2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期数学期末试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程有实数根的是（ ）
A. x2＋x＋1＝0B. x2－x－1＝0
C. x2－2x＋3＝0D. x2－x＋1＝0
【答案】B
【解析】
【分析】计算一元二次方程的判别式，逐一判断每个选项，即可．
【详解】A. x2＋x＋1＝0，∆=12-4×1×1=-3＜0，该方程没有实数根，
B. x2－x－1＝0，∆=(-1)2-4×1×(-1)=5＞0，该方程有实数根，
C. x2－2x＋3＝0，∆=(-2)2-4×1×3=-8＜0，该方程没有实数根，
D. x2－x＋1＝0，∆=(-)2-4×1×1=-2＜0，该方程没有实数根，
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式，掌握∆≥0，一元二次方程有实数根，∆＜0，一元二次方程没有实数根，是解题的关键．
2. 一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有－1、0、2和3．从中随机摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，
故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：2÷4＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种等可能的结果，那么事件A的概率P(A)＝．
3. 对于一组数据－1，2，－1， 4，下列结论不正确的是（ ）
A. 平均数是1B. 众数是－1C. 中位数是1.5D. 方差是4.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数、中位数、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】这组数据的平均数是：（−1−1＋4＋2）÷4＝1；
−1出现了2次，出现的次数最多，则众数是−1；
把这组数据从小到大排列为：−1，−1，2，4，中位数是第2、3个数的平均数，则中位数是(−1＋2)÷2＝0.5；
这组数据的方差是：×[（−1−1）2＋（−1−1）2＋（4−1）2＋（2−1）2]＝4.5；
∴结论不正确的是C，
故选：C．
【点睛】此题考查了方差、平均数、众数和中位数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2＝[（x1−）2＋（x2−）2＋…＋（xn−）2]；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4. 抛物线y=（x＋2）2＋1的对称轴是（ ）
A. 直线x＝－1B. 直线x＝1C. 直线x＝2D. 直线x＝－2
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用顶点式的特殊性可求对称轴．
【详解】∵抛物线y=（x＋2）2＋1的顶点坐标是：（-2，1），
∴对称轴是：直线x=-2，
故选D．
【点睛】本题主要考查抛物线的对称轴，属于二次函数的基础知识，难度较小．
5. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A. 1．24米B. 1．38米C. 1．42米D. 1．62米
【答案】A
【解析】
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
6. 如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（ ）
A. 8cmB. 12cmC. 30cmD. 50cm
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：∵BC∥PQ，
∴△ABC∽△APQ，
∴，
∵AB：AP=2：5，AQ=20cm，
∴ ，
解得：AC=8cm，
∴CQ=AQ-AC=20-8=12（cm），
故选B．
7. 二次函数y=x2－(m－1)x+4的图像与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A. 1或－3B. 5或－3C. －5或3D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵二次函数y=x2-（m-1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=b2-4ac=[-（m-1）]2-4×1×4=0，
∴（m-1）2=16，
解得：，
∴m1=5，m2=-3．
∴m的值为5或-3．
故选B．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点．
8. 有一个三角形木架三边长分别是15cm，20cm，24cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为12cm和24cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A. 一种B. 两种C. 三种D. 四种
【答案】B
【解析】
【分析】长24cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长24cm的木条不能作为一边，设从24cm的一根上截下的两段长分别为xcm和ycm，且x+y≤24cm；长12cm的木条不能与15cm的边对应，否则x+y>24cm，故分12cm的木条与20cm的边对应和与24cm的边对应讨论即可求解．
【详解】解：长24cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长24cm的木条不能作为一边，
设从24cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤24），
由于长12cm的木条不能与15cm的一边对应，否则x+y＞24cm，
当长12cm的木条与20cm的一边对应时，则，
解得：，此时，故满足；
当长12cm的木条与24cm的一边对应时，则，
解得：，此时，故满足；
综上所述，共有2种截法，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例计算即可．
9. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A. 2＋B. ＋C. ＋D. 2＋
【答案】D
【解析】
