精品解析：重庆市合川区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

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注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．所有答案必领写在答题卡的指定位置，答在本卷或其他位置均不能得分．
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成．
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号所对应的方框涂黑．
1. 下列事件中为不可能事件的是（ ）
A. 明天太阳从西边升起
B. 随机翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C. 在平面内任意画一个三角形，其内角和是180°
D. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
【答案】A
【解析】
【分析】根据不可能事件、随机事件和必然事件的意义进行判断即可．
【详解】明天太阳从西边升起，是不可能事件，故A符合题意；
随机翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故B不符合题意；
在平面内任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故C不符合题意；
经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查判断不可能事件、随机事件和必然事件．掌握不可能事件、随机事件和必然事件的意义是解题关键．
2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. (3，)B. (，5)C. (3，5)D. (，)
【答案】C
【解析】
【分析】根据顶点式分析即可求得顶点坐标，的顶点坐标是
【详解】抛物线的顶点坐标是(3，5)
故选C
【点睛】本题考查了的性质，掌握顶点式是解题的关键．
4. 一元二次方程的实数根情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出已知方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可判定根的情况．
【详解】解：∵，，
∴
∴一元二次方程有两个不相等实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解决本题的关键．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
5. 如图，PA与相切于A点，，则（ ）
A. 20°B. 35°C. 70°D. 140°
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线的性质可知，再结合三角形内角和定理即可求出．
【详解】∵PA与⊙O相切于A点，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查切线的性质和三角形内角和定理．掌握圆的切线垂直于这个圆过切点的半径是解题关键．
6. 桌上倒扣着大小和背面图案完全相同的8张扑克牌，其中5张红桃，3张黑桃，从中随机抽取1张，则抽取的是黑桃的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【详解】解：∵从这8张牌中任意抽取1张共有8种等可能结果，其中抽到“黑桃”的有3种结果，
∴从中任意抽取1张，是“黑桃”的概率为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
7. 要得到抛物线可以将抛物线（ ）
A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出两抛物线的顶点坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
∴把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到抛物线．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像的平移，熟练掌握二次函数的图像的平移规律是解题的关键．
8. 如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【详解】解：在Rt△ACB中，AB=，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分=S扇形ACB-S△ADC=π×22-×（）2=π-1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，不规则图形面积的求法，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
9. 受益于电商普及和交通运输的快速发展，快递业务量持续增长．我市2019年的快递业务量为1.1亿件，2021年，我市快递业务量增加到1.4亿件，设快递业务量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用我市2021年的快递业务量=我市2019年的快递业务量×（1+快递业务量的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：1.1（1+x）2=1.4．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点恰好落在线段AB上，连接，若，则n的大小为（ ）
A. 25B. 40C. 45D. 50
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转即得出，．从而可求出和利用等边对等角证明，再结合三角形内角和定理即可求出，即n的大小．
