精品解析：重庆市荣昌区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

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A. ﹣2B. 0C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较法则即可得．
【详解】解：有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，负数绝对值大的反而小．
则，
即在这四个数中，最大数是6，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．
2. 下列四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称轴的定义，关键是找出对称轴即可得出答案．
【详解】解：根据对称轴定义
A、没有对称轴，所以错误
B、有一条对称轴，所以正确
C、没有对称轴，所以错误
D、没有对称轴，所以错误
故选 B
【点睛】此题主要考查了对称轴图形的判定，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形．寻找对称轴是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 5a•3a＝15aB. a6÷a2＝a3
C. ﹣2（a﹣1）＝2﹣2aD. （a3）2＝a9
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则可判断A，同底数幂的除法法则可判断B；用去括号法则可判断C，积的乘方与幂的乘方法则计算可判断D．
【详解】解：A、5a•3a＝15a2，故此选项错误；
B、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
C、﹣2（a﹣1）＝2﹣2a，正确；
D、（a3）2a9，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查单项式乘法，幂的除法，去括号法则，积的乘方与幂的乘方，掌握单项式乘法，幂的除法，去括号法则，积的乘方与幂的乘方是解题关键．
4. 估计的值应在（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】C
【解析】
【分析】计算得出，先估算的近似值，再估算的近似值．
【详解】解：原式=
∵16＜18＜25，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
5. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠AOB的度数为（ ）
A. 90°B. 100°C. 108°D. 110°
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理即可得．
【详解】解：，
由圆周角定理得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
6. 下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中实心圆点的个数为（ ）
A. 23B. 25C. 27D. 29
【答案】D
【解析】
【分析】根据前三个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】解：第①个图形中实心圆点的个数为，
第②个图形中实心圆点的个数为，
第③个图形中实心圆点的个数为，
归纳类推得：第个图形中实心圆点的个数为，其中为正整数，
则第⑨个图形中实心圆点的个数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
7. 若时，则代数式值为（ ）
A. 17B. 11C. D. 10
【答案】A
【解析】
【详解】分析：把代数式3－2x＋10y变形为3＋2(5y－x)后，再整体代入求解.
详解：因为3－2x＋10y＝3＋2(5y－x)，又5y－x＝7，
所以3－2x＋10y＝3＋2×7＝17.
故选A.
点睛：本题考查了乘法分配律的逆用和添括号法则及整体代入思想，已知一个代数式的值，求另一个代数式的值时，一般把要求值的代数式变形，再将已知的代数式的值整体代入.
8. 如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若BB'＝2OB'，则与的面积之比为（ ）
A. 1：3B. 1：4C. 1：6D. 1：9
【答案】D
【解析】
【分析】先根据可得，再根据位似图形的性质可得，，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
则与的面积之比为，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
9. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十
．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
依题意，得：．
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10. 甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间
的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A. 两人出发1小时后相遇B. 赵明阳跑步的速度为
C. 王浩月到达目的地时两人相距D. 王浩月比赵明阳提前到目的地
【答案】C
【解析】
【分析】根据图像可得两地之间的距离，再分别算出两人的行进速度，据此可得各项数据进而判断各选项.
【详解】解：由图可知：当时间为0h时，两人相距24km，
即甲乙两地相距24km，
当时间为1h时，甲乙两人之间距离为0，
即此时两人相遇，故A正确；
∵24÷1=24，可得两人的速度和为24km/h，
由于王浩月先到达目的地，故赵明阳全程用了3h，
∴赵明阳的速度为24÷3=8km/h，故B正确；
可知王浩月的速度为24-8=16km/h，
∴王浩月到达目的地时，用了24÷16=h，
此时赵明阳行进的路程为：×8=12km，
即此时两人相距12km，故C错误；
赵明阳到达目的地时，用了3h，
则3-==1.5h，
∴王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地，故D正确.
故选C.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题时要充分理解题意，读懂函数图像的意义.
