2020-2021学年江苏省常州市金坛区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省常州市金坛区九年级上学期数学期中试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】两边同时加一次项系数的一半的平方，使等式左边可以进行配方，即可得出答案．
【详解】
故选A
【点睛】考查用配方法解一元二次方程，步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解．
2. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜1B. k＞1C. k＜－1D. k＞－1
【答案】A
【解析】
【分析】代入公式即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即△=（-2）2-4k＞0，解得k＜1
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式，本题难度较低，主要考查学生对一元二次方程根的判别式知识点的掌握．
3. 方程的两根为、，则等于（ ）
A. -6B. 6C. -3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据对于一元二次方程，当时，两根之和为即可求出答案．
【详解】∵由于，∴，故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
4. 下列命题:
①圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合；
②一个三角形只有一个内切圆；
③和半径垂直的直线是圆的切线；
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
其中假命题有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的定义和性质、内切圆定义、切线的定义、三角形外心的性质等进行逐一判断即可．
【详解】解：①圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，真命题，
②一个三角形只有一个内切圆，真命题，
③和半径垂直的直线是圆的切线，假命题，如果要是圆的切线还需保证圆心到该直线的距离等于圆的半径，
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，真命题，
假命题只有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的基本内容，熟练掌握圆中涉及的基本知识是解题的关键．
5. 如图，分别是的直径和弦，于点连接．若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=AC=4，然后利用勾股定理计算BD的长．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴，
∵OD⊥AC，
∴CD=AD=AC=4，
在Rt△CBD中，．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
6. 如图，是的直径，是的弦，且与交于点，连接．若则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接BD，得到∠DOB=140°，求出∠CDB，∠ODB即可；
【详解】如图：连接BD，
∵ ∠AOD=40°，
∴∠DOB=180°-40°=140°，
∴ ∠DCB=∠DOB=70°，
∵ CB=CD，
∴ ∠CBD=∠CDB=55°，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD=20°，
∴∠CDO=∠CBO，
∴∠CDO=∠CDB-∠ODB=35°，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识；
7. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】解：如图，设小道宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．
【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
8. 如图，在中，点在弦上移动，连接过点作交于点．若则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．
【详解】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO=90∘，
∴CD=，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合，
∴CD=CB=AB=×2=1．
即CD的最大值为1．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，求出点C的位置是解题的关键．
．
二、填空题
9. 一元二次方程的根是________________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法把原方程转化为x=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可；
【详解】∵ ，
∴ x=0或x-1=0，
解得， ，
故答案为：，
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，求解即可；
10. 若关于的一元二次方程有实根，则的值可以是_________________．(写出一个即可)
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据非负数的性质可得，于是只要使c的值非负即可．
【详解】解：若关于的一元二次方程有实根，
则，所以的值可以是1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．
11. 已知关于x的一元二次方程x2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k =__________．
【答案】±2
【解析】
【详解】由题意知：⊿=k2-4=0
∴k=±2
故答案为±2．
12. 某农场的粮食产量在两年内从增加到则平均每年增产的百分率是______________．
【答案】
【解析】
【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨”，即可得出方程求解．
【详解】解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：3000（1+x）；
第二年粮食的产量为：3000（1+x）（1+x）=3000（1+x）2；
依题意，可列方程：3000（1+x）2=3630；
解得：x=-2.1（舍去）或x=0.1=10%
故答案为：10%．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
13. 已知方程有一个根是，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】把方程的根x=1代入即可求解.
【详解】把x=1代入得：
1-m+n=0
m-n=1
故答案为：1
【点睛】本题考查的是方程的解的定义，理解方程解的定义是关键.
14. 如图，是的外接圆，直径，，则长为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先连结CD，由同弧所对的圆周角相等得出∠ABC=∠ADC，又由于∠ABC=∠DAC，所以∠DAC=∠ADC=45°，所以AC＝CD，接下来利用等腰三角形的性质以及勾股定理即可求出AC的长.
【详解】如图，连结CD，∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∵∠ABC=∠DAC，∠ABC=∠ADC，∴∠DAC=∠ADC=45°，∴AC=CD.在Rt△ADC中，AC2+CD2=AD2，2AC2=42，解得AC=2.
【点睛】本题是在圆中求线段长度的题目，需要利用圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理得知识进行解答.
15. 如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________．
【答案】25
【解析】
【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数．
【详解】解：∵是的切线，
∴∠OAC=90°
∵，
∴∠AOD=50°，
∴∠B=∠AOD=25°
故答案为：25．
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
16. 若圆锥的底面半径是圆锥的侧面积是，则母线长是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥侧面积=底面圆周长×母线长÷2，即可计算．
【详解】根据公式，圆锥母线长，
故答案为：5．
【点睛】本题考查圆锥侧面积相关的计算，熟记基本公式是解题关键．
17. 如图，已知点是半圆上一点，将弧沿弦折叠后恰好经过点若半圆的半径是则图中阴影部分的面积是________________________．
【答案】．
【解析】
【分析】过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得BE＝CE，再根据折叠的性质得到ED＝EO，则OE＝OB，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°则∠AOC=60°，由于OC＝OB，则弓形OC的面积＝弓形OB的面积，然后根据扇形的面积公式及S阴影部分＝S扇形OAC即可得到阴影部分的面积．
【详解】如图：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，
∵OD⊥BC，
∴BE＝CE，
∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，
∴ED＝EO，
∴OE＝OB，
∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，
∴∠AOC=60°；
∵OC＝OB，
∴弓形OC面积＝弓形OB的面积，
∴S阴影部分＝S扇形OAC＝ ．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了垂定定理、圆周角定理和扇形的面积公式．
18. 如图，点是正方形的中心，与相切于点，连接若，则的面积是________________．
【答案】25
【解析】
【分析】连接EO，可知EO⊥ED，延长DE到点F，作BF⊥DF，根据题意可知△DEO∽△DFB，在△EFB中，，根据勾股定理求解得出半径的长，然后再根据圆的面积公式求解即可；
【详解】如图：连接EO，可知EO⊥ED，延长DE到点F，作BF⊥DF，
∵∠FDB=∠EDO，∠DEO=∠DFB，
∴△DEO∽△DFB，
∵EO=r，ED=10，EB=，
∵DO=OB，
∴，
∴EF=10，FB=2r，
在△EFB中，，
，
∴ r=5，
∴ 圆的面积为，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆的面积公式、相似三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握这些公式是解题的关键；
三、解答题
19. （1）；
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）（2）（3）（4）．
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（4）利用因式分解法解方程．
【详解】解:（1），
x-1=，
，
（2），
．
（3），
（4）

