精品解析：重庆市巴南区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

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一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑．
1. 要使分式有意义，则m的取值应满足（ ）
A. m>0B. C. m>－3D. m≠−3
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，求出m的取值范围即可．
【详解】解：由题意得：m＋3≠0，
∴m≠−3，
∴要使分式有意义，则m的取值应满足：m≠−3，
故选D．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
2. 下列科学防控“新冠肺炎”的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可求解．
【详解】A选项不是轴对称图形，不符合题意；
B选项不是轴对称图形，不符合题意；
C选项不是轴对称图形，不符合题意；
D选项是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
3. 一边长为3，另一边长为6的等腰三角形的周长是( )
A. 12B. 15C. 12或15D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边关系可知，等腰三角形腰长只能为6，然后即可求解．
【详解】∵如果腰长为3，则3＋3＝6，不符合三角形三边关系，所以腰长只能为6．
∴其周长6＋6＋3＝15．
故选：B．
【点睛】此题主要考查三角形三边关系和等腰三角形的性质等知识点，难度不大，关键是分析如果腰长为3，则3＋3＝6，不符合三角形三边关系．
4. 木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变型，至少要再钉上n根木条，这里的n=（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，钉上木条变成三角形即可．
【详解】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
5. 下列运算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同类项的定义、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则分别计算即可判断出正确答案．
【详解】解：和不是同类项，不能合并，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确；
故答案为：D．
【点睛】本题考查同类项的定义、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则．需要牢记：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫同类项，不是同类项不能合并；同底数幂相乘时，底数不变，指数相加；计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘；计算积的乘方时，先把每一个因数乘方，再把所得的幂相乘．
6. 如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是（ ）
A. 5B. 6C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的内角求出多边形的一个外角，然后根据多边形外角和等于，计算即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是144°，
∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°，
∴这个多边形的边数360°÷36°＝10．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形外角和，熟知多边形外角和等于是解本题的关键．
7. 如图，AB＝AC，下列条件中，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A. ∠B＝∠CB. AE＝ADC. BE＝CDD. ∠AEB＝∠ADC
【答案】C
【解析】
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AE=AD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
D、如添∠AEB＝∠ADC，利用AAS即可证明△ABE≌△ACD；
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8. 下列等式中，从左边向右边看，属于因式分解的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，即可进行判断．
【详解】A． ，变形是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
B． ，右边不是几个因式乘积的形式，故B不符合题意；
C．，右边不是几个因式乘积的形式，故C不符合题意；
D．，是把一个多项式化成两个整式乘积的形式，变形是因式分解，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C. 有两个角为60°的三角形是等边三角形
D. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质解决此题．
【详解】解：A、根据一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形，得这两个直角三角形中有两个角分别相等，但无法推断一组对应边相等，那么A错误，那么A符合题意；
