湖南省衡阳市衡山县星源学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题答案

这是一份湖南省衡阳市衡山县星源学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题答案，共35页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，耐心做一做等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义“化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”逐项判断即可求解．
【详解】解：.与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
.，与是同类二次根式，故本选项符合题意；
.与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
.与不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义以及二次根式的化简，熟知同类二次根式的定义是解题关键．
2. 下列方程中不一定是一元二次方程的是( )
A. (a-3)x2=8 (a≠3)B. ax2+bx+c=0
C. (x+3)(x-2)=x+5D.
【答案】B
【解析】
【详解】本题根据一元二次方程的定义解答．
解：A. 由于a≠3，所以a−3≠0，故(a−3)x2=8(a≠3)是一元二次方程；
B. 方程二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程；
C. 方程展开后是：x2−11=0，符合一元二次方程的定义；
D. 符合一元二次方程的定义.
故选B.
点睛：本题主要考查一元二次方程的定义.解题的关键要根据一元二次方程必须满足四个条件进行判断，即（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
3. 如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是( )
A. 1:2B. 1:4C. 1:D. 2:1
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出．
【详解】∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴它们的面积比是1：4．
故选B．
【点睛】本题是一道考查相似三角形性质的基本题目，比较简单．
4. 下列各式中，一定能成立的是（ ）
A. B.
C. =x-1D.
【答案】A
【解析】
【详解】A.，成立；
B.，=a，则B不成立；
C.|，则C不成立；
D.≠，则D不成立，
故选A.
5. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 11或13
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：先求出方程x2－6x＋8＝0的解，再根据三角形的三边关系求解即可.
解方程x2－6x＋8＝0得x=2或x=4
当x=2时，三边长为2、3、6，而2+3＜6，此时无法构成三角形
当x=4时，三边长为4、3、6，此时可以构成三角形，周长=4+3+6=13
故选C.
考点：解一元二次方程，三角形的三边关系
点评：解题的关键是熟记三角形的三边关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边.
6. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）
A. m=5B. m=C. m=D. m=10
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E是AB的中点，∴2EB=AB=CD，∴，即，解得m=．故选B．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．
7. 如图，直线l1∥l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，则AE：EC是（ ）
A 5：2B. 4：1C. 2：1D. 3：2
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：∵AF：FB=2：3，BC：CD=2：1
∴设AF=2x，BF=3x，BC=2y，CD=y
在△AGF和△BDF中，
∴
∴AG=2y
在△AGE和△CDE中，AE：EC=AG：CD=2y：y=2：1
故选C．
8. 若，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2018D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次根式的非负性求得的值，进而求得的值，将、的值代入即可得解．
【详解】解：∵，
∴且，
解得，
当时，，
当，时，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，解不等式组，求代数式的值，乘方，理解二次根式的非负性是解题的关键．
9. 根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的图象与x轴的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个解的范围．
【详解】解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，
函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：在与之间，
∴对应的x的值在3.23与3.24之间，
即．
故选：B．
【点睛】此题主要考查方程的近似解，解题的关键是熟知方程近似解的判定方法．
10. 如图，、分别是、上两点，与相交于点，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A. B.
C. ，D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A. ∵，，
∴，不合题意，
B. ∵，，
∴，不合题意，
C. ，，不能判定，符合题意，
D. ，即，又，和相似，
∴，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．掌握以上知识是解题的关键．
11. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2013的教育经费为：3000×（1+x）万元，
2014的教育经费为：3000×（1+x）2万元，
那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
12. 把根号外的因式移入根号内，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．
二、细心填一填（在横线上直接写出最简洁的结论，本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13. 当x_______时，有意义．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出一元一次不等式组，进而可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件．
14. 某食品连续两次涨价10%后价格是a元,那么原价是_______.
【答案】元
【解析】
【分析】此题要根据题意列出方程求解比较简单．相等关系是“连续两次涨价10%后的价格是a元”．
【详解】解：设原价为x元，依题意，得
x（1+10%）2=a，
解得x=
故答案为元
【点睛】列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“两次涨价10%后的价格是a元”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．若数量关系较为复杂时可利用一元一次方程模型来解决，这样可以清晰简单的把两次涨价10%后的价格之间的关系表示出来．
15. 如图，与不平行，当________时，与相似．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法进行判定即可.
【详解】根据题意得：
∠A=∠A
∴当时，△ABC与△ADE相似；
∵DE与BC不平行，
∴当时，△ABC与△ADE相似；
即
故答案为
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
16. 计算的结果是________．
【答案】2
【解析】
【分析】先化简：，然后按照二次根式混合运算的顺序和法则计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次根数的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17. 已知 ，是方程的两实数根，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
18. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是_______．
【答案】A
【解析】
【分析】根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【详解】解：根据题意可得：
A．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与相似．
B．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似．
C．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似．
D．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似．
故答案为：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
三、耐心做一做（本大题共8个小题，共66分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；
（2）根据二次根式的乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．
【详解】解：(1)
＝
(2)
＝
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．
20. 解方程
（1）
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）直接移项再进行因式分解即可解方程；
（2）移项将方程化为一般形式，再利用公式法求解即可解方程．
【小问1详解】
∵
∴
∴
∴，；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查公式法以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式．
21. 若最简二次根式与是同类二次根式，求的值
【答案】
【解析】
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
22. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，.
【解析】
【分析】根据分式的除法和平方差公式可以化简题目中的式子，然后代入即可解答本题．
详解】解：原式=
当时，
原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
23. 已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程两个根都是整数，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）由m为正整数，可得出m=1、2，将m=1或m=2代入原方程求出x的值，由该方程的两个根都是整数，即可确定m的值，
【详解】解：
（1）∵一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴
∴；
(2)∵m正整数，
∴m=1或2，
当m=1时，方程为：x2﹣3=0，解得：（不是整数，不符合题意，舍去)，
当m=2时，方程为：x2+2x=0，解得：都是整数，符合题意，
综上所述：m=2.
【点睛】本题主要考查了根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键.
24. 如图，经过的顶点，，，交于，交于，连接
（1）求证：．
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解析】
【分析】（1）先利用平行线的性质以及相似三角形的判定及性质证明，从而有，进而利用相似三角形的判定即可得证；
（2）由（1）的结论，结合相似三角形的性质得到，可求得及，即可得解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
同理：．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
【小问2详解】
解：∵，，．
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的性质和判定以及比例线段的性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
25. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，为了减少产生水果烂损，连续两次降价后每千克32元，且平均每次下降的百分率相同．
（1）求平均每次下降的百分率：
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进货价不变情况下，商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】（1）
（2）5元
【解析】
【分析】（1）设每次下降的百分率为a，根据两次连续降价后，售价由每千克50元变为每千克32元，列出方程求解即可；
（2）设每千克应涨价x元，则每天销售千克，再根据利润每千克利润销售量列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：，
解得：（舍）或，
∴每次下降的百分率为；
【小问2详解】
解：设每千克应涨价x元，由题意，得：
，
整理，得．
解得：，．
∵要尽快减少库存，
∴符合题意，
∴该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元，
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
26. 已知，如图，正方形的边长为1，P是边的中点，点Q在线段上，设，是否存在这样的实数，使得Q、C、P为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值．若不存在，请说明理由．

【答案】0或
【解析】
【分析】分两种情况：①当时；②当时，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：存在，
四边形是正方形，
，，
，
P是边的中点，
，
分两种情况：①当时，则：
，即，
解得：，
②当时，则：
，即，
解得：，
综上所述，的值为0或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．3.23
3.24
3.25
3.26
0.02
0.03
0.09