河南省开封市2023-2024学年九年级上学期期中数学仿真模拟试卷北师大版
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这是一份河南省开封市2023-2024学年九年级上学期期中数学仿真模拟试卷北师大版,共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(每题3分,共30分)
1.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,则对角线BD的长是( )
A.1B.4C.2D.6
2.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=2,若要使平行四边形ABCD为矩形,则BD的长应该为( )
A.4B.3C.2D.1
3.关于x的方程(2−m)xm2−2+5x−3=0是一元二次方程,则m等于( )
A.0B.-2C.2D.±2
4.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨,预计2018年蔬菜产量达到100吨,求蔬菜产量的年平均增长率,设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为( )
A.80(1+x)2=100B.100(1−x)2=80
C.80(1+2x)=100D.80(1+x2)=100
5.一个袋子中装有12个球(袋中每个球除颜色外其余都相同).其活动小组想估计袋子中红球的个数,分10个组进行摸球试验,每一组做400次试验,汇总后,摸到红球的次数为3000次.请你估计袋中红球接近( )
A.3B.4C.6D.9
6.为了疫情防控,某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区口处的测温工作,则甲被抽中的概率是( )
A.12B.14C.34D.512
7. 已知 a2=b3=c4≠0, 则 a+bc 的值为( )
A.54B.45C.2D.12
8. 如图,在△ABC中,D是AB边上一点,过点D作DE//BC交AC于点E,若AD:DB=3:1,则S△ADE:S△ABC的值为( )
A.37B.34C.169D.916
9.如图,将矩形ABCD沿着GE,EC,GF翻折,使得点A,B,D恰好都落在点O处,且点G,O,C在同一条直线上,点E,O,F 在另一条直线上. 以下结论正确的是( )
A.△COF∽△CEGB.OC=3OF
C.AB:AD=4:3D.GE=6DF
10.将2张相同的正方形纸片和2张相同的小长方形纸片按如图所示摆放在矩形ABCD内,中间留有一个小正方形未被覆盖.经过EF的直线交AD于点M,交BC于点N,若DMDG=12,则ABBC的值为( )
A.57B.34C.23D.79
二、填空题(每空3分,共15分)
11.把方程x(x−1)=x−2化成一元二次方程的一般形是 .
12.观察表格,一元二次方程x2−x−1.1=0的一个解的取值范围是 .
13. 如图,直线AD,BC交于点O,AB//EF//CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则BEEC的值为 .
14.如图,在矩形ABCD中,AB=2.5,AD=14,点E在AD上且DE=2.点G为AE的中点,点P为BC边上的一个动点,F为EP的中点,则GF+EF的最小值为 .
15.四边形ABCD是正方形,点E是直线AD上的一点,连接CE(C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序),直线BE与直线GD交于点H,若AE=2,则点F到GH的距离为 .
三、解答题(共7题,共55分)
16. 解下列方程
(1)x2+2x-4=0
(2)x2−32x+2=0
(3)2(x-3)2=x2-9
17. 已知关于x的方程x2-6x-m2+3m+5=0.
(1)试说明此方程总有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是-1,求另一根.
18.某中学运动队有短跑、长跑、跳远、实心球四个训练小队,现将四个训练小队队员情况绘制成如下不完整的统计图:
(1)学校运动队的队员总人数为 ;
(2)补全条形统计图,并标明数据;
(3)若在长跑训练小组中随机选取2名同学进行比赛,请用列举法(画树状图或列表)求所选取的这两名同学恰好是一男一女的概率.
19.如图,△ABC中,AB=BC,过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,连接CD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)过点D作AC的平行线交直线BC于点E,连接DE,点P是线段BD上的动点,若AD=5,AC=25,请直接写出PC+PE的最小值.
20.“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中,某景点接待游客逐渐增多,6月份第一周接待游客200人,第三周接待游客288人,若该景点接待游客数量的周平均增长率相同.