B、根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，那么B正确，故B不符合题意；
C、根据三角形的内角和定理，由三角形的两个内角等于60°，得这个三角形的三个内角均为60°，根据等边三角形的判定，这个三角形是等边三角形，那么C正确，故C不符合题意；
D、根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高相互重合，那么D正确，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质是解决本题的关键．
10. 在某核酸检测任务中，乙医疗队比甲医疗队每小时少检测12人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据甲队检测600人所用的时间=乙队检测500人所用的时间列出方程即可得出答案．
【详解】解：设甲队每小时检测x人，乙队每小时检测人，则根据题意得：
，
故选A．
【点睛】本题主要考查列分式方程解实际问题，找出等量关系是解本题的关键．
11. 若实数a使关于x一元一次不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的值之和为（ ）
A. -3B. 0C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式组得，根据使关于x的一元一次不等式组有解，可得．再由关于y
的分式方程的解为非负整数，且分式方程有意义，即可确定a的值，最后相加即可．
【详解】解不等式，
得：．
∵关于x的一元一次不等式组有解，
∴．
解：，
得：．
∵关于y的分式方程的解为非负整数，
∴，且为2的倍数或，
∴a的值为：-3，-1，1，3．
又∵，即，
∴
得：．
综上可知a的值为：-3，-1，1．
∴符合条件的所有整数a的值之和为：．
故选A．
【点睛】本题主要考查解分式方程及利用不等式组的解得情况求待定字母的值．熟练掌握不等式组的解法及检验分式方程的解是解此题的关键．
12. 如图，在△ABC中，，，，垂足为D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于点E、F，，垂足为G，点H在BC上，连接DG，HE．现给出下列五个结论：①，②△AEF为等边三角形，③，④AH平分EF，⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件推出，得到，证明是等腰三角形，推出②错误；由，推出③错误；利用，，证明AH平分EF，推出④正确；证明，得到，说明⑤错误；证明，得到，推出，说明①正确．
【详解】解：在△ABC中，，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形，故②错误；
由，知③错误；
，，
AH平分EF，故④正确；
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，故⑤错误；
在和中，
，
，
，
，
，故①正确；
综上，正确的结论有：①④．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质等，综合性较强，有一定难度，解决本题的关键是通过已知条件证明，．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂运算法则计算即可．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂运算，熟记运算法则是解题关键．
14. 中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米=0.000000022米，用科学记数法将0.000000022写成______．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】将0.000000022用科学记数法可表示为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15. 如图，在中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若cm，周长为12cm，则的周长为______cm．
【答案】20
【解析】
【分析】由EF是BC的垂直平分线可得BF＝CF，BC＝2CE＝8cm，又由ACF的周长为12cm，即可得AC+AB＝12cm，继而即可求得ABC的周长．
【详解】解：∵EF是BC垂直平分线，CE＝4cm，
∴BF＝CF，BC＝2CE＝8cm，
∵ACF的周长为12cm，
∴AC+AF+CF＝AC+AF+BF＝AC+AB＝12cm，
∴ABC的周长＝AC+AB+ BC＝12+8＝20cm．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键．
16. 若是完全平方式，则实数a的值是______．
【答案】-4或2
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴解得或．
故答案为：-4或2．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17. 如图，将一张三角形纸片ABC的一角(∠A)折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点的位置，且点与点C在直线AB的异侧，折痕为DE．已知，，若的一边与BC平行，且，则m=______．
【答案】45或30
【解析】
【分析】分类讨论①当时、②当时和③当时，根据平行线的性质，折叠的性质结合题意即可求解．
【详解】解：分类讨论，①如图，当时，
∵，
∴．
∴由翻折可知，
∴m=45；
②如图，当时，
∵，
∴．
∵，
∴由折叠可知，
∴，
∴，
∴，
∴m=30；
③当时，点与点C在直线AB的同侧，不符合题意．
综上可知m的值为45或30．
故答案为：45或30．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．