11. 若关于不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A. 6B. 10C. 11D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】先分别对不等式组以及分式方程进行求解，然后分别根据题意讨论参数的范围，最终确定出参数的范围，再找出整数求和即可．
【详解】对于不等式组，解得：，
∵原不等式组无解，
∴，
∴；
对于分式方程，解得：，
∵原分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
又∵对于原分式方程，
∴，即：，
∴的范围是：且，
∴符合条件的整数有：1，2，3，5，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查含参分式方程与不等式组的综合问题，讨论参数的取值范围时要注意对于不同的式子要有意义的条件．
12. 在平面直角坐标系中，C（0，4），点A在x轴上，以AC为对角线构造平行四边形ABCD，点在第三象限，BC与x轴交于点F，延长BC至点E，使得,BC＝EC，连结对角线BD与AC交于点G，连结，交于点，若D、E在反比例函数上，S△DHG＝4，则k的值为（ ）
A. 30B. 24C. 20D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，过点作轴于点，设，根据为的中点，则,进而证明，求得的值，以及S△DHG＝4，求得平行四边形的面积，根据割补法利用建立一元一次方程求得的值，即可求得的值．
【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，过点作轴于点，
设，其中
C（0，4）,BC＝EC，
为的中点，则
，
即
解得
为平行四边形对角线的交点
是的中位线
,
平行四边形
又
四边形是平行四边形
轴
，
设
都在反比例函数上，
则
解得
故选A
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数与几何图形，平行四边形的性质，掌握以上知识，并添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题．（本大题4个小题，每小题4分，共16分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡中对应的位置上．
13. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用立方根的意义以及零指数幂法则、负整数指数幂法则分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了立方根的意义以及零指数幂法则、负整数指数幂法则，正确化简各数是解题关键．
14. 现将背面完全相同，正面分别标有数﹣1，1，2，3的四张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的三张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则P（m，n）在第四象限的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先画出树状图，从而可得的所有等可能的结果，再找出在第四象限的结果，然后利用概率公式进行计算即可得．
【详解】解：画出树状图如下：
由此可知，的所有等可能的结果共有12种，其中，在第四象限的结果有3种，
则在第四象限的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
15. 在边长为的正方形OABC中，D为边BC上一点，且，以O为圆心，OD为半径作圆，分别与、的延长线交于点、，则阴影部分的面积为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】设圆与边交于点，先利用正切三角函数可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据阴影部分的面积等于即可得出答案．
【详解】解：如图，设圆与边交于点，则，
四边形是边长为的正方形，
，
，
在中，，
，
在和中，，
，
，，
，
则阴影部分的面积为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切三角函数、正方形的性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积公式和正确找出两个全等三角形是解题关键．
16. 某奶茶店出售冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶，每种奶茶包整数杯出售，星期五时该奶茶店冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶的售价均为整数，且芒果冻的售价是其余两款奶茶售价之和的3倍，同时芒果冻的售价不小于27元且小于39元，当天三种奶茶售出数量之比为3：2：1．星期六时该奶茶店把部分奶茶涨价销售，其中冰柠檬售价不变，双皮奶售价为星期五的2倍，芒果冻售价比星期五上升了，星期六冰柠檬与芒果冻销量之比4：5，双皮奶比星期五销量减少20%，奶茶店结算发现，星期五的总销售额比星期六冰柠檬和芒果冻的销售额多517元，星期五三种奶茶的总销售量与星期六三种奶茶总销售量之差大于88杯且小于116杯，这两天芒果冻的总销售额为 _____元．
【答案】2025
【解析】