(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人?
(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍,平均每位游客购买1件旅游纪念品.该景点只销售A,B两种旅游纪念品,A种纪念品每件利润5元,B种纪念品每件利润8元,且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍,设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件,获得的总利润为W元,求W与a的函数关系式,并求出获得的最大利润.
21.如图1,点E是四边形ABCD的边BC上一点,分别连接EA,ED,把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,那么我们把点E叫做四边形ABCD的边BC上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,那么我们把点E叫做四边形ABCD的边BC上的“强相似点”.
(1)任务一:如图1,∠B=∠C=∠AED=α°,试判断点E是否是四边形ABCD的边BC上的“相似点”,并说明理由;
(2)任务二:如图2,矩形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在正方形网格的格点上,试在图中画出矩形ABCD的边BC上的“强相似点”;
(3)任务三:如图3,矩形ABCD中,AB=6,将矩形ABCD沿CE折叠,点D落在AB边上的点F处,若点F是四边形ABCE的边AB上“强相似点”,求BC.
22.综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一:对折正方形纸片,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;
操作二:在BE上选一点H,沿CH折叠,使点B落在EF上的点G处,得到折痕CH,把纸片展平;根据以上操作,直接写出图1中∠CHB的度数: .
(2)拓展应用
小华在以上操作的基础上,继续探究,延长HG交AD于点M,连接CM交EF于点N(如图2).判断△MGN的形状,并说明理由.
(3)迁移探究
如图3,已知正方形ABCD的边长为6cm,当点H是边AB的三等分点时,把△BCH沿CH翻折得△GCH,延长HG交AD于点M,请直接写出AM的长.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质;菱形的性质
【解析】【解答】根据题意,ABCD是菱形
∴AD=AB=2
即△ABD是等腰三角形
∵∠DAB=60°
∴△ABD是等边三角形
∴BD=AD=AB=2
故选:C.
【分析】根据菱形的性质可找到等腰三角形,根据内角是60°的等腰三角形是等边三角形这一定理得到BD长。
2.【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】ABCD为平行四边形
∴OA=OC=2(平行四边形的对角线互相平分)
∴AC=OA+OC=4
∴BD=AC=4(对角线相等的平行四边形是矩形)
故选:A.
【分析】根据已知条件,在平行四边形的基础上证明矩形,只需要对角线相等即可,故BD长应等于AC长.
3.【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解:由题意可得:
2−m≠0m2−2=2,解得:m≠2m=±2
故m的值为-2
故答案为:B
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案.
4.【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解:由题意可得:
2017年的蔬菜产量为:80(1+x),2018年的蔬菜产量为:80(1+x)(1+x)
预计2018年蔬菜产量达到100吨
则80(1+x)(1+x)=100,即80(1+x)2=100
故答案为:A.
【分析】根据增长后的量=增长前的量×(1+x),即可求出答案.
5.【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解:由题意得
1210×400×3000=9.
故答案为:D
【分析】利用已知分10个组进行摸球试验,每一组做400次试验,可知一共做了4000次试验,再根据一个袋子中装有12个球,可求出摸出红球的概率,再利用摸出红球的概率乘以摸到红球的次数,列式计算可求解.
6.【答案】A
【知识点】列表法与树状图法;概率公式
【解析】【解答】解: 画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中甲被抽中的结果有6种,
∴甲被抽中的概率为612=12,
故答案为:12.
【分析】此题是抽取不放回类型的,根据题意画出树状图,由图可知:共有12种等可能的结果,其中甲被抽中的结果有6种,再利用概率公式求解.
7.【答案】A
【知识点】分式的化简求值;比例的性质
【解析】【解答】解:∵a2=b3=c4≠0 ,
∴a=23b,c=43b,
∴a+bc=23b+b43b=5343=53×34=54,
故答案为:A.
【分析】由已知条件得:a=23b,c=43b,然后将其代入计算即可.
