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新高考物理一轮复习讲义第1章 运动的描述 专题强化一 运动图像 追及相遇问题 (含解析)
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这是一份新高考物理一轮复习讲义第1章 运动的描述 专题强化一 运动图像 追及相遇问题 (含解析)，文件包含人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联原卷版doc、人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
考点一 x－t图像和v－t图像的理解与应用
1.x－t图像与v－t图像的比较
2.三点说明
(1)x－t图像与v－t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。
(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
角度 x－t图像
例1 甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移—时间图像如图1所示，则在0～t1时间内( )
图1
A.甲的速度总比乙大
B.甲、乙位移相同
C.甲经过路程比乙小
D.甲、乙均做加速运动
答案 B
解析 位移—时间图像中，图线斜率大小等于物体速度大小。由题图可知，甲做匀速直线运动，乙做变速直线运动，D错误；靠近t1时刻时乙的斜率大于甲的斜率，即乙的速度大于甲的速度，故A错误；在0～t1时间段内，甲、乙物体的初位置和末位置相同，故位移相同，B正确；甲、乙物体做的是单向直线运动，两者的位移大小相等，路程也相同，故C错误。
跟踪训练
1.(多选)a、b两质点在同一直线上运动，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图2所示，其中a质点的x－t图像为抛物线的一部分，第7 s末图像处于最高点，b质点的图像为直线。下列说法正确的是( )
图2
A.a质点的初速度大小为7 m/s
B.a质点的加速度大小为2 m/s2
C.a质点减速过程通过的位移大小为50 m
D.两质点相遇时，b质点的速度小于a质点的速度
答案 BD
解析 a质点的x－t图像为抛物线的一部分，说明a质点做匀减速直线运动，7 s末速度为零，则有v0＋at7＝0，0～10 s内，a质点的位移为x＝40 m，则有x＝v0t10＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,10)，联立解得v0＝14 m/s，a＝－2 m/s2，所以a质点的初速度大小为
14 m/s，加速度大小为2 m/s2，故A错误，B正确；a质点在0～7 s内做匀减速运动，通过的位移为x＝v0t7＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,7)＝49 m，故C错误；根据x－t图像的斜率表示速度，知10 s末两质点相遇时，a质点的速度较大，故D正确。
角度 v－t图像
例2 (多选)甲、乙两个物体从同一地点、沿同一直线同时做直线运动，其v－t图像如图3所示，则( )
图3
A.2 s时甲和乙相遇
B.2 s时甲的速度方向开始反向
C.2～6 s内甲相对乙做匀速直线运动
D.乙在2～4 s内的加速度和它在4～6 s内的加速度大小相等，方向相反
答案 AC
解析 由题图可知，0～2 s内，甲、乙两图线与坐标轴围成的面积相等，即两者通过的位移相等，甲、乙两个物体又是从同一地点沿同一方向开始运动的，所以2 s时甲、乙相遇，故A正确；甲物体的速度一直沿正方向，速度方向没有改变，故B错误；2～6 s内，甲与乙速度之差是定值，说明甲相对乙做匀速直线运动，故C正确；根据斜率表示加速度可知，2～6 s内，乙的加速度一定，在4 s时加速度方向没有反向，改变的是速度方向，故D错误。
跟踪训练
2.(2022·河北卷，1) 科学训练可以提升运动成绩，某短跑运动员科学训练前后百米全程测试中，速度v与时间t的关系图像如图4所示。由图像可知( )
图4
A.0～t1时间内，训练后运动员的平均加速度大
B.0～t2时间内，训练前、后运动员跑过的距离相等
C.t2～t3时间内，训练后运动员的平均速度小
D.t3时刻后，运动员训练前做减速运动，训练后做加速运动
答案 D
解析 根据v－t图像的斜率表示加速度，由题图可知0～t1时间内，训练后运动员的平均加速度比训练前的小，故A错误；根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移，由题图可知0～t2时间内，训练前运动员跑过的距离比训练后的大，故B错误；根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移，由题图可知t2～t3时间内，训练后运动员的位移比训练前的位移大，根据平均速度等于位移与时间的比值，可知训练后运动员的平均速度大，故C错误；由v－t图像可直接看出，t3时刻后，运动员训练前速度减小，做减速运动，运动员训练后速度增加，做加速运动，故D正确。
考点二 “数学思维”分析非常规图像问题
1.三类图像
(1)a－t图像
由v＝v0＋at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图5甲所示。
(2)eq \f(x,t)－t图像
由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，图像的斜率为eq \f(1,2)a，如图乙所示。
(3)v2－x图像
由v2－veq \\al(2,0)＝2ax可知v2＝veq \\al(2,0)＋2ax，图像斜率为2a，如图丙所示。
图5
2.解题技巧
(1)用函数思想分析图像
对于非常规运动图像，可由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的斜率、截距、面积的含义。
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图像类题型的解题准确率和速度。
例3 一质点沿直线运动，如图6所示是从t＝0时刻开始的质点的eq \f(x,t)－t图像(x为位移)，可以推知( )
图6
A.质点做匀减速运动
B.加速度的大小是1 m/s2
C.t＝2 s时的速度是1 m/s
D.t＝2 s时位移是3 m
答案 B
解析 由题意可得图线的函数表达式为eq \f(x,t)＝1＋eq \f(1,2)t，即x＝t＋eq \f(1,2)t2，又因为匀变速直线运动中位移公式为x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2＞0，因此质点做匀加速运动，故A项错误，B项正确；当t＝2 s时，根据公式v＝
v0＋at，代入数据得v2＝3 m/s，故C项错误；当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋eq \f(1,2)t2，可得位移x2＝4 m，故D项错误。
跟踪训练
3.一物体由静止开始，在粗糙的水平面内沿直线运动，其加速度a随时间t变化的a－t图像如图7所示。若选物体开始运动的方向为正方向，那么，下列说法中正确的是( )
图7