【分析】设星期五时冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶的售价分别为元，销售量分别为杯，根据题意得：?=3?+?27≤?<39?:?:?=3:2:1，星期六时冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶的售价分别为元，销售量分别为杯，根据题意得：，根据星期五的总销售额比星期六冰柠檬和芒果冻的销售额多517元，以及的范围求得以及的值，根据星期五三种奶茶的总销售量与星期六三种奶茶总销售量之差大于88杯且小于116杯，根据之间的关系求得的值，进而求得两天芒果冻的总销售额．
【详解】解：设星期五时冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶的售价分别为元，销售量分别为杯，根据题意得：
?=3?+?27≤?<39?:?:?=3:2:1
则
则
星期六时冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶售价分别为元，销售量分别为杯，根据题意得：
则
星期五的总销售额比星期六冰柠檬和芒果冻的销售额多517元，
，
即
，，
均为正整数
或
则
星期五三种奶茶的总销售量与星期六三种奶茶总销售量之差大于88杯且小于116杯，
，
即
化简得：
是整数
是5的倍数
则
又且为整数
则
两天芒果冻的总销售额为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，整除，理清题中数量关系是解题的关键．
三、解答题．（本大题9个小题，共86分，17～18题每题8分，19～25题每题10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）（a+2）2﹣（a﹣3）（a+2）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先计算完全平方公式、整式的乘法，再计算整式的加减法即可得；
（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了完全平方公式、整式的乘法、分式的除法与减法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
18. 如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．
（1）求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N．
（2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明即可得证NE＝AB．
【小问1详解】
如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N．
【小问2详解】
如图，连接．
四边形是平行四边形
，
，
则
是的垂直平分线
又
在与中，
【点睛】本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
19. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，李明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡的坡度，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.414，≈1.732，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．
【答案】（1）6米 （2）约米
【解析】
【分析】（1）过点作于点，先根据坡度的定义可得，从而可得，再根据直角三角形的性质即可得；
（2）过点作于点，作于点，先根据矩形的判定与性质可得米，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得米，从而可得的长，然后在中，解直角三角形可得的长，最后根据即可得．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
山坡的坡度，米，
，
，
米，
故点距水平地面的高度为6米．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，作于点，
则四边形是矩形，
米，
米，
米，
米，
米，
在中，，，
米，
米，
在中，，米，
，
解得（米），
（米），
答：广告牌的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
20. 毛泽东同志曾说“德志皆寄予于体，无体是无德志也”，某社区为了加强社区居民对冬奥会的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2022年北京冬奥会知识点》模拟试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
【收集数据】
甲：85，80，95，100，90，95，85，65，75，85，89，90，70，90，100，80，80，90，96，75；
乙：80，60，80，95，65，100，90，85，85，80，95，75，80.90，70，80，95，75，100，90．
【整理数据】
【分析数据】
【应用数据】
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若甲小区共有600人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数；
（3）你认为甲、乙两个小区哪一个对冬奥会知识掌握更好？请写出一条理由．
