精品课时作业

这是一份九年级下册1.3 解直角三角形精品课时作业，共42页。试卷主要包含了sin60°的值为等内容，欢迎下载使用。


1．sin60°的值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则csA的值是（ ）
A．B．C．D．
3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sina+csa的值是（ ）
A．B．C．D．
4．比较tan46°，cs29°，sin59°的大小关系是（ ）
A．tan46°＜cs29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cs29°
C．sin59°＜tan46°＜cs29° D．sin59°＜cs29°＜tan46°
5．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示csα的值，错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在△ABC中，csB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是( )
A． B．12C．14D．21
8．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB=，BD=5，则AH的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足 为E，，则下列结论中：①DE=3cm；②EB=1cm；③．正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．如图，在中，是线段上的动点，以为直径作，分别交于点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．计算： ．
12．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 ．
13．如图，△ABC中，，垂足H在BC边上，如果，，，那么 （用含和的式子表示）．
14．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= .
15．图1是郑州的网红打卡点 “戒指桥”， 其数学模型如图2所示． 线段是其中一条拉索， 点在圆上， 点是圆和水平桥面的交点． 小明测得， 且在 B点和点观测点的仰角均为， 则点到桥面的距离为 ， “戒指” 的半径为 ．
16．如图，∠yAB和∠xBA的平分线交于点P，延长PA、PB交坐标轴于C、D两点，已知、，若双曲线y=过点P，则k= ．
17．计算：
18．在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
19．如图，学校科技小组，计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测到D的仰角，向塔正前方水平直行到达点B，测到塔尖的仰角，若小明的眼睛离地面，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．
20．如图，是的直径，弦于点，连接，
(1)求证：．
(2)作于点，若的半径为，，求的长．
21．消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC（）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角（），转动点A距离地面的高度AE为4米．
(1)当起重臂AC的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为________米．
(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：）．（提示：当起重臂AC伸到最长且张角最大时，云梯顶端C可以达到最大高度）
22．在七年级第二学期14.7这一章节的课后练习部分，我们学习了以平习题，如图，已知B、C、E在一直线上，和都是等边三角形，联结，试说明和全等的现由．现在我们已经学习了相似三角形、锐角的三角比这两章节的内容．在此基础上我们继续探究：已知，，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的正弦值．
23．如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点．
(1)求m、n的值；
(2)设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标．
(3)设点Q在直线上，且在第一象限内，直线与y轴的交点为点D，如果，求点Q的坐标．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．B
【分析】根据特殊角的三角函数值进行回答即可．
【详解】解：sin60°=，
故选：B．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
2．A
【分析】利用勾股定理计算出AC长，再利用余弦定义可得答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∴csA＝＝，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
3．D
【分析】根据题意，结合三角函数的定义，可得sina、csa的值，进而可得sina+csa的值．
【详解】根据题意，分析图表可得：
sinα=，csα=．
故sina+csa=．
故选D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
4．D
【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可做出判断．
【详解】
又
故选D．
【点睛】本题考查的知识点是三角函数的增减性，解题关键是熟记锐角三角函数的增减性．
5．C
【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据，列出方程即可解决问题．
【详解】解：设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，
∴
∴，
∴（1-）x=1，
∴x=．
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
6．C
【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠α＝∠ACD，
∴csα＝cs∠ACD＝＝＝，
只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．
7．A
【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，csB=，sinC=，AC=5，
∴csB==，
∴∠B=45°，
∵sinC===，
∴AD=3，
∴CD==4，
∴BD=3，
则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．
故选A．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．
8．B
【分析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出BH=3，由勾股定理得出DH==4，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD=∠BHD=90°，
∵sin∠CDB=，BD=5，
∴BH=3，
∴DH==4，
设OH=x，则OD=OB=x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，
解得：x=，
∴OH=，
∴AH=OA+OH=+3+=，
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练应用垂径定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键.
9．D
【详解】∵四边形ABCD是菱形，其周长=20cm，
∴AB=AD=5cm，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠AED=90°，
∴csA=，
∴AE=4cm，
∴BE=AB-AE=1cm，DE=cm，
∴S菱形ABCD=AB·DE=5×3=15cm2.
综上所述，题中所给三个结论都是正确的.
故选D.
10．B
【分析】由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，此时线段，当半径最短时，最短，连接，，过点作，垂足为，在中，解直角三角形求直径，由圆周角定理可知，在中，解直角三角形求，由垂径定理可知．
【详解】解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，，过点作，垂足为，
在中，，，
，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知，
在中，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．
11．
【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟知60度角的正切值和45度角的正弦值是解题的关键．