A.在0～2 s的时间内，物体先做匀速直线运动后做匀减速运动
B.在2 s时物体的位移最大
C.在2～3 s的时间内，物体速度的变化量为－1 m/s
D.在0～4 s的时间内，物体的位移为零
答案 C
解析 0～1 s内，加速度不变，物体做匀加速运动，1～2 s内，加速度数值减小，物体做加速度减小的变加速运动，A错误；2 s时，加速度为0，速度最大，B错误；a－t图像中图线与横轴所围的面积表示速度的变化量，2～3 s的时间内，速度变化量为Δv＝eq \f(1,2)×1×(－2)m/s＝－1 m/s，C正确；0～4 s内，物体的速度变化量为0，即物体在4 s时停止运动，位移不为0，D错误。
4.(多选)为检测某新能源动力车的刹车性能，一次在平直公路上实验时，动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图像如图8所示，下列说法正确的是( )
图8
A.动力车的初速度为20 m/s
B.刹车过程动力车的加速度大小为5 m/s2
C.刹车过程持续的时间为10 s
D.刹车过程经过6 s时动力车的位移为30 m
答案 AB
解析 根据0－v2＝－2ax得，eq \f(x,v2)＝eq \f(1,2a)，可知eq \f(1,2a)＝eq \f(40,400)，解得刹车过程中加速度大小a＝5 m/s2，由图线可知veq \\al(2,0)＝400(m/s)2，则动力车的初速度v0＝20 m/s，选项A、B正确；刹车过程持续的时间t＝eq \f(v0,a)＝eq \f(20,5) s＝4 s，选项C错误；刹车过程中6 s内的位移等于4 s内的位移，则x＝eq \f(veq \\al(2,0),2a)＝eq \f(400,10) m＝40 m，选项D错误。
考点三 追及相遇问题
1.解答追及和相遇问题的三种方法
2.情境分析法的基本思路
3.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
角度 图像法在追及相遇中的应用
例4 甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶，它们的v－t图像如图9所示，t＝1 s时，甲、乙第一次并排行驶，则( )
图9
A.t＝0时，甲在乙的前面4.5 m处
B.t＝2 s时，甲在乙的前面6 m处
C.两次并排行驶的时间间隔为2.5 s
D.两次并排行驶的位置间距为8 m
答案 D
解析 根据两汽车的v－t图像可得瞬时速度的表达式分别为v甲＝(8－2t) m/s，
v乙＝(2＋t) m/s，t＝1 s时，甲、乙第一次并排行驶，即两车此时相遇，在第1 s内甲和乙的位移之差为Δx＝(eq \f(8＋6,2)×1－eq \f(2＋3,2)×1) m＝4.5 m，因甲比乙的速度大，则属于甲追乙，则t＝0时，甲在乙的后面4.5 m处，故A错误；在t＝2 s时，两车的距离为Δx2＝(eq \f(6＋4,2)×1－eq \f(3＋4,2)×1) m＝1.5 m，甲在乙的前面1.5 m处，故B错误；t＝2 s时两者的速度相等，根据图像的对称性可知t＝1 s和t＝3 s两车两次相遇，故两次并排行驶的时间间隔为2 s，故C错误；t＝1～3 s两车的位移相同，大小为x＝eq \f(6＋2,2)×2 m＝8 m，故D正确。
角度 追及和相遇问题
例5 (2023·广东汕头质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)求赛车追上安全车所需的时间及追上之前与安全车的最远距离；
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
答案 (1)6 m/s (2)20 s 225 m (3)20 s
解析 (1)赛车3 s末的速度
v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2＋200 m＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,2)
解得t2＝20 s
此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间
t3＝eq \f(v0,a1)＝eq \f(10,2) s＝5 s
两车最远相距Δs＝v0t3＋200 m－eq \f(1,2)a1teq \\al(2,3)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10×5＋200－\f(1,2)×2×52))m＝225 m。
(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
由位移关系得vt4－eq \f(1,2)a2teq \\al(2,4)＝v0t4
解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝eq \f(v,a2)＝eq \f(40,4) s＝10 s
所以t4＝15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足eq \f(v2,2a2)＝v0t5
解得t5＝20 s。
跟踪训练
5.(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是( )
A.eq \f(v0Δt,2) B.v0Δt
C.eq \f(veq \\al(2,0),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)＋\f(1,a2))) D.eq \f(veq \\al(2,0),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)－\f(1,a2)))
答案 AD
解析 前车减速到零所需时间为t1＝eq \f(v0,a1)，减速通过的位移为x1＝eq \f(veq \\al(2,0),2a1)，后车在Δt时间内通过的位移为x′＝v0Δt，后车减速到零经历的时间为t2＝eq \f(v0,a2)，减速通过的位移为x2＝eq \f(veq \\al(2,0),2a2)，由于两车同时停下且没有发生碰撞，故t1－Δt＝t2，x′＋x2＝x1＋s0，联立解得，在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是s0＝eq \f(v0Δt,2)或eq \f(veq \\al(2,0),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)－\f(1,a2)))，故A、D正确，B、C错误。
6.(多选)(2023·湖北九校联考)假设高速公路上甲、乙两车在同一平直车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度大小均为v0＝30 m/s，两车间距离为s0＝100 m。t＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图10(a)、(b)所示。取原运动方向为正方向。下列说法正确的是( )
图10
A.t＝3 s时两车相距最近
B.t＝6 s时两车间距离最近，为10 m
C.0～9 s内两车位移大小之差为45 m
D.两车在0～9 s内不会相撞
答案 BCD
解析 由加速度—时间图像可画出两车的速度—时间图像，如图所示。