8.【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴S△ADES△ABC=ADAB2,
∵AD:DB=3:1,
∴AD:AB=3:4,
∴S△ADES△ABC=ADAB2=342=916.
故答案为:D.
【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ABC,结合AD:DB=3:1根据相似三角形的性质即可求解.
9.【答案】D
【知识点】勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定
【解析】【解答】解:由折叠性质得:∠DGF=∠FGO,∠AGE=∠OGE,∠AEG=∠OEG,∠OEC=∠BEC,
∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°,∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°,
由矩形的性质,设AD=BC=2a,AB=DC=2b,
由折叠得DG=OG=a,AE=OE=BE=b,
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a,
在Rt△CEG中,CG2=GE2+CE2,
∴(3a)2=a2+b2+b2+(2a)2,
解得b=2a,
∴AB=2b=22a;
∴ABAD=21,故C选项不符合题意;
在Rt△COF中,设OF=DF=x,则CF=2b-x=22a-x,
∵∠D=∠GOF=90°,
∴x2+(2a)2=22a−x2,
解得x=22a,
∴6DF=6x=6×22a=3a,
在Rt△AGE中,GE=a2+b2=3a,
∴GE=6DF,故D选项符合题意;
∴OC=BC=2a=22OF,故B选项不符合题意;
在Rt△CEB中,CE=BE2+BC2=b2+2a2=6a,
∵∠GEC=∠FOC=90°,而FOOC=22a2a=24≠GECE=3a6a=22,
∴△COF不相似于△CEG,故A选项错误,不符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°,根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点,点E为AB中点,设AD=2a,AB=2b,利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB,进而即可判断B、C、D,进而根据∠GEC=∠FOC=90°,而FOOC=22a2a=24≠GECE=3a6a=22判断A选项.
10.【答案】A
【知识点】矩形的性质;正方形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:设MD=x,AI=y,则OG=MD=x,过M作BC的垂线,分别交FG、BC于O、P,
∴四边形MOGD是矩形,四边形OGCP是矩形,
∵DMDG=12,∴DG=2x,∴MO=DG=2x,
∵四边形HLGD与四边形JKJB是相同的长方形,
∴HL=DG=IB=KJ=2x.
∵四边形AHEI与四边形FGCJ是相同的正方形,
∴HE=FJ=IE=AI=y.
∵四边形LFKE是正方形,
∴EK=FK,∠EFK=45°,
∵∠GFK=90°,∠EFK+∠GFK+∠MFG=180°,
∴45°+90°+∠MFG=180°,解得∠MFG=45°.
∴FO=MO=2x.
∴FG=FO+OG=2x+x=3x.
∴LF=EK=FK=LE=HE-HL=y-2x.
∴BJ=IK=IE+EK=y+y-2x=2y-2x.
LG=FL+FG=y-2x+3x.
∵BJ=LG,
∴2y-2x=y-2x+3x,即y=3x.
∴ABBC=AI+BIBJ+JC=y+2x3y−2x=3x+2x9x−2x=57.
故答案为:A.
【分析】设MD=x,正方形的边长为y,结合图形推导出x与y的关系式,用含有x、y的代数式分别表示出AB、BC,再求出比值.
11.【答案】x2−2x+2=0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】 方程x(x−1)=x−2
去括号x2−x=x−2
移项x2−x−x+2=0
合并同类项 x2−2x+2=0
故填: x2−2x+2=0
【分析】一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0(a≠0),根据等式的性质进行恒等变形。
12.【答案】1.6<x<1.7
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解∶根据题意得∶当x=1.6时, x2−x−1.1=−0.140,
∴一元二次方程x2−x−1.1=0的解介于1.6与1.7之间,
即1.6<x<1.7.
