2021-2022学年江苏省无锡市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省无锡市九年级上学期数学期末试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【详解】解：A. ，是二元一次方程，故本选项不符合题意．
B. ，是一元三次方程，故本选项不符合题意．
C. ，是分式方程，故本选项不符合题意．
D. ，该一元二次方程，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为2，系数不为0的整式方程是解题关键．
2. 已知⊙O的半径为4，，则点A在（ ）
A. ⊙O内B. ⊙O上C. ⊙O外D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．
【详解】解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，
∴d>r，
∴点A在⊙O外，
故选：C．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．
3. 若a是从“、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于x的方程为一元二次方程的概率是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，四个数中有一个1不能取，a是从“、0、1、2”这四个数中任取的一个数，有四种等可能的结果，其中满足条件的情况有3种，然后利用概率公式计算即可．
【详解】解：当a=1时于x的方程不是一元二次方程，其它三个数都是一元二次方程，
a是从“、0、1、2”这四个数中任取的一个数，有四种等可能的结果，其中满足条件的情况有3种，
关于x的方程为一元二次方程的概率是，
故选择B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，列举法求概率，掌握一元二次方程的定义，列举法求概率方法是解题关键．
4. 一组样本数据为1、2、3、3、6，下列说法错误是（ ）
A. 平均数是3B. 中位数是3C. 方差是3D. 众数是3
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐一求解可得．
【详解】A、平均数为，故此选项不符合题意；
B、样本数据为1、2、3、3、6，则中位数为3，故此选项不符合题意；
C、方差为，故此选项符合题意；
D、众数为3，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
5. 一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等量关系：原价×（1－x）2=现价列方程即可．
【详解】解：根据题意，得：，
故答案为：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解答的关键．
6. 在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（ ）
A. 140°B. 100°C. 80°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】，，，进而求解的值．
【详解】解：由题意知
∵
∴
∴
∵
∴
故选C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．
7. 如图，在平面直角坐标系中，，，．则△ABC的外心坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥y轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到，由此求解即可．
【详解】解：∵B点坐标为（2，-1），C点坐标为（2， 3），
∴直线BC∥y轴，
∴直线BC的垂直平分线为直线y=1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC外心的纵坐标为1，
设△ABC的外心为P（a，1），
∴，
∴，
解得，
∴△ABC外心的坐标为（-2， 1），
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．
8. 如图，AB是的直径，CD是的弦，且，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接OC，OD，可知是等边三角形，，，，计算求解即可．
【详解】解：如图连接OC，OD
∵
∴是等边三角形
∴
由题意知，
故选C．
【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形等知识．解题的关键在于用扇形表示阴影面积．
9. 定义一种新运算：，，则方程的解是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据新定义列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得，方程，化为，
整理得，，
，
∴，
解得：，，
故选A．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确理解新运算、掌握公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
10. 如图，在Rt△ABC中，，，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为；③BP存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据，，点D、E分别是AB、AC的中点．得出∠DAE=90°，AD=AE=，可证∠DAB=∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），可判断①△AEC≌△ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，根据△AEC≌△ADB，得出∠DBA=∠ECA，可证∠P=∠BAC=90°，CP为⊙A的切线，证明四边形DAEP为正方形，得出PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，可判断②CP存在最大值为正确；△AEC≌△ADB，得出BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=可判断③BP存在最小值为不正确；取BC中点为O，连结AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，BP=CO=AO=，当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，可求∠ACE=30°，根据圆周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，可得∠ABD=30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动轨迹为，L=L可判断④点P运动的路径长为正确即可．