由图像可知，t＝6 s时两车共速，此时两车间的距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移大小之差，即Δx′＝eq \f(1,2)×30×3 m＋eq \f(1,2)×30×(6－3)m＝90 m＜100 m，则t＝6 s时两车相距最近为Δs＝s0－Δx′＝10 m，所以两车不会相撞，选项B、D正确，A错误；0～9 s内两车位移大小之差为Δx″＝eq \f(1,2)×30×3 m＝45 m，选项C正确。
A级 基础对点练
对点练1 x－t图像和v－t图像的理解与应用
1.A、B两物体沿同一直线运动，运动过程中的x－t图像如图1所示，下列说法正确的是( )
图1
A.4 s时A物体运动方向发生改变
B.0～6 s内B物体的速度逐渐减小
C.0～5 s内两物体的平均速度相等
D.0～6 s内某时刻两物体的速度大小相等
答案 D
解析 x－t图像的斜率表示速度，斜率的正负表示速度方向，所以A物体运动方向不变，故A错误；x－t图像的斜率表示速度，由题图可知，0～6 s内B物体的速度逐渐增大，故B错误；由题图可知，0～5 s内A物体的位移大于B物体的位移，由公式eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)可知，A物体的平均速度大于B物体的平均速度，故C错误；0～6 s内存在某时刻两图像斜率的绝对值相等，即存在某时刻两物体的速度大小相等，故D正确。
2.ETC自动道路缴费系统推行后，有效地缓解了高速公路收费站的拥堵现象。若某汽车在高速上正常行驶速度为30 m/s，沿该平直公路通过收费站ETC通道时，其速度随时间变化的关系如图2所示，则ETC通道对该车行驶产生的时间延误为( )
图2
A.8 s B.20 s C.26 s D.40 s
答案 B
解析 根据v－t图像与横轴所围面积表示位移知，汽车通过ETC通道的位移为x＝eq \f(30＋5,2)×(6－1) m＋5×(14－6) m＋eq \f(5＋30,2)×(41－14) m＝600 m；没有收费站时，汽车所用时间为t＝eq \f(x,v)＝eq \f(600,30) s＝20 s，所以ETC通道对该车行驶产生的时间延误为Δt＝(41－1－20)s＝20 s，B正确，A、C、D错误。
3.如图3所示，直线a1和曲线b1分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的速度—时间(v－t)图线，t1时刻两车经过同一位置，由图可知( )
图3
A.在t2时刻，a车追上b车
B.在t1到t2这段时间内，b车的平均速度比a车的大
C.在t1到t2这段时间内，b车的平均速度为eq \f(v1＋v2,2)
D.在t1到t2这段时间内，b车的加速度一直比a车的大
答案 B
解析 t1时刻两车经过同一位置，t1到t2这段时间内b车位移大，所以b车在前，故选项A错误；t1到t2这段时间内b车位移大，时间相同，所以b车平均速度大，故选项B正确；t1～t2时间，曲线b1与t轴所围的面积表示位移，可知，这段时间内b车平均速度大于eq \f(v1＋v2,2)，故选项C错误；图像斜率表示加速度，可以看出b车的加速度先减小，然后反向增大，并非一直比a车的大，故选项D错误。
4.一质点的位移—时间图像如图4所示，能正确表示该质点的速度v与时间t关系的图像是下列图中的( )
图4
答案 A
解析 质点在开始一段时间内的x－t图像是一条直线，其斜率不变且为负值，表示质点做匀速直线运动，速度方向与规定的正方向相反；在第二段时间内，质点处于静止状态，速度为零；在第三段时间内，图线的斜率不变且为正值，即速度不变且为正值；在第四段时间内，质点静止在出发点。综上可知，质点的v－t图像是图A，故选项A正确。
对点练2 “数学思维”分析非常规图像问题
5.如图5为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是( )
图5
A.甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于eq \f(1,2)v0t0
B.乙图中，物体的加速度为2 m/s2
C.丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量
D.丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s
答案 D
解析 由v－t图线与坐标轴围成的面积表示位移，可知题图甲中，物体在0～t0这段时间内的位移大于eq \f(1,2)v0t0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(平均速度大于\f(1,2)v0))，A错误；根据v2＝2ax可知，2a＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，B错误；根据Δv＝at可知，题图丙中阴影部分的面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，C错误；由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，结合题图丁可知eq \f(1,2)a＝eq \f(10,2) m/s2＝5 m/s2，即a＝10 m/s2，则v0＝
－5 m/s，故t＝3 s时物体的速度为v3＝(－5＋10×3)m/s＝25 m/s，D正确。
6.汽车中的ABS系统在汽车制动时，能防止车轮抱死，可以减小刹车距离，增强刹车效果。实验小组通过实验，研究有ABS系统和无ABS系统两种情况下的匀减速制动距离，测试的初速度均为60 km/h。根据图6的图线及数据，可以推断出两种情况下汽车刹车的加速度大小之比a有∶a无等于( )
图6
A.4∶3 B.3∶4 C.3∶2 D.2∶3
答案 A
解析 根据v2＝2ax得a＝eq \f(v2,2x)，因为初速度相等时，刹车的距离之比为3∶4，则平均加速度之比a有∶a无＝4∶3，故A正确。
对点练3 追及相遇问题
7.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是( )
答案 D
解析 v－t图像的斜率代表加速度，由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动，则自动驾驶汽车加速时的v－t图线为直线，A错误；v－t图线与t轴围成的面积表示位移，由题可知自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度，且由图像中几何关系可知此时两车位移相等，则此时相遇，B错误；x－t图像的斜率表示速度大小，图线交点表示两车位移相同，C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大，C错误；D项中两车x－t图线交点表示两车再次相遇，且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度，D正确。
8.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后同向匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知每辆车在刹车过程中所行驶的距离均为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为( )