故答案为:1.6<x<1.7
【分析】利用估算一元二次方程的解的方法求解即可。
13.【答案】32
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:∵AB∥EF∥CD,
∴BEEC=AFFD,
∵AF=AO+OF=3,FD=2,
∴BEEC=AFFD=32.
故答案为:32.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得BEEC=AFFD,代入数据即可求解.
14.【答案】132
【知识点】勾股定理;矩形的判定;轴对称的应用-最短距离问题;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:作点A关于DC的对称点A′,连接A′E交DC于点P,连接AP,
∴AP=A′P,AA′=2AB=5,
∵点G是AE中点,点F是PE的中点,
∴GF是△APE的中位线,EF=12PE,
∴GF=12AP=12A′P,
∴GF+EF=12A′P+12PE=12(A′P+PE)=12A′E,
∵两点之间线段最短,
∴此时GF+EF的值最小,
∵AE=AD-DE,
∴AE=14-2=12,
在Rt△AA′E中,
A′E=AA′2+AE2=122+52=13,
∴GF+EF=132.
故答案为:132.
【分析】作点A关于DC的对称点A′,连接A′E交DC于点P,连接AP,可得到AP=A′P,AA′=2AB=5,利用已知可证得GF是△APE的中位线,利用三角形的中位线定理可证得GF=12A′P,EF=12PE,由此可推出GF+EF=12A′E,利用两点之间线段最短,可知GF+EF的值最小,可求出AE的长,利用勾股定理求出A′E的长,即可求出GF+EF的最小值.
15.【答案】655
【知识点】三角形全等的判定;勾股定理;正方形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,四边形FGCE是正方形,
∴CD=CB,CG=CE,∠GCE=∠DCB=90°,
∴∠GCD=∠ECB,且CD=CB,CG=CE,
∴△GCD≌△ECB(SAS),
∴CG=CE,BE=GD,
如图,过点F作FN⊥GH于点N,过点C作CM⊥GH于点M,
∵AE=2,AB=4
∴AD=CD=AB=4,DE=AD-AE=3,BE=AE2+AB2=25,
∴CE=CD2+DE2=25,
∴CG=CE=25,
∴BE=DG=25,
∵∠FGC=90°,
∴∠FGD+∠DGC=90°,∠FGD+∠GFD=90°,
∴∠GFN=∠DGC,且FG=GC,∠FNG=∠CMG=90°,
∴△FGN≌△GCM(AAS),
∴FN=GM,
∵CM2=CG2-GM2,CM2=CD2-MD2,
∴20−GM2=16−25−GM2,
∴GM=655,
∴点F到GH的距离FE=655,
故答案为:655.
【分析】根据正方形的四条边相等,四个角是直角可得CD=CB,CG=CE,∠GCE=∠DCB=90°,根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等可得CG=CE,BE=GD,结合题意和勾股定理:直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得BE,CE,CG,BE的值,根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等,全等三角形的对应边相等可得FN=GM,根据勾股定理列出方程,可求GM的长,即可得点F到GH的距离.
16.【答案】(1)解:x2+2x=4
x2+2x+1=4+1
(x+1)2=5
x+1=±5
x1=−1−5,x2=−1+5
(2)解: a=1,b=−32,c=2
b2-4ac=18-4×2=10>0
x=32±102
x1=32+102,x2=32−102
(3)解:2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0
(x-3)(x-9)=0
x1=3,x2=9.
【知识点】配方法解一元二次方程;公式法解一元二次方程;因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)根据配方法得(x+1)2=5,再直接开方即可求出答案.
(2)先根据判别式可得方程有实数根,再根据求根公式即可求出答案.
(3)移项,再提公因式进行因式分解即可求出答案.
17.【答案】(1)解:Δ=(−6)2⋅4(−m2+3m+5)=4m2−12m+16=4(m−32)2+7,
∵(m−32)2≥0
∴4(m−32)2+7>0
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)解:设方程的另一根为x,
则x+(-1)=6
解得x=7,
∴方程的另一个根为7.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)根据判别式Δ=4(m−32)2+7>0,即可求出答案.