【答案】（1）8；5；90；82.5；
（2）390人； （3）甲小区，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）直接根据收集的数据以及众数、中位数的定义求解即可；
（2）用600乘以甲小区成绩大于80分的人数所占比例即可；
（3）直接比较两小区的平均数、中位数、众数即可．
【小问1详解】
由甲小区抽取的20名人员的答卷成绩可知a=8，b=5，
甲的数据：85，80，95，100，90，95，85，65，75，85，89，90，70，90，100，80，80，90，96，75；
从中可以得出数据90出现的次数最多，得出c=90，
把乙小区抽取的20名人员的答卷成绩排序为：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100，
则乙小区成绩的中位数为=82.5（分），
故答案为：8，5，90，82.5；
【小问2详解】
估计甲小区成绩大于80分的人数为600×=390（人）
【小问3详解】
甲小区对冬奥会知识掌握更好，
理由：甲小区的平均数、中位数、众数均大于乙小区的．
【点睛】本题主要考查统计图表及数据的收集宇整理知识，熟练掌握众数、平均数、中位数的定义、用样本估计总体的方法是解题的关键．
21. 如图，已知直线与双曲线相交于、两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连结并延长交双曲线于点C，连结交x轴于点D，连结，求的面积．
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】（1）将、代入反比例函数解析式中求得两点坐标，然后利用待定系数法求解函数解析式；
（2）根据反比例函数的对称性求得C点坐标，然后求出直线BC的解析式，从而得D点坐标，过点A作AM⊥x轴，交BC于点E，然后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：（1）将、代入中，可得
3m=6，3n=6，
解得：m=2，n=2
∴、
设直线的解析式为，将、代入可得
，解得
∴直线的解析式为
（2）∵连结并延长交双曲线于点C，
∴C点坐标为
设直线BC的解析式为，将、代入可得
，解得
∴直线的解析式为
当y=0时，x=1
∴D点坐标为（1，0）
过点A作AM⊥x轴，交BC于点E，则E点坐标为（2，1）
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数及几何综合，掌握反比例函数和一次函数的性质，利用属性结合思想解题是关键．
22. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20
万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【答案】（1）东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为
（2）每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设每杯售价定为a元，由题意得关于a的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【小问1详解】
解：设年平均增长率为，由题意得：
，
解得：，（舍去）．
答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为．
【小问2详解】
解∶ 设每杯售价定为元，由题意得：
，
解得：，．
为了能让顾客获得最大优惠，故取20．
答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．
23. 在学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数—“三顺数”．
定义1：对于四位自然数n，若千位数字为6，各个数位数字均不为0，能被6整除，且数n
的各个数位数字之和也恰好能被6整除，则称这个自然数n为“三顺数”．
例如：6336是“三顺数”，因为6336÷6＝1056，且（6+3+3+6）÷6＝3；6216不是“三顺数”，因为6216÷6＝1036，但6+2+1+6＝15不能被6整除．
定义2：将任意一个“三顺数”n的前两位数字与后两位数字交换，交换后得到一个新的四位数n′，规定：T（n）＝．
（1）判断6426，6726是否为“三顺数”，并说明理由；
（2）若n是一个“三顺数”，它的百位数字比十位数字的2倍小2，求T（n）的最大值．
【答案】（1）6426是“三顺数”； 6726不是“三顺数”；理由见解析
（2）40
【解析】
【分析】（1）根据“”三牛数的定义“求解．
（2）先表示n，n′和T（n），再求最值．
【小问1详解】
∵6426÷6=1071，且（6+4+2+6）÷6=3
∴6426是“三顺数”；
∵6726÷6=1121，且6+7+2+6=21不能被6整除
∴6726不是“三顺数”；
【小问2详解】
设n=，即这个四位数的百位，十位，个位数字分别为a，b，c．
∴n′=．
∴n=×100+，n′=×100+．
∴
=-．
当-最大时，T（n）最大，此时应该使b尽可能小．
①当b=1时，a=2b-2=0，不合题意；
②b=2时，a=2b-2=2，此时，．
6+2+2+c=10+c能被6整除，取c=2，n=6222．
6222÷6=1037．
∴T（n）的最大值=62-22=40．