A.s B.2s C.3s D.4s
答案 B
解析 两辆完全相同的汽车，刹车时加速度相同，刹车位移也相同，均为s，设加速度大小为a，前车刹车的时间为t＝eq \f(v0,a)，刹车位移为s＝eq \f(veq \\al(2,0),2a)，在此时间内，后车做匀速运动，位移为x＝v0t＝eq \f(veq \\al(2,0),a)，所以x＝2s，此后，后车刹车，刹车位移也为s，要保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为Δx＝x＋s－s＝x＝2s，故选项B正确，A、C、D错误。
B级 综合提升练
9.甲、乙两物体分别在水平面上做直线运动，取向右为正方向，它们运动的相关图像分别如图7甲、乙所示。已知乙的初速度为0，下列说法正确的是( )
图7
A.甲物体2 s时的运动方向发生变化
B.乙物体2 s时的运动方向发生变化
C.甲物体0～2 s内的平均速度与2～4 s内的平均速度相同
D.乙物体4 s时的位置与0时刻的位置相同
答案 A
解析 甲物体2 s时速度从负值变为正值，即运动方向发生变化，故A正确；已知乙的初速度为0，因a－t图像与时间轴围成的面积等于速度的变化量，可知乙物体在0～2 s时间内速度为负值，在2～4 s内速度变化量为正值，在t＝4 s时速度减为零，但是在2～4 s内速度仍为负值，则2 s时的运动方向没有发生变化，故B错误；甲物体0～2 s内的平均速度与2～4 s内的平均速度大小相同，但是方向相反，故C错误；乙物体0～4 s内速度一直为负，则4 s时的位置与0时刻的位置不相同，故D错误。
10.(2023·辽宁大连一模)一辆汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶，某时刻司机发现前方施工需减速行驶，司机反应了0.2 s后才开始刹车，如图8所示为发现施工提示后的速度平方v2随位移x的变化关系。从司机发现前方施工提示至汽车速度减小到5 m/s的过程中，汽车的位移为( )
图8
A.37.5 m B.40 m C.41.5 m D.44 m
答案 C
解析 由运动学公式v2－veq \\al(2,0)＝2ax，结合图像可知2a＝k＝－10 m/s2，汽车从开始减速到速度减至v＝5 m/s过程中，汽车的位移为x1＝eq \f(veq \\al(2,5)－veq \\al(2,0),2a)＝37.5 m，司机反应了0.2 s，汽车运动的位移x2＝4 m，所以从司机发现前方施工提示至汽车速度减小到5 m/s的过程中，汽车的位移为x＝x1＋x2＝41.5 m，C正确。
11.(2023·安徽合肥模拟)强行超车是道路交通安全的极大隐患之一。如图9是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车均以36 km/h的速度在路面上匀速行驶，其中甲车车身长L1＝5 m、货车车身长L2＝8 m，货车在甲车前s＝3 m处。若甲车司机开始加速从货车左侧超车，加速度大小为2 m/s2。假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度。求：
图9
(1)甲车完成超车至少需要多长时间；
(2)若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者相距110 m，乙车速度为54 km/h。甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车能否安全超车。
答案 (1)4 s (2)不能安全超车
解析 (1)设甲车经过时间t刚好完成超车，
在时间t内
甲车位移x1＝v1t＋eq \f(1,2)at2
货车位移x2＝v2t
根据几何关系有x1＝x2＋L1＋L2＋s
代入数据解得t＝4 s
则甲车完成超车至少需要的时间为4 s。
(2)假设甲车能安全超车，在4 s内，
甲车位移x1＝v1t＋eq \f(1,2)at2＝56 m
乙车位移x3＝v3t＝60 m
由于x1＋x3＝116 m＞110 m，故甲车不能安全超车。
12.在足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中。某足球场长90 m、宽60 m，如图10所示。攻方前锋在中线处将足球沿边线向前踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12 m/s的匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2，试求：
图10
(1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移；
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球，他的启动过程可以视为初速度为0，加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8 m/s。该前锋队员距离足球的最远距离是多少？并求出至少经过多长时间他能追上足球？
答案 (1)36 m (2)18 m 6.5 s
解析 (1)设足球做匀减速运动的时间为t0，逆向思维，则t0＝eq \f(v0,a1)＝6 s
位移为x＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,0)＝36 m。
(2)前锋队员先加速后匀速，足球匀减速，当二者速度相等时，距离最远，设经过t秒速度相等，则
v0－a1t＝a2t
解得t＝3 s
此时二者速度均为v＝a2t＝6 m/s
足球向前的位移x1＝v0t－eq \f(1,2)a1t2＝27 m
前锋队员的位移x2＝eq \f(v2,2a2)＝9 m
最远距离Δx＝x1－x2＝18 m
前锋队员从起跑到达到最大速度的时间和位移分别为
t1＝eq \f(v2,a2)＝4 s
x3＝eq \f(v2,2)t1＝16 m
之后前锋队员做匀速运动，假设追上足球时，足球已停止，其匀速运动位移x4＝x－x3＝20 m
则做匀速运动的时间
t2＝eq \f(x4,v2)＝2.5 s
前锋队员追上足球的时间
t3＝t2＋t1＝6.5 s＞6 s
假设合理。x－t图像
v－t图像
图像
举例
意义
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
运动
情况
甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动
丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
交点和
“面积”
两条图线的交点表示相遇；图线与横轴所围面积无意义
两条图线的交点表示t2时刻速度相等，图线与横轴所围面积表示位移
位移
0～t1时间内甲、乙位移相等
0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0～t1时间内甲、乙平均速度相等
0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
情境
分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图