(2)根据方程的根与系数之间的关系即可求出答案.
18.【答案】(1)25人
(2)解:长跑中男生人数为25×12%−2=1(人),
跳远中女生人数为25−(3+2+1+2+5+4+5)=3(人), 补全条形图如下:
(3)解:画出树形图为:
共有6种等可能的结果数,其中恰好为一男一女的结果数为4,
∴所选取的这两名同学恰好是一男一女的概率为46=23.
【知识点】扇形统计图;条形统计图;列表法与树状图法
【解析】【解答】解:(1)学校运动队的队员总人数为(4+5)÷36%=25(人).
【分析】(1)利用实心球的人数除以所占的比例可得总人数;
(2)利用总人数乘以长跑的人数所占的比例求出长跑的人数,然后减去长跑女生的人数求出男生的人数,结合总人数求出跳远中女生的人数,据此可补全条形统计图;
(3)画出树状图,找出总情况数以及恰好为一男一女的情况数,然后根据概率公式进行计算.
19.【答案】(1)证明:∵BA=BC,BO平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AD∥CB,
∴∠CBD=∠ADB,
∴∠ABD=∠ADB
∴AD=AB=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)解:PC+PE的最小值为65
【知识点】菱形的判定;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】(2)过A作AF⊥BE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC=5,
∴OD=OB=AD2−AO2=52−(5)2=25,
∵S菱形=12AC×BD=BC×AF,
∴AF=12×AC×BDBC=12×25×455=4,
∴CF=AC2−AF2=20−16=2,
∵AD∥BC,AC∥DE
∴四边形ACED为平行四边形,
∴CE=AD=5,
∴EF=CF+CE=5+2=7,
∵点C关于BD的对称点为点A,连接AE,
则PC+PE的最小值=AE,
AE=EF2+AF2=72+42=65,
∴PC+PE的最小值为65.
【分析】(1)先证明四边形ABCD是平行四边形,再结合AB=BC,可得四边形ABCD是菱形;
(2)过A作AF⊥BE,先求出点C关于BD的对称点为点A,连接AE,则PC+PE的最小值=AE,再求出AE的长即可。
20.【答案】(1)解:设该景点接待游客数量的周平均增长率为x,根据题意,
得200(1+x)2=288,
解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),
∴该景点接待游客数量的周平均增长率为20%,
∴200(1+20%)=240(人),
∴该景点在6月份的第二周接待游客为240人;
(2)解:∵该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的1.8倍,
∴该景点第四周接待游客为240×1.8=432(人),
设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件,则该景点售出B种旅游纪念品(432-a)件,
根据题意得:W=5a+8(432-a)=-3a+3456,
∵售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍,
∴432-a≤3a,
解得:a≥108,
∵-3<0,
∴W随a的增大而减小,
∴当a=108时,W最大,最大值为3132,
∴W与a的函数关系式为W=-3a+3456,最大利润为3132元.
【知识点】一次函数的实际应用;一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】(1)此题是一道平均增长率的问题, 根据公式a(1+x)n=p,其中a是平均增长开始的量,x是增长率,n是增长次数,P是增长结束达到的量,根据公式列出方程,并用直接开平方法求解并检验即可求出增产率,进而即可算出第二周接待的游客人数;
(2)首先算出第四周接待的游客人数, 设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件,则该景点售出B种旅游纪念品(432-a)件, 根据单件的利润乘销售数量=总利润及a件A种旅游纪念品的利润+(432-a)件B种纪念品的利润=W,建立出函数关系式,再根据售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍求出a的取值范围,进而结合一次函数的性质即可解决问题.
21.【答案】(1)解:点E是四边形ABCD的边BC上的“相似点”,
理由:∵∠B=∠C=∠AED=α°,
∴∠B+∠BAE=∠AEC=∠AED+∠DEC,
即:α°+∠BAE=α°+∠DEC,
∴∠BAE=∠DEC,
∴△ABE∽△ECD.