【详解】解：∵，，点D、E分别是AB、AC的中点．
∴∠DAE=90°，AD=AE=，
∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
故①△AEC≌△ADB正确；
作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，
∵△AEC≌△ADB，
∴∠DBA=∠ECA，
∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，
∴∠P=∠BAC=90°，
∵CP为⊙A的切线，
∴AE⊥CP，
∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，
∴四边形DAEP为矩形，
∵AD=AE，
∴四边形DAEP为正方形，
∴PE=AE=3，
在Rt△AEC中，CE=，
∴CP最大=PE+EC=3+，
故②CP存在最大值为正确；
∵△AEC≌△ADB，
∴BD=CE=，
在Rt△BPC中，BP最小=，
BP最短=BD-PD=-3，
故③BP存在最小值为不正确；
取BC中点为O，连结AO，OP，
∵AB=AC=6，∠BAC=90°，
∴BP=CO=AO=，
当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，
∴∠ACE=30°，
∴∠AOP=2∠ACE=60°，
当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，
∴∠ABD=30°，
∴∠AOP′=2∠ABD=60°，
∴点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动轨迹为，
∴L= L．
故④点P运动的路径长为正确；
正确的是①②④．
故选B．
【点睛】本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 请写出一个一元二次方程，使得它的一个根为0，另一个根不为0：________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】一元二次方程可表示为 的形式，任取的值代入求解即可．
【详解】解：由题意知，一元二次方程可表示为，的形式
当时，一元二次方程为
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程．解题的关键在于正确的写出方程的因式分解的形式．
12. 用配方法将方程化成的形式：________．
【答案】
【解析】
【分析】配方法表示方程即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法．解题的关键在于识别方程的形式并正确的表示．
13. 转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用概率公式计算可得答案．
【详解】在这6个数字中，为3的倍数的有3和6，共2个，
∴任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14. 如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=5 cm，BC=12 cm，以BC边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周得到的圆锥侧面积是____．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意得：
∵∠C=90°，AC=5 cm，BC=12 cm，
∴母线长l=13，半径r为5，
∴圆锥的侧面积是S=．
故答案为：
15. 某电视台要招聘1名记者，某应聘者参加了3项素质测试，成绩如下：
如果将采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按5：2：3计算，则该应聘者的素质测试平均成绩是________分．
【答案】82
【解析】
【分析】根据加权平均数公式采访写作的成绩×权重+计算机操作的成绩×权重+创意设计的成绩×权重计算即可．
【详解】解：该应聘者的素质测试平均成绩是．
故答案为82．
【点睛】本题考查加权平均数，掌握加权平均数公式是解题关键．
16. 一个直角三角形的斜边长cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm，直角三角形的面积是________．
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x）根据勾股定理，解一元二次方程求出，根据这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，可求外接圆的半径为cm，利用三角形面积公式求即可．
【详解】解：设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x），
∵三角形是直角三角形，
∴根据勾股定理，
整理得：，
解得，
这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，
∴外接圆的半径为cm，
三角形面积为．
故答案为；．
【点睛】本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．
17. 古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法．以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的矩形加中间小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x．根据此法，图中正方形ABCD的面积为________，方程可化为________．
【答案】 ①. 89 ②.
【解析】
【分析】先求正方形四边边长，用完全平方公式展开两条边长之积，再利用已知条件得出所求正方形面积．第二问则把第一问的最前面和最后面联系起来即可得解．
【详解】①正方形边长为x+x+3=2x+3
故面积为（2x+3）²=4x²+12x+9=4（x²+3x）+9
因为x²+3x=20
所以4（x²+3x）+9=80+9=89
故答案为89；
②由①结合最前面和最后面可得：（2x+3）²=89
故答案为（2x+3）²=89．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用、结论的迁移，掌握这些是本题关键．
18. 将点绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点，当点恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，由全等三角形求出点坐标，由点在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G的坐标．
【详解】设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，