函数
判断法
设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况
图像
分析法
将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题
考点一 x－t图像和v－t图像的理解与应用
1.x－t图像与v－t图像的比较
2.三点说明
(1)x－t图像与v－t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。
(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
角度 x－t图像
例1 甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移—时间图像如图1所示，则在0～t1时间内( )
图1
A.甲的速度总比乙大
B.甲、乙位移相同
C.甲经过路程比乙小
D.甲、乙均做加速运动
答案 B
解析 位移—时间图像中，图线斜率大小等于物体速度大小。由题图可知，甲做匀速直线运动，乙做变速直线运动，D错误；靠近t1时刻时乙的斜率大于甲的斜率，即乙的速度大于甲的速度，故A错误；在0～t1时间段内，甲、乙物体的初位置和末位置相同，故位移相同，B正确；甲、乙物体做的是单向直线运动，两者的位移大小相等，路程也相同，故C错误。
跟踪训练
1.(多选)a、b两质点在同一直线上运动，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图2所示，其中a质点的x－t图像为抛物线的一部分，第7 s末图像处于最高点，b质点的图像为直线。下列说法正确的是( )
图2
A.a质点的初速度大小为7 m/s
B.a质点的加速度大小为2 m/s2
C.a质点减速过程通过的位移大小为50 m
D.两质点相遇时，b质点的速度小于a质点的速度
答案 BD
解析 a质点的x－t图像为抛物线的一部分，说明a质点做匀减速直线运动，7 s末速度为零，则有v0＋at7＝0，0～10 s内，a质点的位移为x＝40 m，则有x＝v0t10＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,10)，联立解得v0＝14 m/s，a＝－2 m/s2，所以a质点的初速度大小为
14 m/s，加速度大小为2 m/s2，故A错误，B正确；a质点在0～7 s内做匀减速运动，通过的位移为x＝v0t7＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,7)＝49 m，故C错误；根据x－t图像的斜率表示速度，知10 s末两质点相遇时，a质点的速度较大，故D正确。
角度 v－t图像
例2 (多选)甲、乙两个物体从同一地点、沿同一直线同时做直线运动，其v－t图像如图3所示，则( )
图3
A.2 s时甲和乙相遇
B.2 s时甲的速度方向开始反向
C.2～6 s内甲相对乙做匀速直线运动
D.乙在2～4 s内的加速度和它在4～6 s内的加速度大小相等，方向相反
答案 AC
解析 由题图可知，0～2 s内，甲、乙两图线与坐标轴围成的面积相等，即两者通过的位移相等，甲、乙两个物体又是从同一地点沿同一方向开始运动的，所以2 s时甲、乙相遇，故A正确；甲物体的速度一直沿正方向，速度方向没有改变，故B错误；2～6 s内，甲与乙速度之差是定值，说明甲相对乙做匀速直线运动，故C正确；根据斜率表示加速度可知，2～6 s内，乙的加速度一定，在4 s时加速度方向没有反向，改变的是速度方向，故D错误。
跟踪训练
2.(2022·河北卷，1) 科学训练可以提升运动成绩，某短跑运动员科学训练前后百米全程测试中，速度v与时间t的关系图像如图4所示。由图像可知( )
图4
A.0～t1时间内，训练后运动员的平均加速度大
B.0～t2时间内，训练前、后运动员跑过的距离相等
C.t2～t3时间内，训练后运动员的平均速度小
D.t3时刻后，运动员训练前做减速运动，训练后做加速运动
答案 D
解析 根据v－t图像的斜率表示加速度，由题图可知0～t1时间内，训练后运动员的平均加速度比训练前的小，故A错误；根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移，由题图可知0～t2时间内，训练前运动员跑过的距离比训练后的大，故B错误；根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移，由题图可知t2～t3时间内，训练后运动员的位移比训练前的位移大，根据平均速度等于位移与时间的比值，可知训练后运动员的平均速度大，故C错误；由v－t图像可直接看出，t3时刻后，运动员训练前速度减小，做减速运动，运动员训练后速度增加，做加速运动，故D正确。
考点二 “数学思维”分析非常规图像问题
1.三类图像
(1)a－t图像
由v＝v0＋at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图5甲所示。
(2)eq \f(x,t)－t图像
由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，图像的斜率为eq \f(1,2)a，如图乙所示。
(3)v2－x图像
由v2－veq \\al(2,0)＝2ax可知v2＝veq \\al(2,0)＋2ax，图像斜率为2a，如图丙所示。
图5
2.解题技巧
(1)用函数思想分析图像
对于非常规运动图像，可由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的斜率、截距、面积的含义。
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图像类题型的解题准确率和速度。
例3 一质点沿直线运动，如图6所示是从t＝0时刻开始的质点的eq \f(x,t)－t图像(x为位移)，可以推知( )
图6
A.质点做匀减速运动
B.加速度的大小是1 m/s2
C.t＝2 s时的速度是1 m/s
D.t＝2 s时位移是3 m
答案 B
解析 由题意可得图线的函数表达式为eq \f(x,t)＝1＋eq \f(1,2)t，即x＝t＋eq \f(1,2)t2，又因为匀变速直线运动中位移公式为x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2＞0，因此质点做匀加速运动，故A项错误，B项正确；当t＝2 s时，根据公式v＝
v0＋at，代入数据得v2＝3 m/s，故C项错误；当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋eq \f(1,2)t2，可得位移x2＝4 m，故D项错误。
跟踪训练
3.一物体由静止开始，在粗糙的水平面内沿直线运动，其加速度a随时间t变化的a－t图像如图7所示。若选物体开始运动的方向为正方向，那么，下列说法中正确的是( )
图7
A.在0～2 s的时间内，物体先做匀速直线运动后做匀减速运动
B.在2 s时物体的位移最大
C.在2～3 s的时间内，物体速度的变化量为－1 m/s
D.在0～4 s的时间内，物体的位移为零
答案 C