18. 今年1月份，某商店分两次购进了甲、乙两种新年盲盒．第一次购进甲种盲盒的数量比乙种盲盒的数量多50%，第二次购进甲种盲盒的数量比第一次购进甲种盲盒的数量少40%，结果第二次购进盲盒的总数量比第一次购进盲盒的总数量多8%，其中甲种盲盒第二次与第一次购进的单价相同，乙种盲盒第二次与第一次购进的单价也相同，若第二次购进甲、乙盲盒的总费用比第一次购买甲、乙盲盒的总费用多20%，则乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设第一次购进乙种盲盒x个，分别用含x的表达式写出第一次购买甲种盲盒和第二次购买甲、乙两种盲盒的数量；再设甲乙两种盲盒的单价分别为m元，n元，根据第一次与第二次所用费用的关系列出方程，解方程即可．
【详解】解：设第一次购进乙种盲盒x个，则第一次购进甲种盲盒个，
第二次购进甲种盲盒个，第二次购进乙种盲盒
个，
设甲种盲盒的单价为m元，乙种盲盒的单价为n元，依题意得，
，
解得，
，
即乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式和二元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用完全平方式公式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项；
（2）先将括号内部分通分，再计算分式的除法．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查整式、分式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式、分式通分和除法的运算法则是解题的基础．
20. 如图，在△ABC中，，，∠ACB的平分线交AB于点D．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线BO交CD于点O．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求∠BOD的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，再利用尺规作图即可作出；
（2）根据角平分线定义及三角形内角和定理即可求得．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
【小问2详解】
解：，，
，
平分，平分，
，，
．
【点睛】本题考查角平分线的尺规作图，三角形内角和定理，解决问题的关键是熟练掌握角平分线尺规作图．
21. 如图，，AB与DC交于点F，点E在线段BF上，且，，连接CE，DE．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）由“SAS”证明△ADE≅△EBC，进而即可求解；
（2）由全等三角形的性质可得：,，由等腰三角形的性质可得,进而即可求证结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴,
在△ADE和△BEC中，
∴△ADE≅△BEC（SAS）
∴；
【小问2详解】
证明：∵△ADE≅△BEC
∴,，
∴,
∴,
又，
∴
【点睛】本题考查全等三角形好的判定及其性质，平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，解题的关键是证明△ADE≅△EBC．
22. 如图，△ABC顶点的坐标分别为，，，已知△ABC与关于y轴对称．
（1）请在图中画出，并直接写出点，，的坐标；
（2）在x轴上找点P，使的值最小，并写出此时点P坐标和的面积．
【答案】（1）作图见解析；，，
（2），的面积为12
【解析】
【分析】（1）按要求作图，如图1，根据对称性可得对称点的坐标；
（2）如图2，作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为，此时
的值最小，连接，由题意知，，设直线的解析式为，将，点坐标代入求解得解析式，可求点坐标，勾股定理求的值，有，，根据求解面积即可．
【小问1详解】
解：如图1，
由题意知，，，．
【小问2详解】
解：如图2，作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为，此时的值最小，连接
由题意知，
设直线的解析式为
将，的点坐标代入得
解得
∴直线的解析式为
令，则，解得
∴
由勾股定理得，，，
∵
∴
∴
∴点P坐标为，的面积为12．
【点睛】本题考查了图形的对称，对称的性质，一次函数的应用，勾股定理与勾股定理的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用．
23.
被誉为“世界杂交水稻之父”，同时，也是“共和国勋章”获得者的袁隆平，他研发出的籼型杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的1.8倍．现有两块试验田，甲块试验田种植籼型杂交水稻，乙块试验田种植普通水稻，甲块试验田比乙块试验田少3亩．
（1）今年，甲块试验田收获灿型杂交水稻12960千克，乙块试验田收获普通水稻9000千克，求灿型杂交水稻和普通水稻的亩产量；
（2）为了增加这两块试验田的总产量，明年计划将种植普通水稻的乙块试验田用一部分来种植籼型杂交水稻，如果明年与今年两种水稻亩产量均保持不变，且使这两块试验田明年的总产量比今年这两块试验田的总产量至少增加1920千克，那么明年乙块试验田至少要用多少亩种植籼型杂交水稻．
【答案】（1）普通水稻的亩产量为600千克，灿型杂交水稻亩产量为1080千克
（2）4亩
【解析】
【分析】（1）设普通水稻的亩产量为x千克，则灿型杂交水稻亩产量为1.8x千克，分别写出普通水稻和灿型杂交水稻亩数的代数式，再根据两者的数量关系列出分式方程，求解即可；
（2）由（1）知每亩灿型杂交水稻比普通水稻多收千克，设乙块试验田至少要用a亩种植籼型杂交水稻，则，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设普通水稻的亩产量为x千克，则灿型杂交水稻亩产量为1.8x千克，