【详解】根据旋转可知，，
∴，
∴．
即．
故选D．
【点睛】
本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．
11. 关于x的一元二次方程x2-5mx+6m2=0（m＞0）的两实数根分别为x1，x2，若x12+x22=52，则实数m的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据根与系数的关系可用m表示出x1+x2和x1x2的值，代入已知等式可得到关于m的方程，可求得m的值，再根据方程根的判别式进行取舍．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-5mx+6m2=0的两实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=5m，x1x2=6m2，
∵x12+x22=52，
∴（x1+x2）2-2x1x2=52，
∴（5m）2-2×6m2=52，
解得m=±2
故选：C．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，利用m表示出两根和与两根积是解题的关键．
12. 如图，二次函数的图象与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，且．以下几个结论：①：②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由图象知二次函数开口向下，可判断①，与轴交点纵坐标为，
可判断②，函数图象对称轴直线，可判断③，时，时，可判断④⑤．
【详解】解：由图象可知，二次函数开口向下，
∴，
故①正确；
∵
∴
故②正确；
由函数图象知对称轴直线
∴
∴
∴
故③错误；
∵时，
∴
故④错误；
∵时，
∴
故⑤错误；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于从图象上获取正确的信息．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 一次跳绳比赛中，200名学生中有50名学生获得了优秀，则优秀人数的频率是______．
【答案】0.25####
【解析】
【分析】利用优秀人数的频数除以总人数即可得到优秀人数的频率．
【详解】解：优秀人数的频率：
故答案为：0.25
【点睛】
本题考查频率的计算，解题的关键是根据题意，利用优秀人数的频数除以总人数即可得到优秀人数的频率．
14. 抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可设该抛物线解析式为，再利用待定系数法即可求解．
【详解】根据题意可设该抛物线解析式，
将点(2，8)代入，即得，
解得：，
故该抛物线解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的图象和性质以及利用待定系数法求函数解析式．掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
15. 已知是关于x的方程的一个根，则实数______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可将代入中，解出m的值即可．
【详解】将代入，得：，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解与解一元二次方程．掌握方程的解即是使等式成立的未知数的值是解题关键．
16. 如图，AB是⊙O的弦，C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点P，若AB=6cm，CP=9cm，则⊙O的半径为 ______cm．
【答案】5
【解析】
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理得出关于r的方程，再求出方程的解即可．
【详解】解：连接OA，
设⊙O的半径为r cm，则OP=OA=r cm，OC=（9-r）cm，
∵C为AB的中点，OC过圆心O，AB=6cm，
∴OC⊥AB，AC=BC=3cm，
∴∠ACO=90°，
由勾股定理，得：AC2+OC2=OA2，
32+（9-r）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5cm，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦．
17. 若关于x的分式方程有正整数解，且关于x的函数的图象在x轴的下方，则满足条件的所有整数m的值之和为______．
【答案】-2
【解析】
【分析】先用含m代数式表示出分式方程的解，根据抛物线图象在x轴下方可得抛物线顶点纵坐标小于0，从而求出m的取值范围，进而求解．
【详解】解：∵，
∴3+m=x-1，
∴x=m+4，
当m+4为正整数时，m为大于-4的整数，且m+4≠1，即m≠-3，
∵y=-x2+2mx-m2+-1=-（x-m）2+-1，
∴抛物线顶点坐标为（m，-1），
∵抛物线图象在x轴下方，
∴-1＜0，
∴m＜2，
∴m的值可以为-2，-1，0，1，
∴-2-1+0+1=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质与分式方程的解，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握解含参数的分式方程的方法，注意分式的增根情况．
18. 如图，是等腰三角形，，，M为所在平面内一动点且，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转120°得线段AN，连接BN，则线段BN长度的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】由BM＝1作以点B为圆心，半径为1的⊙B，由∠BAC＝120°和旋转角为120°得到点M经过旋转后与以点C为圆心，半径为1的⊙C，然后连接BC并延长交⊙C于点N，即可得到BN长度的最大值．
【详解】解：如图，以B为圆心、半径为1作⊙B，以点C为圆心、半径为1作⊙C，