【分析】作点C关于OB对称点点A，连接AD与OB的交点即为E，此时CE+ED最小，进而得到阴影部分的周长最小，再由勾股定理求出AD的长，由弧长公式求出弧CD的长．
【详解】解：阴影部分的周长=CE+ED+弧CD的长，由于C和D均为定点，E为动点，故只要CE+ED最小即可，作C点关于OB的对称点A，连接DA，此时即为阴影部分周长的最小值，如下图所示：
∵A、C两点关于OB对称，∴CE=AE，
∴CE+DE=AE+DE=AD，
又D为弧BC的中点，∠COB=60°，
∴∠DOA=∠DOB+∠BOA=30°+60°=90°，
在Rt△ODA中，，
弧CD的长为，
∴阴影部分周长的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形求线段的最小值，弧长公式，勾股定理等，本题的关键是找出阴影部分周长最小值时点E的位置进而求解．
10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点D（－1，2），与x轴的一个交点A在（－3，0）和（－2，0）之间（不含端点），如图所示，有以下结论：①b2－4ac＞0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2；④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根，其中结论正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2 个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数与x轴有两个交点可以得到b2－4ac＞0；设出二次函数的顶点式，再和一般式比较系数，将b，c均用含有a的代数式表示，再代入即可判断出②和③是否正确；ax2＋bx＋c－2＝0可以转化为y=ax2＋bx＋c和y=2的交点问题即可求解．
【详解】解：对于①：二次函数与x轴有两个交点，故△= b2－4ac＞0，故①正确；
对于②：∵与x轴的一个交点A在（－3，0）和（－2，0）之间（不含端点），∴A点到对称轴x=-1的距离在1到2之间，根据对称性，二次函数与x轴的另一个交点到对称轴x=-1的距离也在1到2之间，故此时当x=1时，a+b+cIC-IH，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH有最小值，由此即可求解．
【详解】解：(1)∵BC∥OA，∴∠FQM=∠EPM，且∠FMQ=∠EMP，
∴△FQM∽△EPM，设运动时间为t，则FQ=t，PE=2t
∴，又FE=3，
∴FM=1，ME=2，
又E为OA的中点，∴EA=OE=2，
∴在Rt△MEA中，，
故答案为：；
(2)如下图所示，连接AM，取AM中点I，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH有最小值，否则构成△ICH，三角形两边之差小于第三边CH，过I点作IN⊥BC于N，连接IH，
∵FM∥IN∥AB，且I是AM的中点，
∴IN是梯形MFBA的中位线，∴IN=，,
在Rt△CIN中，由勾股定理：，
又I为直角△AHM斜边AM上的中点，
∴，
∴当C、H、I三点共线时，CH有最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，梯形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形两边之差小于第三边等知识点，具有一定的综合性，熟练掌握各性质是解决本题的关键．
28. 已知二次函数y＝ax2－4ax＋c（a≠0）的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，且△CAO和△BOC的面积之比为1∶3．

（1）求A点的坐标 ；（直接写出答案）
（2）若点C的坐标为（0，2c－2 ）．
①求二次函数的解析式；
②设点C关于x轴的对称点为C′，连接C′B，在线段C′B上是否存在一点P，使∠CPC′＝3∠CBO，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (-2,0)；(2)①二次函数解析式为；②P点坐标存在，为()．
【解析】
【分析】(1)由题意画出草图，先求出对称轴x=2，利用△CAO面积与△BOC面积之比为1:3可得出OA：OB=1:3，由此求出A、B的坐标；
(2)①由抛物线经过(0,2c-2)求出c的值，设抛物线的交点式为：y=a(x+2)(x-6)，整理得：y=ax²-4ax-12a，再和抛物线的一般式比较系数即可求出a的值；
②如下图2所示，由三角形外角定理得到∠CPC′＝2∠CBO+∠BCD，故只需要∠OBC=∠BCD即可，设CD=BD=t，在Rt△OCD中求出t的值，进而求出CD解析式，和BC’解析式联立方程组求出P1点坐标；同理，过C点作CH⊥BC’于H，作 P1关于CH对称点P2，则P2不在线段BC’上，不符合题意舍去即可．
【详解】解：由题意可知，画出如下图1，
∵△CAO面积与△BOC面积之比为1:3，且有公共高OC，
∴AO：BO=1:3，设OA=m，则OB=3m，∴A(-m,0)，B(3m,0)，
∵二次函数的对称轴为直线x=2，
∴-m+3m=4，解得m=2，
故A(-2,0)，
故答案为：(-2,0)；
(2)①由(1)知，A(-2,0)，B(6,0),
∵二次函数y＝ax2－4ax＋c（a≠0）经过点（0，2c－2），
∴c=2c-2，解得c=2，
设抛物线解析式为：y=a(x+2)(x-6)，整理得：y=ax²-4ax-12a，
∴-12a=2，∴a=，
故抛物线的解析式为：，
故答案为：；
②如图2所示，
∵C与C’关于x轴对称，∴∠1=∠2，
在△CP1B中，由三角形外角定理可知，∠CP1C’=2∠1+∠3，
故要∠CP1C′＝3∠CBO，只要∠1=∠3即可，
此时设CD=BD=t，OD=OB-BD=6-t，
在Rt△COD中，CD²=OC²+OD²，代入数值：
∴t²=2²+(6-t)²，解得t=，∴D(，0)，
设CD解析式为，代入C(0,2)和D(，0)，
即，解得，∴CD的解析式为：，
同理可以求出BC’解析式为：，
联立BC’解析式和CD解析式：，解得，
故P1的坐标为()；
同理，过C点作CH⊥BC’于H点，作P1关于CH对称点P2，则P2不在线段BC’上，故不符合题意，
综上所述，P点的坐标为：()．
【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性等知识点，三角形外角定理，一次函数联立方程组求交点坐标等，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
志愿服务时间（小时）
频数
A
0＜x≤30
a
B
30＜x≤60
10
C
60＜x≤90
16
D
90＜x≤120
20