解析 0～1 s内，加速度不变，物体做匀加速运动，1～2 s内，加速度数值减小，物体做加速度减小的变加速运动，A错误；2 s时，加速度为0，速度最大，B错误；a－t图像中图线与横轴所围的面积表示速度的变化量，2～3 s的时间内，速度变化量为Δv＝eq \f(1,2)×1×(－2)m/s＝－1 m/s，C正确；0～4 s内，物体的速度变化量为0，即物体在4 s时停止运动，位移不为0，D错误。
4.(多选)为检测某新能源动力车的刹车性能，一次在平直公路上实验时，动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图像如图8所示，下列说法正确的是( )
图8
A.动力车的初速度为20 m/s
B.刹车过程动力车的加速度大小为5 m/s2
C.刹车过程持续的时间为10 s
D.刹车过程经过6 s时动力车的位移为30 m
答案 AB
解析 根据0－v2＝－2ax得，eq \f(x,v2)＝eq \f(1,2a)，可知eq \f(1,2a)＝eq \f(40,400)，解得刹车过程中加速度大小a＝5 m/s2，由图线可知veq \\al(2,0)＝400(m/s)2，则动力车的初速度v0＝20 m/s，选项A、B正确；刹车过程持续的时间t＝eq \f(v0,a)＝eq \f(20,5) s＝4 s，选项C错误；刹车过程中6 s内的位移等于4 s内的位移，则x＝eq \f(veq \\al(2,0),2a)＝eq \f(400,10) m＝40 m，选项D错误。
考点三 追及相遇问题
1.解答追及和相遇问题的三种方法
2.情境分析法的基本思路
3.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
角度 图像法在追及相遇中的应用
例4 甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶，它们的v－t图像如图9所示，t＝1 s时，甲、乙第一次并排行驶，则( )
图9
A.t＝0时，甲在乙的前面4.5 m处
B.t＝2 s时，甲在乙的前面6 m处
C.两次并排行驶的时间间隔为2.5 s
D.两次并排行驶的位置间距为8 m
答案 D
解析 根据两汽车的v－t图像可得瞬时速度的表达式分别为v甲＝(8－2t) m/s，
v乙＝(2＋t) m/s，t＝1 s时，甲、乙第一次并排行驶，即两车此时相遇，在第1 s内甲和乙的位移之差为Δx＝(eq \f(8＋6,2)×1－eq \f(2＋3,2)×1) m＝4.5 m，因甲比乙的速度大，则属于甲追乙，则t＝0时，甲在乙的后面4.5 m处，故A错误；在t＝2 s时，两车的距离为Δx2＝(eq \f(6＋4,2)×1－eq \f(3＋4,2)×1) m＝1.5 m，甲在乙的前面1.5 m处，故B错误；t＝2 s时两者的速度相等，根据图像的对称性可知t＝1 s和t＝3 s两车两次相遇，故两次并排行驶的时间间隔为2 s，故C错误；t＝1～3 s两车的位移相同，大小为x＝eq \f(6＋2,2)×2 m＝8 m，故D正确。
角度 追及和相遇问题
例5 (2023·广东汕头质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)求赛车追上安全车所需的时间及追上之前与安全车的最远距离；
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
答案 (1)6 m/s (2)20 s 225 m (3)20 s
解析 (1)赛车3 s末的速度
v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2＋200 m＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,2)
解得t2＝20 s
此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间
t3＝eq \f(v0,a1)＝eq \f(10,2) s＝5 s
两车最远相距Δs＝v0t3＋200 m－eq \f(1,2)a1teq \\al(2,3)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10×5＋200－\f(1,2)×2×52))m＝225 m。
(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
由位移关系得vt4－eq \f(1,2)a2teq \\al(2,4)＝v0t4
解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝eq \f(v,a2)＝eq \f(40,4) s＝10 s
所以t4＝15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足eq \f(v2,2a2)＝v0t5
解得t5＝20 s。
跟踪训练
5.(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是( )
A.eq \f(v0Δt,2) B.v0Δt
C.eq \f(veq \\al(2,0),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)＋\f(1,a2))) D.eq \f(veq \\al(2,0),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)－\f(1,a2)))
答案 AD
解析 前车减速到零所需时间为t1＝eq \f(v0,a1)，减速通过的位移为x1＝eq \f(veq \\al(2,0),2a1)，后车在Δt时间内通过的位移为x′＝v0Δt，后车减速到零经历的时间为t2＝eq \f(v0,a2)，减速通过的位移为x2＝eq \f(veq \\al(2,0),2a2)，由于两车同时停下且没有发生碰撞，故t1－Δt＝t2，x′＋x2＝x1＋s0，联立解得，在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是s0＝eq \f(v0Δt,2)或eq \f(veq \\al(2,0),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)－\f(1,a2)))，故A、D正确，B、C错误。
6.(多选)(2023·湖北九校联考)假设高速公路上甲、乙两车在同一平直车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度大小均为v0＝30 m/s，两车间距离为s0＝100 m。t＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图10(a)、(b)所示。取原运动方向为正方向。下列说法正确的是( )
图10
A.t＝3 s时两车相距最近
B.t＝6 s时两车间距离最近，为10 m
C.0～9 s内两车位移大小之差为45 m
D.两车在0～9 s内不会相撞
答案 BCD
解析 由加速度—时间图像可画出两车的速度—时间图像，如图所示。
由图像可知，t＝6 s时两车共速，此时两车间的距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移大小之差，即Δx′＝eq \f(1,2)×30×3 m＋eq \f(1,2)×30×(6－3)m＝90 m＜100 m，则t＝6 s时两车相距最近为Δs＝s0－Δx′＝10 m，所以两车不会相撞，选项B、D正确，A错误；0～9 s内两车位移大小之差为Δx″＝eq \f(1,2)×30×3 m＝45 m，选项C正确。