如图所示：
∵，
∴，，
∵点A绕点G顺时针旋转90°后得到点，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：或，
∴或．
故答案为：，．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：∵（x-1）2=4，
∴x-1=2或x-1=-2，
解得x1=3，x2=-1；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20. 已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）进行判别式的值得到，利用平方非负数的性质得，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；
（2）根据方程有两个相等的实数根得，先求出的值，再代入一元二次方程中求解即可．
【小问1详解】
由题意得：，
，
，
∴方程总有两个实数根；
【小问2详解】
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
此时方程为，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．
21. 小明每天骑自行车．上学，都要通过安装有红、绿灯的4个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同．
（1）小明从家到学校，求通过前2个十字路口时都是绿灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）
（2）小明从家到学校，通过这4个十字路口时至少有2个绿灯的概率为 ．（请直接写出答案）
【答案】（1），见解析
（2）
【解析】
【小问1详解】
列表如下
∵共有4种等可能情形，满足条件的有1种．
∴通过前2个十字路口时都是绿灯的概率．
【小问2详解】
画树状图如图，表示红灯，表示绿灯，
∵共有16种等可能情形，满足条件的有11种．
小明从家到学校，通过这4个十字路口时至少有2个绿灯的概率为
故答案为：
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，掌握列表法或画树状图法是解题的关键．
22. 如图，正三角形ABC内接于，的半径为r，求这个正三角形的周长和面积．
【答案】周长为．面积为．
【解析】
【分析】连接OB，OA，延长AO交BC于D，根据等边三角形性质得出AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=30°，求出OD，根据勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即为周长，根据三角形的面积公式即可求出面积．
【详解】解：连接OB，OA，延长AO交BC于D，如图所示：
∵正△ABC外接圆是⊙O，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=∠ABC=×60°=30°，
∴OD=OB=r，
由勾股定理得：BD=，
即三角形边长为BC=2BD=r，AD=AO+OD=r+r=，
则△ABC的周长=3BC=3×r=3r；
△ABC的面积=BC×AD=×r×=．
∴正三角形ABC周长为；正三角形ABC面积为．
【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点；关键是能正确作辅助线后求出BD的长．
23. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京和张家口举行．为迎接本次冬奥会，某校组织初一年级学生开展“迎冬奥”知识竞赛活动（满分为50分）．从竞赛成绩中随机抽取了20名男生和20名女生的成绩（单位：分）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成四个等级：A：，B：，C：，D：），下面是这40名学生
成绩的信息：
20名男生的成绩：50，46，50，50，46，49，39，46，49，46，46，43，49，47，40，48，44，43，45，44．
20名女生中成绩为B等级的数据是：45，46，46，47，47，46，46．
所抽取学生的竞赛成绩统计表
所抽取的20名女生的竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ．
（2）该校初一年级共有400名男生参与此次竞赛，估计其中等级为A的男生约有多少人？
【答案】（1）10，47
（2）140人
【解析】
【分析】（1）先求出B组占女生的百分比，然后用1-A的百分比-B组的百分比-D组的百分比=C的百分比，将B在数据从大到小排序，取出最高的两个数的平均数为女生的中位数即可；
（2）将20名男生成绩从高到低排序，找出A组：有7人，求出所占男生百分比×400即可．
小问1详解】
解：∵20名女生中成绩为B等级的数据是：45，46，46，47，47，46，46．
∴7÷20×100%=35%，
∴a%=1-0,45-0.35-0.10=0.10=10%，
A组有：20×45%=9人，B组有7人，9+7=16＞11，
把B组数据从大到小排序为： 47，47，46，46， 46，46，45．
第10个数据为47，第11个数据为47，
∴中位数b=，
故答案为10；47；
【小问2详解】
解：将20名男生的成绩从高到低排序：50，50，50，49，49，49，48，47，46， 46，46，46，46，45，44，44，43， 43，40，39．
其中A：，有7人，
占男生7÷20×100%=35%，
该校初一年级共有400名男生参与此次竞赛，估计其中等级为A的男生约有400×35%=140人，
答：该校初一年级男生竞赛成绩等级为A的约有140人．
【点睛】本题考查统计表与扇形统计图获取信息与处理，中位数，扇形统计图的部分数据，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握统计表与扇形统计图获取信息与处理，中位数，扇形统计图的部分数据，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键．
24. 如图，AB是的直径，AN、AC是的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且，．
（1）试判断直线PC与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求MN的长．
【答案】（1）直线PC与⊙O相切，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接OC，，，， ，是半径，进而可说明直线PC与⊙O相切．
（2）如图，连接ON，，，为等边三角形；可知的值，，求得的值，求解即可．
【小问1详解】
解：直线PC与⊙O相切．
如图，连接OC，则
∴
∵
∴
∴
∵AB为⊙O的直径
∴
∴
即
∴直线PC与⊙O相切．
【小问2详解】
解：如图，连接ON
∵，，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴为等边三角形
