新高考数学二轮复习解析几何专项提升练习（11）（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习解析几何专项提升练习（11）（含解析），共21页。试卷主要包含了回答下列问题，给出下列条件等内容，欢迎下载使用。

（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若双曲线C上存在一点P使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
2.已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，斜率为-3的直线l与双曲线C交于A，B两点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线C上，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 (O为坐标原点)，点 SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，问： SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
3.已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在C上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .过P且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与过Q且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在AB上；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .
4.回答下列问题：
（1）求与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同焦点，且经过点 SKIPIF 1 < 0 的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值.
5.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P是双曲线上一点， SKIPIF 1 < 0 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求此双曲线的方程.
6.已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ,右焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
(I)求双曲线E的方程;
(Ⅱ)在① SKIPIF 1 < 0 ,② SKIPIF 1 < 0 ,③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,是否存在直线使得在问题中的 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 为90°的直角三角形?若问题中的三角形存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
问题:是否存在过右焦点的直线与双曲线E的右支相交于 SKIPIF 1 < 0 两点,__________,使得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 为90°的直角三角形?
7.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、有焦点， SKIPIF 1 < 0 ，P是C上一点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线C交于A，B两点，过点A作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为D，过点O作 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点），垂足为M.则在x轴上是否存在定点N，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
8.给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点M到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是 SKIPIF 1 < 0 .
（1）对于顶点在原点O的抛物线C，从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，并说明理由；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的任意一条直线l与 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，试探究是否总有 SKIPIF 1 < 0 ？请说明理由.
9.设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在x轴正半轴上,过点F的直线l交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点,线段 SKIPIF 1 < 0 的长是8, SKIPIF 1 < 0 的中点到y轴的距离是3.
(I)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ,直线l的纵截距为1,此时数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ,已知存在正整数m,使得 SKIPIF 1 < 0 ,求m的值.
10.已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,点N在x轴的上方, SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线C的方程.
(2)若平行于x轴的直线l交直线 SKIPIF 1 < 0 于点P,交抛物线C于点Q,且 SKIPIF 1 < 0 ,求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
答案以及解析
1、（1）答案： SKIPIF 1 < 0
解析：由条件知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）答案： SKIPIF 1 < 0 面积为1
解析：由双曲线的定义可知， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
2、（1）答案： SKIPIF 1 < 0
解析：依题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 舍去)，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
（2）答案： SKIPIF 1 < 0 为定值-1
解析：由(1)可 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与双曲线C的方程联立，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
由一元二次方程根与系数的关系得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为定值-1.
3、（1）答案： SKIPIF 1 < 0
解析：由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）答案：见解析
解析：设直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此点M的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
选择①②作为条件，证明③成立.
由 SKIPIF 1 < 0 可得直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
点M的坐标满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此点M为AB的中点，即 SKIPIF 1 < 0 .
选择①③作为条件，证明②成立.
当直线AB的斜率不存在时，点M与点 SKIPIF 1 < 0 重合，此时点M不在直线 SKIPIF 1 < 0 上，矛盾.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为点M在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 .
选择②③作为条件，证明①成立.
由 SKIPIF 1 < 0 可得直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点M在AB的垂直平分线上，即M在直线 SKIPIF 1 < 0 上.
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即M恰为AB的中点.
因此点M在直线AB上.
4.答案：（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
解析：（1） SKIPIF 1 < 0 所求双曲线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同焦点，
SKIPIF 1 < 0 设所求双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）.
SKIPIF 1 < 0 所求双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）椭圆方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
5.答案：（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
解析：（1）由题易得，双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 （其中c是双曲线的半焦距），
所以由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故所求双曲线的渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ①，
由双曲线的定义得， SKIPIF 1 < 0 ，
平方得， SKIPIF 1 < 0 ②，
①-②得， SKIPIF 1 < 0 ，
根据三角形的面积公式得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）中 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求双曲线方程是 SKIPIF 1 < 0 .
6.答案：(I) SKIPIF 1 < 0
(Ⅱ)若选①: SKIPIF 1 < 0 ;若选②： SKIPIF 1 < 0 ;若选③： SKIPIF 1 < 0
解析：(I)由题意可得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以双曲线E的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅱ)若选①:设 SKIPIF 1 < 0 ,若直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直,则 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,显然直线 SKIPIF 1 < 0 不存在;
若直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴不垂直,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,联立 SKIPIF 1 < 0
消去y可得 SKIPIF 1 < 0 .
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 两点都在双曲线的右支上,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍).
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
若选②：设 SKIPIF 1 < 0 ,
若直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
显然直线 SKIPIF 1 < 0 不存在;
若直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴不垂直,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0
消去y可得 SKIPIF 1 < 0 .
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 两点都在双曲线的右支上,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍),
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
若选③:设 SKIPIF 1 < 0 ,
若直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直,则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ;
若直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴不垂直,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0
消去y可得 SKIPIF 1 < 0 ,
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 两点都在双曲线的右支上,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .此时无解,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
7.答案：（1） SKIPIF 1 < 0
（2）在x轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0
解析：（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线l与双曲线C的方程，消去x得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为直线BD的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线BD的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
若在x轴上存在定点N，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值，则直线BD过x轴上的某个定点.
在直线BD的方程 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线BD过定点 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
取OE的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，为定值.
综上，在x轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
8.答案：（1）选择①③.理由见解析
（2）无论l如何变化，总有 SKIPIF 1 < 0
解析：（1）选择①③.理由如下：
因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合.
又因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以条件④不适合题意.
当选择条件③时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时适合题意.
故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）假设总有 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 .
因为直线与抛物线交于不同两点，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，无论l如何变化，总有 SKIPIF 1 < 0 .
9.答案：(I) SKIPIF 1 < 0
(Ⅱ)2 021
解析：(I)设抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由题意及抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 .
又线段 SKIPIF 1 < 0 的中点到y轴的距离为3,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
∴抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅱ)依题意可知直线l过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,可得直线I的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 消去x并整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
由此可得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ,
∴正整数m的值为2 021.
10.答案：(1)
(2) SKIPIF 1 < 0
解析：(1)由抛物线与圆的对称性及,点N在x轴的上方,得点N的纵坐标为p.
代入 SKIPIF 1 < 0 ,解得,则点 SKIPIF 1 < 0 .
将点N的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由(1)知,,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为.
设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
则,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
由,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以点Q的坐标为.
设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为k,则,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为.
即 SKIPIF 1 < 0 .