由题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
故普通水稻的亩产量为600千克，灿型杂交水稻亩产量为1080千克．
【小问2详解】
解：设明年乙块试验田至少要用a亩种植籼型杂交水稻，
由题意可得，，
解得，
故明年乙块试验田至少要用4亩种植籼型杂交水稻．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据已知条件找准等量关系列出分式方程和不等式是解题的关键．
24. 如图，在Rt△ABC中，，，BD是△ABC的角平分线，，垂足为E，点F在DE的延长线上，点G在线段AD上，且．
（1）若，求AC的长；
（2）证明：．
【答案】（1）AC的长为6；
（2）证明详见解析；
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的性质可得CD=DE=2，然后根据含30度角的直角三角形可得AD=BD=4，进而可解决问题；
（2）在DE上截取DH=DG，连接GH，可得△DGH是等边三角形，然后证明△BDG≌△FHG，可得BD=FH，进而可以解决问题．
【小问1详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝2，∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴BD=2CD=4，
∵DE⊥AB，∠CBD=∠ABD=30°，
∴AD＝BD＝4，
∴AC＝AD＋CD＝4＋2＝6，
∴AC的长为6；
【小问2详解】
证明：如图所示，在DE上截取DH＝DG，连接GH，
∵AD=BD，∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDE=∠ADE=60°，
∴△DGH是等边三角形，
∴∠DGH=∠DHG=60°，
∵∠BGF=60°，
∴∠1＋∠HGB=∠2＋∠HGB=60°，
∴∠1=∠2，
∵∠BDC=∠DHG=60°，
∴∠BDG=∠FHG=120°，
在△BDG和△FHG中，
，
∴△BDG≌△FHG（ASA），
∴BD=FH，
∵DF=FH+DH=BD+DG=AD+DG，
∴DF=AD+DG．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质与判定，能够熟练应用全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
25. 如果一个正整数的各位数字是左右对称的，那么称这个正整数是“对称数”，如33，787，1221，20211202都是“对称数”，最小的“对称数”是11，但没有最大的“对称数”．下面给出一个正整数的记法：若一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c、d，则可以把这个四位正整数记为，同理，若三位正整数的百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z，则可以把这个三位正整数记为．
（1）若四位正整数是“对称数”，证明式子的值能被11整除；
（2）若三位正整数是“对称数”，式子x+y+z的值是4的倍数，式子的值能被13整除，求这个三位正整数．
【答案】（1）见解析；
（2）929、161．
【解析】
【分析】（1）根据题意用字母表示出，再化简为含11因子的式子即可；
（2）根据条件求出x、y、z满足的条件，再分类讨论求出结果．
【小问1详解】
证明：依题意，a=d，b=c，
∴=（b×110+d）-d
=b×110，
∴是11的倍数，得证．
【小问2详解】
依题意，
x=z①，
x+y+z=4a②，
（100x+10y+z）+x+y+z=13b③，
其中a、b为正整数，1≤x≤9，0≤y≤9．
∴2x+y=4a④，
x+2y=13（8x+y-b）⑤，
由④可知y=0，2，4，6，8，
当y=0时，由⑤可知x=0，13，...，不合题意；
当y=2时，由⑤可知x=9，22，...，此时x=9，y=2符合题意；
当y=4时，由⑤可知x=5，18，...，此时x=5，y=4符合题意；
当y=6时，由⑤可知x=1，14，...，此时x=1，y=6符合题意；
当y=8时，由⑤可知x=10，23...，不合题意．
综上，这个三位数可以是929、545，或161．
经验证545不符合x+y+z=4a的条件．
所以这个三位正整数为929、161．
【点睛】本题考查因式分解的应用．解题的关键是根据条件列出等式，再利用自然数各个数位的取值范围，分情况逐一讨论．
四、解答题：（本大题共1个小题，共8分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26. 已知点D在△ABC外，，，射线BD与△ABC的边AC交于点H，，垂足为E，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，已知，，点F在线段BC，且，点M，N分别是射线BC、BD上的动点．在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，最小值为4
【解析】
【分析】（1）在BD上取BG=CD，连接AG，AD．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论；
（2）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案．
【小问1详解】
如图，在BD上取BG=CD，连接AG，AD．
∵在和中，，
∴，
∴．
又∵，
∴E为DG中点，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．
由作图可知，，．
∴，
∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴为边长为4的等边三角形，
∴，
∴的最小值为4．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．