∴
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，的直角三角形，三角形相似等知识点．解题的关键在于灵活综合运用知识．
25. 如图，已知锐角△ABC中，．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作△ABC的内切圆．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，则△ABC内切圆的半径为 ．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）内切圆的圆心是角平分线的交点；作的角平分线，作的角平分线交于点，两条角平分线的交点即为内切圆的圆心，为内切圆半径，画圆即可．
（2）过圆心向作垂线，交点为，由角平分线的性质可知，，在中，设内切圆的半径为，则，在中，解出的值即可．
【小问1详解】
解：如图：以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接交于点；以为圆心画弧，交于点，以为圆心，大于为半径画弧，交点为，连接，与的交点即为的内切圆的圆心，即为半径，画圆．
【小问2详解】
解：如图，过圆心向作垂线，交点为；
由角平分线的性质可知：
∵
∴为等腰三角形
∴
∴中
设内切圆的半径为，则
在中∵
∴
解得：
∴内切圆的半径为．
【点睛】本题考查了角平分线的画法，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形等知识．解题的关键在于熟练掌握角平分线的作法．
26. 某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本．方案二：前5本按定价出售，超过5本以上的部分可以打折．
（1）该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量；
（2）如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？
【答案】（1）该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本
（2）书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元
【解析】
【分析】（1）设读书兴趣小组购买书籍x本，列出等量关系式，求解即可；
（2）设书店折扣至少低于折才能使得实付金额少于600元，列出不等式为，解出即可．
【小问1详解】
设读书兴趣小组购买书籍x本，
根据题意，当购买数量不超过10本时每本按50元出售，
∵，
∴兴趣小组购买书籍数量超过10本，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴，
答：该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本；
【小问2详解】
设书店折扣为y折才能使得实付金额少于600元，
由题意得，，
∴，
答：书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元．
【点睛】本题考查解一元二次方程以及解一元一次不等式，根据题意找出关系式是解题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点B在x轴正半轴上，且，C为线段OB上一点，作射线AC交△AOB的外接圆于点D，连接OD，．
（1）求的度数；
（2）在射线AD上是否存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得出，再根据，得出，最后利用直角三角形的性质得出结果；
（2）先得出△BCP为等边三角形，过点P作PH⊥OB交OB于点H，再利用解直角三角形得出PH，BH即可得解．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴．
【小问2详解】
∵∠AOB=90°，
∴AB为△AOB的外接圆的直径，
假设在射线AD上存在点，使得BP与△AOB外接圆相切，
∴，
∴∠ABP=90°，
∵，
∴∠PBC=60°，
∵∠BAD=30°，∠ABO=30°，
∴∠BCP=60°，
∵∠PBC=∠°BCP=60°，
∴△BCP为等边三角形，
过点P作PH⊥OB交OB于点H，
∵，
∴OA=3，在Rt△AOC中，∠OAC=30°⊥，
∴OC=OA·tan30°=，AC=，
∵∠BAD=∠ABO=30°，
∴AC=BC=2，在等边△BCP中，PH⊥BC，
∴PH平分BC，∴CH=BH=BC=，
∴OH=OC+CH=2，在Rt△⊥BHP中，BH=，∠PBH=60°，
∴PH=BH·tan60°=3，
∴P(2，-3)，
∴存在点P(2，-3)使得直线BP与△AOB的外接圆相切．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质及解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
28. 如图，在Rt△ABC中，，cm．点D从A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动；同时，点F从B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，移动过程中始终保持（点E在AB上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t（s）（其中）．
（1）当t为何值时，四边形DEFC的面积为18？
（2）是否存在某个时刻t，使得，若存在，求出t值，若不存在，请说明理由．
（3）点E是否可能在以DF为直径的圆上？若能，求出此时t的值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，说明见解析
（3）能，
【解析】
【分析】（1）由题意知，四边形为梯形，则，，求t的值，由得出结果即可；
（2）假设存在某个时刻t，则有，解得t的值，若，则存在；否则不存在；
（3）假设点E在以DF为直径的圆上，则四边形DEFC为矩形，，故有，求t的值，若，则存在；否则不存在．
【小问1详解】
解：∵
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∴是等腰直角三角形，四边形为直角梯形
∴
∵
∴
∵
∴
解得或．
∵且
∴
∴．
【小问2详解】
解：假设存在某个时刻t，使得．
∴
化简得
解得或
∵
∴不存在某个时刻t，使得．
【小问3详解】
解：假设点E在以DF为直径的圆上，则四边形DEFC为矩形
∴，即
解得
∵
∴当时，点E在以DF为直径的圆上．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直径所对的圆周角为90°，矩形的性质，等腰三角形等知识点．解题的关键在于正确的表示线段的长度．测试项目
采访写作
计算机操作
创意设计
测试成绩（分）
82
85
80
第一个十字路口\第二个
红灯
绿灯
红灯
红红
红绿
绿灯
绿红
绿绿
性别
平均数
中位数
众数
男
46
46
46
女
46.5
b
48