∵BM＝1，
∴点M在⊙B上，
∵旋转角为120°，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴点M经过旋转后落在⊙C上，
连接BC，并延长BC交⊙C于点N，过点A作AH⊥BC于点H，则CN＝1，∠AHB＝∠AHC＝90°，此时，BN长度最大，
∵△ABC为等腰三角形，∠ABC＝120°，AB＝2，
∴AC＝AB＝2，∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是通过旋转的性质得到点M的运动轨迹和点的轨迹．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x1=1，x2=2；
（2）x1=8，x2=-1．
【解析】
【分析】（1）将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
（2）先移项，再将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵x（x-1）-2（x-1）=0，
∴（x-1）（x-2）=0，
则x-1=0或x-2=0，
解得x1=1，x2=2；
【小问2详解】
解：∵x2-8=7x，
∴x2-7x-8=0，
则（x-8）（x+1）=0，
∴x-8=0或x+1=0，
解得x1=8，x2=-1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）写出A1，B1，C1三点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）A1（3，-5），B1（4，-2），C1（-2，-3）．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）结合（1）即可写出A1，B1，C1三点的坐标．
【小问1详解】
解：如图，△A1B1C1即为所求；
,
【小问2详解】
解：根据（1）所作的图形知：A1（3，-5），B1（4，-2），C1（-2，-3）．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
21. 有两个大小相同的布袋，第一个布袋中有3个白球，分别记为A1，A2，A3，1个黑球，记为B，第二个布袋中有1个白球，记为a，2个黑球，分别记为b1，b2，这些球除颜色外无其他差别．
（1）若从第一个布袋中随机摸出一个球，求摸出的是白球的概率；
（2）若分别从每个布袋中随机摸出一个球，请用列表或树状图的方法求摸出的两个球中恰好是1个白球，1个黑球的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球中恰好是1个白球，1个黑球的结果有7种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：从第一个布袋中随机摸出一个球，摸出的是白球的概率为；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球中恰好是1个白球，1个黑球的结果有7种，
∴摸出的两个球中恰好是1个白球，1个黑球的概率为．
【点睛】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 二次函数的图象经过点，．
（1）求b，c的值；
（2）求该函数的最小值；
（3）当x取什么值时，y随x的增大而增大？
（4）请直接写出当x取什么值时，？
【答案】（1）
（2）
（3）当时，y随x的增大而增大
（4）当时，
【解析】
【分析】（1）将A(1，-14)，B(6，-14) 代入二次函数解析式，求解即可；
（2）由（1）可知该函数解析式，再改为顶点式即得出答案；
（3）由抛物线的开口方向和对称轴即可得解；
（4）令，解出x的值，结合抛物线的开口向上，即可得解．
【小问1详解】
将A(1，-14)，B(6，-14)代入二次函数解析式得：，
解得：；
【小问2详解】
由（1）可知该函数解析式，改为顶点式为：，
∴当时，函数有最小值，为；
【小问3详解】
∵该抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大；
【小问4详解】
令，则
解得：．
∵该抛物线开口向上，
∴当时，．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握利用待定系数法求函数解析式，二次函数与方程和不等式的关系是解题关键．
23. 如图，与为等边三角形，点A，D，E在直线BC同侧，连接AE，BD．
（1）求证：；
（2）可以看作是经过旋转得到的，请利用旋转的知识进行说明．
【答案】（1）证明详见解析
（2）说明详见解析
【解析】
【分析】证明两个三角形全等需要三个条件，根据题意找到三个符合题意的条件即可，
由(1)得到全等，根据旋转的性质说明即可，
【小问1详解】
解： 与 为等边三角形，
，，

即
在与中

小问2详解】
解：由(1)可得，，
与中C点重合，故DC的对应边EC，
又 ，
绕C顺时针旋转可得
【点睛】本题考查两个等边三角形有一点共点的图形变换，全等三角形的判定，旋转的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质与判定求解即可，
24. 随着生活水平的提升，大闸蟹走上了民众的餐桌．某水产销售商经过统计发现，大闸蟹的养殖成本为25元/只，当市场售价定为35元/只时，每天可售出480只，为了增加销售量，该销售商决定采取降价措施，一只大闸蟹的销售价每降低1元，每天的销售量会增加60只．
（1）采取降价措施后，请写出该销售商每天的销售量y与降价x（）元之间的函数关系；
（2）当每只大闸蟹降价3元时，求销售商每天的利润；
（3）当每只大闸蟹降价多少元时，销售商每天的利润最大，并求最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）元；

（3）每只大闸蟹降价1元时，销售商每天的利润最大，且最大利润是4860元
【解析】
