新高考物理一轮复习讲义第4章 曲线运动 第4讲 万有引力定律及应用 (含解析)

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2.理解万有引力定律，知道其内容、公式及适用范围。 3.掌握计算天体质量和密度的方法。
1.
eq \a\vs4\al(2.,,)
1.思考判断
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(√)
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(×)
(3)只有天体之间才存在万有引力。(×)
(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq \f(m1m2,r2)计算物体间的万有引力。(×)
(5)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(√)
2.火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
答案 B
考点一 开普勒三定律的理解和应用
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
3.开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。
例1 (多选)如图1所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有( )
图1
A.TA＞TB B.EkA＞EkB
C.SA＝SB D.eq \f(Req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(Req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))
答案 AD
解析 根据开普勒第三定律知，A、D正确；由eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv2,R)和Ek＝eq \f(1,2)mv2可得Ek＝eq \f(GMm,2R)，因RA＞RB，mA＝mB，则EkA＜EkB，B错误；根据开普勒第二定律知，同一轨道上的卫星绕地球做匀速圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，对于卫星A、B，SA不等于SB，C错误。
跟踪训练
1.为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1
答案 C
解析 由开普勒第三定律得eq \f(r3,T2)＝k，故eq \f(TP,TQ)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(RP,RQ)))\s\up12(3))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,4)))\s\up12(3))＝eq \f(8,1)，C正确。
考点二 万有引力定律的理解和应用
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是物体的重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图2所示。(设地球质量为M)
图2
(1)在赤道上：
Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg。
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2)。
3.万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2)。
例2 (2022·全国乙卷，14)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们( )
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
答案 C
解析 航天员在空间站中所受的地球引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，所受地球引力大小不为零，故A、B错误，C正确；根据F＝Geq \f(Mm,r2)可知，他们在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大小，因此在地球表面所受引力大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。
例3 (2022·山东卷，6)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图3所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
图3
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq \s\up6(\f(1,3))－R B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq \s\up6(\f(1,3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq \s\up6(\f(1,3))－R D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq \s\up6(\f(1,3))
答案 C
解析 地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律有eq \f(GMm,R2)＝mg，
可得GM＝gR2
根据题意可知，卫星的运行周期为T′＝eq \f(T,n)
根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，
则有eq \f(GMm′,（R＋h）2)＝m′eq \f(4π2,T′2)(R＋h)
联立以上式子解得h＝eq \r(3,\f(gR2T2,4n2π2))－R
故C正确。
跟踪训练
2.某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A.eq \f(4π2,g1T2) B.eq \f(4π2,g2T2)
C.eq \f(（g2－g1）T2,4π2) D.eq \f(（g1＋g2）T2,4π2)
答案 C
解析 在“极点”处mg2＝eq \f(GMm,R2)；在其表面“赤道”处eq \f(GMm,R2)－mg1＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)R，解得R＝eq \f(（g2－g1）T2,4π2)，故C正确。
考点三 天体质量和密度的计算
天体质量和密度的计算方法
角度 重力加速度法
例4 宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ。
答案 (1)eq \f(2h,t2) (2)eq \f(2hR2,Gt2) (3)eq \f(3h,2πRGt2)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，
有h＝eq \f(1,2)g月t2