A级 基础对点练
对点练1 x－t图像和v－t图像的理解与应用
1.A、B两物体沿同一直线运动，运动过程中的x－t图像如图1所示，下列说法正确的是( )
图1
A.4 s时A物体运动方向发生改变
B.0～6 s内B物体的速度逐渐减小
C.0～5 s内两物体的平均速度相等
D.0～6 s内某时刻两物体的速度大小相等
答案 D
解析 x－t图像的斜率表示速度，斜率的正负表示速度方向，所以A物体运动方向不变，故A错误；x－t图像的斜率表示速度，由题图可知，0～6 s内B物体的速度逐渐增大，故B错误；由题图可知，0～5 s内A物体的位移大于B物体的位移，由公式eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)可知，A物体的平均速度大于B物体的平均速度，故C错误；0～6 s内存在某时刻两图像斜率的绝对值相等，即存在某时刻两物体的速度大小相等，故D正确。
2.ETC自动道路缴费系统推行后，有效地缓解了高速公路收费站的拥堵现象。若某汽车在高速上正常行驶速度为30 m/s，沿该平直公路通过收费站ETC通道时，其速度随时间变化的关系如图2所示，则ETC通道对该车行驶产生的时间延误为( )
图2
A.8 s B.20 s C.26 s D.40 s
答案 B
解析 根据v－t图像与横轴所围面积表示位移知，汽车通过ETC通道的位移为x＝eq \f(30＋5,2)×(6－1) m＋5×(14－6) m＋eq \f(5＋30,2)×(41－14) m＝600 m；没有收费站时，汽车所用时间为t＝eq \f(x,v)＝eq \f(600,30) s＝20 s，所以ETC通道对该车行驶产生的时间延误为Δt＝(41－1－20)s＝20 s，B正确，A、C、D错误。
3.如图3所示，直线a1和曲线b1分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的速度—时间(v－t)图线，t1时刻两车经过同一位置，由图可知( )
图3
A.在t2时刻，a车追上b车
B.在t1到t2这段时间内，b车的平均速度比a车的大
C.在t1到t2这段时间内，b车的平均速度为eq \f(v1＋v2,2)
D.在t1到t2这段时间内，b车的加速度一直比a车的大
答案 B
解析 t1时刻两车经过同一位置，t1到t2这段时间内b车位移大，所以b车在前，故选项A错误；t1到t2这段时间内b车位移大，时间相同，所以b车平均速度大，故选项B正确；t1～t2时间，曲线b1与t轴所围的面积表示位移，可知，这段时间内b车平均速度大于eq \f(v1＋v2,2)，故选项C错误；图像斜率表示加速度，可以看出b车的加速度先减小，然后反向增大，并非一直比a车的大，故选项D错误。
4.一质点的位移—时间图像如图4所示，能正确表示该质点的速度v与时间t关系的图像是下列图中的( )
图4
答案 A
解析 质点在开始一段时间内的x－t图像是一条直线，其斜率不变且为负值，表示质点做匀速直线运动，速度方向与规定的正方向相反；在第二段时间内，质点处于静止状态，速度为零；在第三段时间内，图线的斜率不变且为正值，即速度不变且为正值；在第四段时间内，质点静止在出发点。综上可知，质点的v－t图像是图A，故选项A正确。
对点练2 “数学思维”分析非常规图像问题
5.如图5为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是( )
图5
A.甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于eq \f(1,2)v0t0
B.乙图中，物体的加速度为2 m/s2
C.丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量
D.丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s
答案 D
解析 由v－t图线与坐标轴围成的面积表示位移，可知题图甲中，物体在0～t0这段时间内的位移大于eq \f(1,2)v0t0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(平均速度大于\f(1,2)v0))，A错误；根据v2＝2ax可知，2a＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，B错误；根据Δv＝at可知，题图丙中阴影部分的面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，C错误；由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，结合题图丁可知eq \f(1,2)a＝eq \f(10,2) m/s2＝5 m/s2，即a＝10 m/s2，则v0＝
－5 m/s，故t＝3 s时物体的速度为v3＝(－5＋10×3)m/s＝25 m/s，D正确。
6.汽车中的ABS系统在汽车制动时，能防止车轮抱死，可以减小刹车距离，增强刹车效果。实验小组通过实验，研究有ABS系统和无ABS系统两种情况下的匀减速制动距离，测试的初速度均为60 km/h。根据图6的图线及数据，可以推断出两种情况下汽车刹车的加速度大小之比a有∶a无等于( )
图6
A.4∶3 B.3∶4 C.3∶2 D.2∶3
答案 A
解析 根据v2＝2ax得a＝eq \f(v2,2x)，因为初速度相等时，刹车的距离之比为3∶4，则平均加速度之比a有∶a无＝4∶3，故A正确。
对点练3 追及相遇问题
7.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是( )
答案 D
解析 v－t图像的斜率代表加速度，由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动，则自动驾驶汽车加速时的v－t图线为直线，A错误；v－t图线与t轴围成的面积表示位移，由题可知自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度，且由图像中几何关系可知此时两车位移相等，则此时相遇，B错误；x－t图像的斜率表示速度大小，图线交点表示两车位移相同，C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大，C错误；D项中两车x－t图线交点表示两车再次相遇，且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度，D正确。
8.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后同向匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知每辆车在刹车过程中所行驶的距离均为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为( )
A.s B.2s C.3s D.4s
答案 B