∴点E是四边形ABCD的边BC上的“相似点”
(2)解:如图:取BE=2,连接AE,DE,
∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=DC=4,AD=BC=10,∠ABE=∠ECD=90°,
∴EC=10−2=8,
∴AE=AB2+BE2=42+22=25,DE=EC2+DC2=82+42=45,
∵AE2+DE2=(25)2+(45)2=100=102=AD2,
∴△AED是直角三角形且∠AED=90°,
∴∠ABE=∠DEA=∠ECD=90°,
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AEB=∠DAE,∠ADE=∠DEC,
∴△AEB∽△DAE,△ADE∽△DEC,
即△AEB∽△DAE∽△EDC,
∴点E是矩形ABCD的边BC上的“强相似点”.
∴点E即为所求.
(3)解:∵矩形ABCD中,AB=6,将矩形ABCD沿CE折叠,点D落在AB边上的点F处,
∴△EFC≌△EDC,
AB=CD=6,∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°,
∵点F是四边形ABCE的边AB上的“强相似点”,
∴△AEF∽△BFC∽△FEC,
∵△EFC≌△EDC,
∴∠DCE=∠FCE=∠FCB=13∠BCD=30°,
∴BF=12CF=12CD=12×6=3,
∴BC=CF2−BF2=62−32=33.
∴BC的长为33.
【知识点】勾股定理;勾股定理的逆定理;矩形的性质;轴对称的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据三角形外角性质及角的和差,结合∠B=∠AED可得∠BAE=∠DEC,从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△ECD,进而根据“相似点”即可得出结论;
(2)取BE=2,连AE、DE,由矩形性质得AB=DC=4,AD=BC=10,∠ABE=∠ECD=90°,AD∥BC,进而根据勾股定理算出AE、DE,利用勾股定理的逆定理判断出△AED是直角三角形,且∠AED=90°,根据平行线的性质得∠AEB=∠DAE,∠ADE=∠DEC,从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△DEA,△ADE∽△DEC,进而根据“强相似点”即可得出结论;
(3)由折叠得△EFC≌△EDC,AB=CD=6,∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°,由“强相似点”定义可得△AEF∽△BFC∽△FEC,进而求出∠BCF=30°,根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可算出BC的长.
22.【答案】(1)75°
(2)解:△MGN为等边三角形.理由如下:
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=90°,BC=CD.
根据折叠的性质可得,DF=CF,∠CFG=∠DFE=90°,BC=CG,∠B=∠CGH=90°,
∴EF//BC//AD,∠MGC=90°,CG=CD.
∵NF//DM,F为CD中点.
∴NF为△CDM的中位线.
∴CN=NM,
在Rt△MGC中,MN=GN.
∴∠NMG=∠MGN,
在Rt△CGM和Rt△CDM中.
CG=CDCM=CM.
∴Rt△CGM≅Rt△CDM(HL),
∴∠CMG=∠CMD,即∠NMG=∠NMD,
∵EF//AD,
∴∠NMD=∠GNM.
∴∠NMG=∠MGN=∠GNM=180°3=60°,
∴△MGN为等边三角形;
(3)AM=3cm或AM=4.8cm.