【分析】（1）利用养殖户每天的销量＝480＋60×每只降低的价格，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）代入x＝3可求出y值，再利用养殖户每天的利润＝每只的销售利润×日销售量，即可求出结论；
（3）利用养殖户每天的利润＝每只的销售利润×日销售量，列出函数解析式并根据函数的增减性求最大值．
【小问1详解】
设每只大闸蟹降价x（）元，
则y＝480＋60x，
∴每天的销售量y与降价x元之间的函数关系为：y＝480＋60x（）；
【小问2详解】
当x＝3时，y＝480＋60×3＝660，
∴养殖户每天的利润为：（35−25−3）×660＝4620（元）；
【小问3详解】
设销售商每天的利润为w元，根据题意得：
w＝（35−25−x）（480＋60x）
＝−60x2＋120x＋4800
＝−60（x−1）2＋4860，
∵−60＜0，，
∴当x＝1时，w有最大值，最大值为4860，
∴当每只大闸蟹降价1元时，销售商每天的利润最大，且最大利润是4860元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，列出函数关系式．
25. 对于一个各位数字都不为零的三位正整数M，若M满足个位上数字是十位上数字的2倍，则称M为“绽放数”．将一个“绽放数”M任意一个数位上的数字去掉后可以得到三个新两位数，把这三个两位数之和记为．如“绽放数”，去掉百位上的数字后得到12，去掉十位上的数字后得到52，去掉个位上的数字后得到51，则．
（1）求：，；
（2）若能被9整除，求出满足条件的所有“绽放数”M．
【答案】（1），
（2）324或612或648或936
【解析】
【分析】（1）根据“绽放数”的定义，即可求解；
（2）设“绽放数”M的十位数字为x，百位数字为a，则个位数字为2x，可得F（M）=5（4a+3x），再由1≤a≤9，1≤x≤4，且a，x均为正整数，又F（M）能被9整除，可得7≤4a+3x≤48，且4a+3x能被9整除，再分五种情况讨论，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：“绽放数”，去掉百位上的数字后得到24，去掉十位上的数字后得到14，去掉个位上的数字后得到12，
∴；
“绽放数”，去掉百位上的数字后得到36，去掉十位上的数字后得到36，去掉个位上的数字后得到33，
∴；
【小问2详解】
解：设“绽放数”M的十位数字为x，百位数字为a，则个位数字为2x，
∴F（M）=10a+x+10x+2x+10a+2x=20a+15x=5（4a+3x），
由题意可得：1≤a≤9，1≤x≤4，且a，x均为正整数，又F（M）能被9整除，
∴7≤4a+3x≤48，且4a+3x能被9整除，
当4a+3x=9时，方程无正整数解，故此情况不成立；
当4a+3x=18时，a=3，x=2，此时“绽放数”M为324；
当4a+3x=27时，a=6，x=1，此时“绽放数”M为612；
当4a+3x=36时，a=6，x=4，此时“绽放数”M为648；
当4a+3x=45时，a=9，x=3，此时“绽放数”M为936；
综上所述，满足条件的“绽放数”M为324或612或648或936．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，列代数式，明确题意，理解新定义是解题的关键．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26. 如图，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PBD与△BDE面积之比为1：2时，求点P的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点M，使得△AMO的周长最小？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）y=-x2+5x+6；
（2）P（，）；
（3）在直线BC上存在一点M（，），使得△AMO周长最小．
【解析】
【分析】（1）把点A（-1，0），B（6，0）代入抛物线y=ax2+bx+6中即可求解；
（2）求出直线BC的解析式为y=-x+6，设P（m，-m2+5m+6），则D（m，-m+6），由三角形面积关系得出PE：DE=3：2，得出3（-m+6）=2（-m2+5m+6），解方程求出m的值即可得出答案；
（3）作点O关于直线BC的对称点N．连接ON交BC于点G，连接AN交BC于点M，由轴对称的性质可知点M满足题意，求出N（6，6），求出直线AN的解析式，联立直线BC和直线AN的解析式，解方程组可得出答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（6，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=-x2+5x+6；
【小问2详解】
解：∵抛物线y=-x2+5x+6过点C，
∴C（0，6），
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y=-x+6，
设P（m，-m2+5m+6），则D（m，-m+6），
∴PE=-m2+5m+6，DE=-m+6，
∵△PBD与△BDE的面积之比为1：2，
∴PD：DE=1：2，
∴PE：DE=3：2，
∴3（-m+6）=2（-m2+5m+6），
解得m1=，m2=6（舍去），
∴P（，）；
【小问3详解】
解：存在．
∵A（-1，0），
∴OA=1，
∴AM+OM的值最小时，△AMO的周长最小，
作点O关于直线BC的对称点N．连接ON交BC于点G，连接AN交BC于点M，由轴对称的性质可知点M满足题意，
∵OC=OB=6，
∴∠OBC=45°，
∴△BOG为等腰直角三角形，
∴G（3，3），
∴N（6，6），
设直线AN的解析式为y=cx+d，
，
∴直线AN的解析式为y=x+，
∴，
解得，
∴M（，），
∴在直线BC上存在一点M（，），使得△AMO的周长最小．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、三角形的面积、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．