．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解题的关键．
20. 设是一个直角三角形的两条直角边的长，且，求这个直角三角形的斜边长的值．
【答案】
【解析】
【分析】对题目中所给的条件进行变形，利用整体思想求解出的值，从而结合勾股定理求解斜边长即可．
【详解】由题意得，

或(不合题意，舍去）
则
(负舍）．
答：这个直角三角形斜边长是．
【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理的应用，能够准确从条件中求解出直角边的平方和是解题关键．
21. 某种品牌的衬衫，进货时的单价为元．如果按每件元销售，可销售件;售价每提高元，其销售量就减少件．若要获得元的利润，则每件的售价为多少元?
【答案】每件的售价为元或元．
【解析】
【分析】要求衬衫的单价，就要设每件的售价为x元，则每件衬衫的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可．
【详解】解:设每件的售价为元，
根据题意，得
化简整理，得
答:每件的售价为元或元．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22. 如图，已知．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使得圆心在边上，且与边所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹);
（2）在（1）的条件下，若，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）的半径为
【解析】
【分析】（1）先作∠ABC的角平分线，交AC于点O，然后过O作AB的垂线，交AB于E，以O为圆心，OE为半径作圆即可；
（2）先利用勾股定理求出AB，然后由即可求出的半径．
【详解】解:（1）如图所示：

（2）设直线与切于点，连接，
则
．
设的半径为
由得
即的半径为
【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，理解题意熟练掌握角平分线和垂线的作图是解题的关键．
23. 在中，弦与直径相交于点．
（1）如图1，若，求和的大小;
（2）如图2，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）首先利用三角形外角的性质即可求出∠BAD的度数，然后利用圆周角定理及其推论即可求出∠CDB的度数；
（2）首先根据直角三角形两锐角互余得出∠PCB的度数，然后根据切线的性质及圆周角定理即可得出答案．
【详解】（1）如图1，
又，
是的直径，
．
（2）如图2，连接，
则
．
是的切线，
．
【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的性质，圆周角定理及其推论是解题的关键．
24. 已知:如图，在中，点从点出发沿以速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，当点到达终点时，点也随即停止运动，设点的运动时间为．以点为圆心，长为半径作．
（1）若，求的值;
（2）若与线段有唯一公共点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）过点作于，用含t的代数式表示PH、QH、PQ的长度，在根据勾股定理求解；
（2）作图分析线段有唯一公共点可能出现的情况，再分类讨论求解.
【详解】解:如图1，过点作于
，
，
解得
如图2，当与相切时，，线段有唯一公共点
．
∴
如图3，当经过点时，，线段有恰有两个公共点，
如图4，当经过点时，
点恰好到达点点Q恰好到达点此时与线段有唯一公共点．
∴当与线段有唯一公共点．
∴若与线段有唯一公共点，的取值范围是或
【点睛】本题考查了等腰三角形上的动点问题以及圆的相关知识，解题的关键是用含t的代数式表示出关键线段的长度，建立方程求解.
25. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为上任意一点，如果两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形的“圆距”，记作．如图，已知点．
（1）直接写出（点）的值；
（2）设是直线上一点，以为圆心，长为半径作．若满足，求圆心的横坐标的取值范围；
（3）过点画直线与轴交于点，当(线段）取最小值时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）3；（2）圆心的横坐标的取值范围或；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据“圆距”的定义求解即可；
（2）先确定OT的取值范围，求出T坐标，根据勾股定理列方程求出x，进一步确定x的取值；
（3）先求出(线段）的最小值，再求出点B坐标，代入求出k的值，从而确定k的取值．
【详解】解：（1）∵A（2，0），的半径为，
∴d（点）=1+2=3；
如图1，由题意可知，．
过作轴于，
∵，的半径为
∴，
由得，
①当时，，
解得
②当时，，
解得
圆心的横坐标的取值范围或
（3）当AB与⊙O相切时，d(线段AB）取最小值=2
设切点为M ，连接OM，则OM=1，∠OMA=90°，
∵A（2，0），
∴OA=2
∴sin∠BOA=
∴∠BOA=30°，
在Rt中
∴OB=OAtan30°=
∴B点坐标：（0，）
把B点坐标代入解得k=；
当B点在x轴下方时，k=；
∴当d(线段AB）取最小值时
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，图形M的“圆距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题