解析 两辆完全相同的汽车，刹车时加速度相同，刹车位移也相同，均为s，设加速度大小为a，前车刹车的时间为t＝eq \f(v0,a)，刹车位移为s＝eq \f(veq \\al(2,0),2a)，在此时间内，后车做匀速运动，位移为x＝v0t＝eq \f(veq \\al(2,0),a)，所以x＝2s，此后，后车刹车，刹车位移也为s，要保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为Δx＝x＋s－s＝x＝2s，故选项B正确，A、C、D错误。
B级 综合提升练
9.甲、乙两物体分别在水平面上做直线运动，取向右为正方向，它们运动的相关图像分别如图7甲、乙所示。已知乙的初速度为0，下列说法正确的是( )
图7
A.甲物体2 s时的运动方向发生变化
B.乙物体2 s时的运动方向发生变化
C.甲物体0～2 s内的平均速度与2～4 s内的平均速度相同
D.乙物体4 s时的位置与0时刻的位置相同
答案 A
解析 甲物体2 s时速度从负值变为正值，即运动方向发生变化，故A正确；已知乙的初速度为0，因a－t图像与时间轴围成的面积等于速度的变化量，可知乙物体在0～2 s时间内速度为负值，在2～4 s内速度变化量为正值，在t＝4 s时速度减为零，但是在2～4 s内速度仍为负值，则2 s时的运动方向没有发生变化，故B错误；甲物体0～2 s内的平均速度与2～4 s内的平均速度大小相同，但是方向相反，故C错误；乙物体0～4 s内速度一直为负，则4 s时的位置与0时刻的位置不相同，故D错误。
10.(2023·辽宁大连一模)一辆汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶，某时刻司机发现前方施工需减速行驶，司机反应了0.2 s后才开始刹车，如图8所示为发现施工提示后的速度平方v2随位移x的变化关系。从司机发现前方施工提示至汽车速度减小到5 m/s的过程中，汽车的位移为( )
图8
A.37.5 m B.40 m C.41.5 m D.44 m
答案 C
解析 由运动学公式v2－veq \\al(2,0)＝2ax，结合图像可知2a＝k＝－10 m/s2，汽车从开始减速到速度减至v＝5 m/s过程中，汽车的位移为x1＝eq \f(veq \\al(2,5)－veq \\al(2,0),2a)＝37.5 m，司机反应了0.2 s，汽车运动的位移x2＝4 m，所以从司机发现前方施工提示至汽车速度减小到5 m/s的过程中，汽车的位移为x＝x1＋x2＝41.5 m，C正确。
11.(2023·安徽合肥模拟)强行超车是道路交通安全的极大隐患之一。如图9是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车均以36 km/h的速度在路面上匀速行驶，其中甲车车身长L1＝5 m、货车车身长L2＝8 m，货车在甲车前s＝3 m处。若甲车司机开始加速从货车左侧超车，加速度大小为2 m/s2。假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度。求：
图9
(1)甲车完成超车至少需要多长时间；
(2)若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者相距110 m，乙车速度为54 km/h。甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车能否安全超车。
答案 (1)4 s (2)不能安全超车
解析 (1)设甲车经过时间t刚好完成超车，
在时间t内
甲车位移x1＝v1t＋eq \f(1,2)at2
货车位移x2＝v2t
根据几何关系有x1＝x2＋L1＋L2＋s
代入数据解得t＝4 s
则甲车完成超车至少需要的时间为4 s。
(2)假设甲车能安全超车，在4 s内，
甲车位移x1＝v1t＋eq \f(1,2)at2＝56 m
乙车位移x3＝v3t＝60 m
由于x1＋x3＝116 m＞110 m，故甲车不能安全超车。
12.在足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中。某足球场长90 m、宽60 m，如图10所示。攻方前锋在中线处将足球沿边线向前踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12 m/s的匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2，试求：
图10
(1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移；
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球，他的启动过程可以视为初速度为0，加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8 m/s。该前锋队员距离足球的最远距离是多少？并求出至少经过多长时间他能追上足球？
答案 (1)36 m (2)18 m 6.5 s
解析 (1)设足球做匀减速运动的时间为t0，逆向思维，则t0＝eq \f(v0,a1)＝6 s
位移为x＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,0)＝36 m。
(2)前锋队员先加速后匀速，足球匀减速，当二者速度相等时，距离最远，设经过t秒速度相等，则
v0－a1t＝a2t
解得t＝3 s
此时二者速度均为v＝a2t＝6 m/s
足球向前的位移x1＝v0t－eq \f(1,2)a1t2＝27 m
前锋队员的位移x2＝eq \f(v2,2a2)＝9 m
最远距离Δx＝x1－x2＝18 m
前锋队员从起跑到达到最大速度的时间和位移分别为
t1＝eq \f(v2,a2)＝4 s
x3＝eq \f(v2,2)t1＝16 m
之后前锋队员做匀速运动，假设追上足球时，足球已停止，其匀速运动位移x4＝x－x3＝20 m
则做匀速运动的时间
t2＝eq \f(x4,v2)＝2.5 s
前锋队员追上足球的时间
t3＝t2＋t1＝6.5 s＞6 s
假设合理。x－t图像
v－t图像
图像
举例
意义
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
运动
情况
甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动
丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
交点和
“面积”
两条图线的交点表示相遇；图线与横轴所围面积无意义
两条图线的交点表示t2时刻速度相等，图线与横轴所围面积表示位移
位移
0～t1时间内甲、乙位移相等
0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0～t1时间内甲、乙平均速度相等
0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
情境
分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图
函数
判断法
设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况
图像
分析法
将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题
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