新高考数学二轮复习解析几何专项提升练习（12）（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习解析几何专项提升练习（12）（含解析），共21页。

（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
2.在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中,已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C交于 SKIPIF 1 < 0 两点,点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线C上.
(1)求线段 SKIPIF 1 < 0 中点的坐标;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,过点D作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点P,与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点Q,若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
3.已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当 SKIPIF 1 < 0 时，求k的值.
4.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
（1）求E的方程；
（2）设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线HN过定点.
5.已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在C上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .过P且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与过Q且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在AB上；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .
6.已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其右顶点为A，下顶点为B，定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.
（1）求椭圆C的方程.
（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
7.已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求l的斜率；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求的面积.
8.已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点E，直线BF交直线 SKIPIF 1 < 0 于点D.是否存在这样的直线l，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
9.在平面直角坐标系Oxy中，点M到点 SKIPIF 1 < 0 的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）设斜率为k的直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
10.已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）为椭圆E上一点，点B关于x轴的对称点为C，直线AB，AC分别交x轴于点M，N，证明： SKIPIF 1 < 0 .（O为坐标原点）
答案以及解析
1.答案：（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0
（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0
解析：（Ⅰ）设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上任意一点，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，
即点P到椭圆上点的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅱ）易知直线AB的斜率存在，设直线AB： SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线AB与椭圆的方程，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
直线PA的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 .
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，为 SKIPIF 1 < 0 .
2.答案：(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
解析：本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的综合应用.
(1)依题意,双曲线C的离心率 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , 故双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
将 SKIPIF 1 < 0 代入直线 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
故线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)依题意, SKIPIF 1 < 0 ,则双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
直线 SKIPIF 1 < 0 ,又点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线C上,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由题可知,点 SKIPIF 1 < 0 均不重合,由 SKIPIF 1 < 0 易知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心,设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ,同理 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
代入方程 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
3.答案：（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0
（Ⅱ）-4
解析：（Ⅰ）依题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅱ）由题可知直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线BC和椭圆E的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知直线AB的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得点M的横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得点N的横坐标 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故k的值为-4.
4.答案：（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线HN过定点 SKIPIF 1 < 0
解析：（1） SKIPIF 1 < 0 椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 可设椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆E过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 E的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线MN的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
结合题意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 过M且平行于x轴的直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
易知点T的横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
当直线MN的斜率存在时，如图，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
过M且平行于x轴的直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与直线AB的方程联立，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线HN过定点 SKIPIF 1 < 0 .
综上，直线HN过定点 SKIPIF 1 < 0 .
5、（1）答案： SKIPIF 1 < 0
解析：由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）答案：见解析
解析：设直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此点M的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
选择①②作为条件，证明③成立.
由 SKIPIF 1 < 0 可得直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
点M的坐标满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此点M为AB的中点，即 SKIPIF 1 < 0 .
选择①③作为条件，证明②成立.
当直线AB的斜率不存在时，点M与点 SKIPIF 1 < 0 重合，此时点M不在直线 SKIPIF 1 < 0 上，矛盾.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为点M在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 .
选择②③作为条件，证明①成立.
由 SKIPIF 1 < 0 可得直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点M在AB的垂直平分线上，即M在直线 SKIPIF 1 < 0 上.
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即M恰为AB的中点.
因此点M在直线AB上.
6.答案：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）是定值， SKIPIF 1 < 0 .
解析：解：（1）由已知，A，B的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 的面积为3， SKIPIF 1 < 0 ①，又由 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ②，
①②两式联立解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，P，Q的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则直线BP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得点M的横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
直线BQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得点N的横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
把直线 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，是定值.
7、（1）答案：-1
解析：由题设得，解得.
所以C的方程为.
设l的斜率为k，，.当时， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
由得，
即.①
由得，即.
同理可得 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
即.②
由①②得.
因此l的斜率为-1.
（2）答案： SKIPIF 1 < 0
解析：由题意，不妨设AP的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 .
C的渐近线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
直线AP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
直线AQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
8.答案：（1） SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）存在这样的直线l，使得 SKIPIF 1 < 0 ，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
解析：（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以准线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 消去y，得 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
由根与系数的关系得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
解法一：直线BF的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线DE与直线AF的斜率相等.
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .经检验， SKIPIF 1 < 0 符合题意.
所以存在这样的直线l，使得 SKIPIF 1 < 0 ，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
解法二：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
整理得，即，
整理得.
解得，经检验，符合题意.
所以存在这样的直线l，使得 SKIPIF 1 < 0 ，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或.
9.答案：（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，点M的轨迹C的方程为，当 SKIPIF 1 < 0 时，点M的轨迹C的方程为
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当 SKIPIF 1 < 0 时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点
解析：（1）设点，依题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，即，
化简并整理，得 SKIPIF 1 < 0 .
故当时，点M的轨迹C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，当时，点M的轨迹C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）记， SKIPIF 1 < 0 ，
依题意，可知直线l的方程为.
联立 SKIPIF 1 < 0 可得
.①
（ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，.把 SKIPIF 1 < 0 代入轨迹C的方程，得.
故此时直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹C恰好有一个公共点.
（ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 时，方程①的判别式.②
设直线l与x轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则.③
若 SKIPIF 1 < 0 由②③解得或 SKIPIF 1 < 0 ，
即当时，直线l与 SKIPIF 1 < 0 没有公共点，与有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
若 SKIPIF 1 < 0 或由②③解得 SKIPIF 1 < 0 或或 SKIPIF 1 < 0 ，
即当时，直线l与 SKIPIF 1 < 0 有一个公共点，与有一个公共点；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线l与有两个公共点，与 SKIPIF 1 < 0 没有公共点.
故当时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
若 SKIPIF 1 < 0 由②③解得或 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，直线l与有两个公共点，与 SKIPIF 1 < 0 有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当 SKIPIF 1 < 0 时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
10.答案：（1） SKIPIF 1 < 0
（2）见解析
解析：（1）由已知得， SKIPIF 1 < 0 ，
又， SKIPIF 1 < 0 .
椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：点B关于x轴的对称点为C，
SKIPIF 1 < 0 ，
直线AC的方程为.
令，得.
直线AB的方程为，令，得.
.
点在椭圆上，
，即，
，即，又，
，
.