【点睛】本题考查用新定义解题，根据新定义，表示n，n′和T（n）是求解本题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，-），B（-2，0），其中点A是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C．M为直线AB下方抛物线上一点，过点M作PC的平行线交BP于点N，求MN最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．
【答案】（1）y=x2-x-4；
（2）MN的最大值为；
（3）点Q的坐标为：（2-，1-）或（1-，-3）．
【解析】
【分析】（1）设抛物线为顶点式，用待定系数法求得函数解析式；
（2）先用两点间距离公式求得PC的长，再利用相似三角形将MN用含ME的式子表示，并把MN表示成关于M点横坐标的二次函数，从而求得MN的最大值；
（3）先设出点Q的坐标，再利用三角形全等用含点Q横坐标的式子表示E、F的坐标，最后根据点E、F在抛物线对称轴上时横坐标为1求出点Q的横坐标，进而求得点Q的坐标．
【小问1详解】
解：∵点A（1，-）是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-，
由于抛物线经过点B（-2，0），
∴a（-2-1）2-=0，
解得：a=，
∴二次函数的解析式为y=（x-1）2-=x2-x-4；
【小问2详解】
解：令x=0，则y=x2-x-4=4，
∴D点坐标为（0，-4），
设直线AD的函数解析式为y=kx-4，
把点A（1，-）代入得：-=k-4，
∴k=-，
∴直线AD的函数解析式为y=-x-4，
由于BP∥AD，故可设直线BP的函数解析式为：y=-x+b1，
又直线BP经过点B（-2，0），得：-×（-2）+ b1=0，
解得：b1=-1，
从而BP的解析式为y=-x-1，
解方程组，得：或，
∴该直线与抛物线的交点P的坐标为（3，-），
令y=0，则x2-x-4=0，
解得：．
∴点C（4，0），
∴PC=，
过点M作ME∥x轴交直线BP于点E，
设点M的坐标为（m，n），则点E的纵坐标为n，
∴点E的横坐标为-2n-2，
∴ME=-2n-2-m，
∵ME∥BC，MN∥PC，
∴∠E=∠PBC，∠MNE=∠BPC，
∴△MNE∽△CPB，
∴，
∴
，
∴当m=时，MN有最大值；
【小问3详解】
解：设点Q的坐标为（a，b），过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K，
∴△BMQ≌△QNF≌△EKB，
∴NF=KB=MQ=|a+2|，QN=EK=BM=|b|，
∴点F的坐标为（a-b，a+b+2），
点E的坐标为（-2-b，a+2），
当点F在抛物线的对称轴上时，a-b=1，
∴a-（a2-a-4）=1，
解得：a=2-（舍去正值），
得点Q的坐标为（2-，1-），
当点E在抛物线的对称轴上时，-2-b=1，
∴-2-（a2-a-4）=1，
解得：a=1-（舍去正值），
得点Q的坐标为（1-，-3）．
故点Q的坐标为：（2-，1-）或（1-，-3）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及与相似三角形、正方形的综合，其中设出抛物线上一个点的坐标，根据条件表示出其它点或线段，再利用相应的知识点解决相关问题．
25. 在△ABC与△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，且AB＝AC，．
（1）如图1，若点D与A重合，AC与EF交于P，，CE＝，求EP的长；
（2）如图2，若点D与C重合，EF与BC交于点M，且点M是线段BC的中点，连接AE，且∠CAE＝∠MCE，求证：；
（3）如图3，若点D与A重合，连接BE，且BE平分，连接BF，CE，当最小时，直接写出的值．
【答案】（1）

（2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图1，作，垂足为，，∵，，解得的值，由即可求出的值．
（2）如图2，在EC上截取，连接AN，AM，由题意知，，由可知四点共圆，有，，可知；由，知，由，可得，，然后证明，得到，从而可证明．
（3）如图3，将绕点A逆时针旋转到，由旋转可知，，，故当最小时有三点共线，即均在直线AB上，此时图形如图4，点E在∠ABC的平分线与AC的交点处，过点E作EM⊥BC，设ME的长为a，有，，，，在中，由勾股定理知，将均用含a的式子表示，然后求比值即可．
【小问1详解】
解：如图1，作，垂足为
由题意得
∴
∴
∴
∵，
∴
解得
∵
∴的长为．
【小问2详解】
解：证明：如图2，在EC上截取，连接AN，AM，
由题意知，
∵
∴四点共圆
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∴得证．
【小问3详解】
解：如图3，将绕点A逆时针旋转到
由旋转可知
∴
∵，
∴
∴
∴当最小时有三点共线，即均在直线AB上
∴此时图形如图4，点E在∠ABC的平分线与AC的交点处，过点E作EM⊥BC，设ME的长为a
由角平分线的性质和等腰直角三角形的性质得
由题意可知△CME、△BAC均为等腰直角三角形
∴，，
在中，由勾股定理知
∴
∴的值为．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，四点共圆，三角形全等，旋转，角平分线的性质，等腰三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
成绩x
60≤x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
甲小区
2
5
a
b
乙小区
3
7
5
5
统计量
平均数
中位数
众数
甲小区
85.75
87.5
c
乙小区
83.5
d
80