【知识点】直角三角形全等的判定(HL);等边三角形的判定;勾股定理;正方形的性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠B=∠BCF=90°,
由折叠得DF=CF=12CD,∠CFG=∠DFE=90°,BC=CG,∠B=∠CGH=90°,∠HCG=∠HCB=12∠GCB,
∴CF=12CG,EF∥BC,
∴∠FGC=∠GCB=30°,
∴∠HCB=15°,
∠CHB=90°-∠HCB=75°;
故答案为:75°;
(3)∵点H是边AB的三等分点,∴BH=2cm或AH=2cm,
①当BH=2cm时,如图,连接CM,
则AH=AB-BH=4cm,
∵四边形ABCD是边长为6cm的正方形,
∴BC=CD=6cm,∠B=90°,
由折叠得BC=CG=6cm,BH=GH=2cm,∠B=∠HGC=90°,
∴CG=CD=6cm,
在Rt△CGM与Rt△CDM中,
∵CG=CD,CM=CM,
∴Rt△CGM≌Rt△CDM(HL),
∴GM=DM,
设GM=DM=xcm,则AM=(6-x)cm,HM=GH+GM=(2+x)cm,
在Rt△AHM中,AM2+AH2=HM2,
∴(6-x)2+42=(2+x)2,
解得x=3,
∴AM=6-x=3cm;
②当AH=2cm时,如图,连接CM,
则BH=AB-AH=4cm,
∵四边形ABCD是边长为6cm的正方形,
∴BC=CD=6cm,∠B=90°,
由折叠得BC=CG=6cm,BH=GH=4cm,∠B=∠HGC=90°,
∴CG=CD=6cm
,在Rt△CGM与Rt△CDM中,
∵CG=CD,CM=CM,
∴Rt△CGM≌Rt△CDM(HL),
∴GM=DM,
设GM=DM=acm,则AM=(6-a)cm,HM=GH+GM=(4+a)cm,
在Rt△AHM中,AM2+AH2=HM2,
∴(6-a)2+22=(4+a)2,
解得a=1.2,
∴AM=6-a=4.8cm,
综上AM的长为3cm或4.8cm.
【分析】(1)根据正方形性质的四条边相等,四个角都是直角可得BC=CD,∠B=∠BCF=90°,根据折叠性质可得DF=CF=12CD,∠CFG=∠DFE=90°,BC=CG,∠B=∠CGH=90°,∠HCG=∠HCB=12∠GCB,进而根据平行线的判定方法可得EF∥BC,再根据含30°角直角三角形的性质得∠FGC=∠GCB=30°,则可得∠HCB=15°,最后根据直角三角形两锐角互余可得∠CHB的度数;
(2)△MGN是等边三角形,理由如下:正方形性质的四条边相等,四个角都是直角可得BC=CD,∠B=90°,由折叠得DF=CF=12CD,∠CFG=∠DFE=90°,BC=CG,∠B=∠CGH=90°,易证NF是△CDM中位线,得CN=MN,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得MN=GN,用HL证Rt△CGM≌Rt△CDM,得∠CMG=∠CMD,由平行线性质得∠NMD=∠GNM,从而可推出∠NMG=∠MGN=∠GNM=60°,进而根据三个角相等的三角形是等边三角形可得结论;
(3)分情况讨论:①当BH=2cm时,如图,连接CM,则AH=AB-BH=4cm,由正方形性质得BC=CD=6cm,∠B=90°,由折叠性质得BC=CG=6cm,BH=GH=2cm,∠B=∠HGC=90°,用HL判断出Rt△CGM≌Rt△CDM,得GM=DM,设GM=DM=xcm,则AM=(6-x)cm,HM=GH+GM=(2+x)cm,在Rt△AHM中,利用勾股定理建立方程求出x的值,从而可算出AM的长;
②当AH=2cm时,如图,连接CM,则BH=AB-AH=4cm,由正方形的性质可得BC=CD=6cm,∠B=90°,由折叠的性质可得BC=CG=6cm,BH=GH=4cm,∠B=∠HGC=90°,用HL判断出Rt△CGM≌Rt△CDM,得GM=DM,设GM=DM=acm,则AM=(6-a)cm,HM=GH+GM=(4+a)cm,在Rt△AHM中,利用勾股定理建立方程求出a的值,从而可算出AM的长,综上即可得出答案.x
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2−x−1.1
00.71
-0.54
-0.35
-0.14
0.09
0.34
0.61