2021-2022学年江苏省无锡市锡山区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省无锡市锡山区九年级上学期数学期中试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x﹣2=0B. xy+1=0C. x2﹣﹣3=0D. x2﹣4x﹣1=0
【答案】D
【解析】
【分析】一元二次方程有三个特点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程．
【详解】解：A．是一元一次方程，故不符合题意；
B．含有2个未知数，故不符合题意；
C． x2﹣﹣3=0是分式方程，故不符合题意；
D．是一元二次方程，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，掌握一元二次方程的定义是解题关键．
2. 如果⊙O的半径为6，线段OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O上B. 点P在⊙O内
C. 点P在⊙O外D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】当点P与圆心的距离大于半径时，点P在圆外；当点P与圆心的距离等于半径时，点P在圆上；当点P与圆心的距离小于半径时，点P在圆内．根据点与圆的位置关系即可判断．
【详解】∵OP=375舍去
∴y=-10×60+1000=400
答：该月销售量是400瓶．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，利用待定系数法求出月销售量与销售单价的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
27. 如图，是⊙O直径，是⊙O的切线，交⊙O于点E．
（1）若D为的中点，证明：是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径的长为4
【解析】
【分析】（1）连接AE和OE，由直角三角形的性质和圆周角定理易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACE中求得AE的长，证得Rt△ABERt△CAE，利用对应边成比例即可求解．
【详解】（1）连接AE，OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AC是圆⊙O的切线，
∴AC⊥AB，
在直角△AEC中，
∵D为AC的中点，
∴DE=DC=DA，
∴∠DEA=∠DAE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵∠DAE+∠OAE=90°，
∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE 是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ACE中， CA=6， CE=3.6=，
∴AE=，
∴∠B+∠EAB=90°，
∵∠CAE+∠EAB=90°，
∴∠B=∠CAE，
∴Rt△ABERt△CAE，
∴，即，
∴，
∴⊙O的半径OA=．
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
28. 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点B出发，沿AB边向终点A以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→B→A向终点A以每秒3cm的速度运动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）若Q在BC上运动，当t= 秒时，PQ的长为cm？
（2）如图2，以P为圆心，PQ长为半径作⊙P，在整个过程中，是否存在这样的t的值，使⊙P正好与△ABD的一边（或所在的直线）相切？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）存在，t的值为秒或秒或秒
【解析】
【分析】（1）由题意得BP＝t，CQ＝3t，则AP＝6−t，BQ＝BC−CQ＝8−3t，在Rt△BCP中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）分情况讨论：①若与BD相切，过P作PK⊥BD于K，则∠PKB＝90°，PK＝PQ＝PB−BQ＝t−（3t−8）＝8−2t，证△PBK∽△DBA，得 ，即可得出答案；②若与AD相切，Q在BC上，PQ＝PA，Q在BC上，则PQ＝PA＝6−t，在Rt△PBQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可；③若与AD相切，当P、Q两点中Q先到A点时，此时t＝；
④若与AD相切，当点Q未到达点A时，则PA＝PQ，得6−t＝t−（3t−8），解得t＝2，舍去；即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意得：BP＝t，CQ＝3t，
则AP＝6−t，BQ＝BC−CQ＝8−3t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
在Rt△BCP中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得：或（不符合题意舍去），
∴
（2）①若与BD相切，过P作PK⊥BD于K，如图所示：
则∠PKB＝90°，PK＝PQ＝PB﹣BQ＝t﹣（3t﹣8）＝8﹣2t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°＝∠PKB，AD＝BC＝8，
∴BD＝10，
∵∠PBK＝∠DBA，
∴△PBK∽△DBA，
∴，即，解得：t＝ ，
②若与AD相切，Q在BC上，PQ＝PA，Q在BC上，如图所示：
则PQ＝PA＝6﹣t，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得：t2+（8﹣3t）2＝（6﹣t）2，
解得：t＝ ，或t＝（不合题意舍去），
∴t＝，
③若与AD相切，当P、Q两点中Q先到A点时，如图所示：
此时t＝，
∴⊙P的半径为 ，
④若与AD相切，当点Q未到达点A时，如图所示：
则PA＝PQ，
∴6﹣t＝t﹣（3t﹣8），
解得：t＝2，
当t＝2时，PB＝2，则AP＝6﹣2＝4≠PQ，故舍去
综上所述，t的值为秒或秒或秒．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键，注意分类讨论避免漏解，属于中考常考题型．
29. 如图1，四边形ABCD是矩形，AB=1，点E是线段BC上一动点（不与B、C重合），点F是线段BA延长线上一动点，连接DE、EF、DF，EF交AD于点G．设BE=x，AF=y，y与x之间的函数关系式如图2所示．
（1）y与x之间的函数关系式 ，边BC的长为 ；
（2）求证：DE⊥DF；
（3）是否存在x的值，使的△DEG是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）＝﹣2x+4，2；（2）见解析；（3）存在，=或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法设y与x的函数表达式为：y＝kx＋b（k≠0），根据图象经过（1，2），（0，4），将其代入即可求出表达式，由图象即可知BC的长；
（2）证明△CDE∽△ADF，再利用相似三角形对应角相等即可转换求证∠EDF＝90°即得证；
（3）假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，分DE＝DG，DG＝GE，DE＝GE三种情况讨论结合图形特点即可算出x的值．
【详解】解：（1）设y与x的函数表达式为：y＝kx＋b（k≠0），
由图象知函数经过（1，2），（0，4），将其代入函数表达式得：，
解得：，
∴y与x的函数表达式为：y＝−2x＋4，
令y＝0，则x＝2，
故由图象可知：0＜x＜2，BC＝2，
故答案为：y＝−2x＋4（0＜x＜2），2；
（2）证明：∵BE＝x，BC＝2，
∴CE＝2﹣x，
∴，，
∴且∠C＝∠DAF＝90°，
∴△CDE∽△ADF
∴∠ADF＝∠CDE，
又∵∠ADF+∠EDG＝∠CDE+∠EDG＝90°，
∴∠EDF＝90°
∴DE⊥DF
（3）①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，
∵ADBC，
∴∠DGE＝∠BEF＝∠DEG，
在△DEF和△BEF中，
∴，
∴△DEF≌△BEF（AAS）
∴DE＝BE＝x，
∵CE＝2﹣x，CD＝1，
Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，即，12+（2﹣x）2＝x2，
解得：x＝
②若DG＝GE，则∠GDE＝∠GED，
∵∠GDE+∠GDF＝90°，∠DEG+∠DFE＝90°，
∴∠GDF＝∠DFE，
∴DG＝FG＝GE，
∴G为EF的中点，
又∵AGBE，
∴A也为BF的中点，
∴AF＝BA＝1，
∴y＝﹣2x+4＝1，
解得：x＝
③若DE＝GE，则∠EDG＝∠EGD，过点E作EH⊥DG于点H，则：
DH＝GH＝CE＝2﹣x，EH＝CD＝AB＝1，AG＝2﹣DG＝2﹣2（DH）＝2﹣2（2﹣x）＝2x﹣2，AF＝y＝﹣2x+4，
∵∠EHG＝∠GAB＝∠GAF＝90°，∠HGE＝∠AGF，
∴△HGE∽△AGF，
∴，
即，解得：x1＝，x2＝＞2（舍去）
综上所述，当x＝或或时，使得△DEG是等腰三角形．
【点睛】本题属于四边形综合大题，考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确分析几何图形的特点，熟练运用，分类讨论，细心运算是解题关键．销售单价x（单位：元）
45
50
55
…
月销售量y（单位：瓶）
550
500
450
…