12．
【分析】过点作于点E．由题意即得出四边形为菱形，从而得出，．再根据正弦的定义可求出，最后由菱形的面积公式计算即可．
【详解】如图，过点作于点E．
由题意可知四边形为菱形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解直角三角形．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
13．
【分析】先在中由求出，再在中由求出．
【详解】∵，
∴，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，准确的选择合适的三角函数是解题的关键．
14．2
【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【详解】如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为2
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
15． 14 26
【分析】第1空，连接BD，过D作交BC于点E，由已知可得是等腰直角三角形，；第2空，连接BD，取AB，BD的中点，分别为H，F，作AB与BD的中垂线OH，OF，交于点O，则点O为该圆圆心，过点F作交OH于点G，过点F作交BC于点M，连接OA，则OA为该圆半径，先求得FM的值，证得四边形GHMF是矩形，，再证得，在中，求得，最后运用勾股定理，在中，求得OA的长．
【详解】解：如图1，连接BD，过D作交BC于点E，
∵在 B点和点观测点的仰角均为，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，，，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴
故点到桥面的距离为14m．
如图2，连接BD，取AB，BD的中点，分别为H，F，作AB与BD的中垂线OH，OF，交于点O，过点F作交OH于点G，过点F作交BC于点M，连接OA，
则点O为该圆圆心，OA为该圆半径，
∵F为BD中点，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵H为AB中点，，
∴，
∵，
∴．
∵，，，
∴四边形GHMF是矩形，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在四边形OHBF中，
，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵四边形GHMF是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，
，
∴，
故“戒指” 的半径为26m．
【点睛】本题考查了圆的性质，解三角形，矩形的性质及判定，勾股定理的运用，题目综合性强，灵活运用以上几何知识是解题的关键．
16．36
【分析】过A作∠OAB的平分线AM交x轴于M，过M作于，根据角平分线的定义可知AM⊥PC，根据同角的余角相等得到∠ACO=∠OAM，在平面直角坐标系中，根据、，得到，设OM=x，则=x，= OA=4，，BM=3－x，在Rt中，利用勾股定理列方程解得x=，由tan∠ACO=tan∠OAM得：OC=12，即C（－12，0），进而得到直线AC的解析式为：y=x+4，同理得到直线BD的解析式为：y=2x－6，联立解得P（6，6），根据双曲线过点P（6，6），代入解析式即可得到值．
【详解】解：过A作∠OAB的平分线AM交x轴于M，过M作于，如图所示：
AP是∠yAB的平分线，
AM⊥PC，
，，
∴∠ACO=∠OAM，
、，
，
，，
，即，
，
设OM=x，则=x，= OA=4，，BM=3－x，
在Rt中，由勾股定理得：，解得：x=，
∠ACO=∠OAM，
∴tan∠ACO=tan∠OAM，即，解得：OC=12，即C（－12，0），
设直线AC的解析式为，将、C（－12，0）代入得
解得，
∴直线AC的解析式为：y=x+4，
过B作∠OBA的平分线BN交y轴于N，过N作于，如图所示：
同理，可得直线BD的解析式为：y=2x－6，
联立，解得，即P（6，6），
∵双曲线y=过点P（6，6），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查求反比例函数表达式，涉及到角平分线的定义与性质、勾股定理、解三角形、待定系数法求函数解析式、函数图像交点等知识，利用角平分线定义及性质作出辅助线是解决问题的关键．
17．7
【分析】原式分别计算，，，然后再合并即可得到结果．
【详解】解：
=
=
=7
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解答本题的关键．
18．(1)3
(2)
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）根据正切值的含义即可求解．
【详解】（1）∵，，，
∴，
即的长为3；
（2）∵，，，
∴，
即的值为：．
【点睛】本题主要考查了求解角的正切值以及勾股定理的知识，掌握正切的含义是解答本题的关键．
19．，计算过程见解析．
【分析】先证明，在中，利用含角的直角三角形的性质求出，即可解决问题．
【详解】∵，，
∴
∴
在中，
∴
∵
∴
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和直角三角形的性质，属于中考常考题型．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）解法一：根据是直径，得出，结合图形，利用等角的余角相等证明即可；解法二：根据垂径定理以及垂径定理的推论即可证明；
（2）利用勾股定理求出，再利用求解即可．
【详解】（1）证明：解法一：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解法二：连接，∵是直径，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接．
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，正弦的定义，掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)16；
(2)消防车能够实施有效救援，理由见解析．
【分析】（1）过点A作，垂足为F．先在中求出CG，再利用直角三角形的边角间关系求出CF；
（2）先计算当AC长30米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．
【详解】（1）如图，过点A作，垂足为F．
由题意知：四边形AEFG是矩形．
，．
，
．
在 中，
，，
云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为16米；
故答案为：16；
（2）如图，过点C作CH⊥AE，交EA的延长线于点H．
当，时，
．
在中，
，

由题意知，四边形HEFC是矩形，
，
该消防车能够实施有效救援．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，在抽象图中找到直角三角形、熟记锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是本题的解题关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质即可证明，再根据相似三角形的性质即可得出答案；
（2）由，过A作于M，根据勾股定理求出、、的值即可根据求解．
【详解】（1）∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过A作于M，
∵
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，相似三角形的性质与判定，正弦，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入直线解析式中，可求得m、n的值；
（2）过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，可证明，由相似三角形的性质即可求得点P的坐标；
（3）设点，证明，由相似三角形的性质可得关于q的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：把点A、B的坐标分别代入中，得：，
解得：，
即，；
（2）解：过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，如图，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由A、B的坐标知，，，，
∴，即，
∴，
当点C在点A的左侧时，，点P在x轴上方，则点P的坐标为；
当点C在点A的右侧时，，点P在x轴下方，则点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：由（1）知，直线解析式为：，
上式中，令，得，
则，；
因点Q在直线上，故设点，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，，，
∴，
解得：或（舍去），
∴点Q的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理及三角函数等知识，（2）问中有两种情况，不要漏掉其中一种情况，（3）问中利用相似三角形的性质建立方程是难点．