月球表面的自由落体加速度大小g月＝eq \f(2h,t2)。
(2)不考虑月球自转的影响，有Geq \f(Mm,R2)＝mg月
得月球的质量M＝eq \f(2hR2,Gt2)。
(3)月球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq \f(3h,2πRGt2)。
角度 环绕法
例5 (2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
答案 D
解析 根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得eq \f(Gm地m,r2)＝meq \f(v2,r)，解得m地＝eq \f(v2r,G)，D正确；由于核心舱的质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱的质量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由eq \f(Gm地m,r2)＝mω2r得m地＝eq \f(ω2r3,G)，且ω＝eq \f(2π,T)，r约不掉，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误。
跟踪训练
3.(多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2。你能计算出( )
A.地球的质量m地＝eq \f(gR2,G)
B.太阳的质量m太＝eq \f(4π2Leq \\al(3,2),GTeq \\al(2,2))
C.月球的质量m月＝eq \f(4π2Leq \\al(3,1),GTeq \\al(2,1))
D.太阳的平均密度ρ＝eq \f(3π,GTeq \\al(2,2))
答案 AB
解析 设地球表面的一个物体的质量为m0，有m0g＝eq \f(Gm地m0,R2)，所以地球质量m地＝eq \f(gR2,G)，故A正确；地球绕太阳运动，有eq \f(Gm太m地,Leq \\al(2,2))＝m地eq \f(4π2L2,Teq \\al(2,2))，则m太＝eq \f(4π2Leq \\al(3,2),GTeq \\al(2,2))，故B正确；月球绕地球运动，能求出地球的质量，无法求出月球的质量，故C错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D错误。
4.(多选)(2023·山东临沂模拟)中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)( )
A.ρ＝eq \f(3g0,2πGd) B.ρ＝eq \f(g0T2,3πd)
C.ρ＝eq \f(3π,GT2) D.ρ＝eq \f(6M,πd3)
答案 ACD
解析 设近火卫星的质量为m，火星的质量为M，对近火卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有eq \f(GMm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))\s\up12(2))＝eq \f(m4π2,T2)·eq \f(d,2)，可得M＝eq \f(π2d3,2GT2)，可得火星的密度为ρ＝eq \f(M,\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))\s\up12(3))＝eq \f(6M,πd3)，将M＝eq \f(π2d3,2GT2)代入上式可得ρ＝eq \f(3π,GT2)；又火星对近火卫星的万有引力近似等于近火卫星的重力，则有mg0＝Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))\s\up12(2))，解得M＝eq \f(g0d2,4G)，因此火星的密度为ρ＝eq \f(M,\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))\s\up12(3))＝eq \f(\f(g0d2,4G),\f(1,6)πd3)＝eq \f(3g0,2πGd)，A、C、D正确，B错误。
A级 基础对点练
对点练1 开普勒三定律的理解和应用
1.(2023·福建厦门模拟)1970年4月24日，中国第1颗人造地球卫星东方红一号发射成功，拉开了中国人探索宇宙奥秘，和平利用太空、造福人类的序幕，因此4月24日定为“中国航天日”。52年过去了，东方红一号仍然在太空飞行，运行在近地点441千米，远地点2 286千米的椭圆轨道上，卫星质量173千克，运行周期114分钟。则( )
图1
A.东方红一号在近地点的运行速率比远地点小
B.东方红一号在近地点受到地球的万有引力比远地点小
C.地球位于东方红一号椭圆轨道的一个焦点上
D.东方红一号的运行周期大于同步卫星的运行周期
答案 C
解析 根据开普勒第二定律知东方红一号与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，则东方红一号卫星在近地点的运行速率大于在远地点的运行速率，A错误；根据F＝Geq \f(Mm,r2)，因为近地点到地心的距离小于远地点到地心的距离，则东方红一号在近地点受到地球的万有引力比远地点大，B错误；东方红一号绕地球在椭圆轨道上运动，则地球位于东方红一号椭圆轨道的一个焦点上，C正确；根据开普勒第三定律，东方红一号轨道的半长轴小于同步卫星轨道的半径，则东方红一号的运行周期小于同步卫星的运行周期，D错误。
2.(多选)如图2所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )
图2
A.从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)
B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C.从P到Q阶段，速率逐渐变小
D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
答案 CD
解析 由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为eq \f(1,2)T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于eq \f(1,4)T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。
3.(2021·全国甲卷，18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A.6×105 m B.6×106 m
C.6×107 m D.6×108 m
答案 C
解析 在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝meq \f(4π2,Teq \\al(2,1))R火，得Teq \\al(2,1)＝eq \f(4π2R火,g火)，根据开普勒第三定律，有eq \f(Req \\al(3,火),Teq \\al(2,1))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l近＋2R火＋l远,2)))\s\up12(3),Teq \\al(2,2))，代入数据解得
l远≈6×107 m，C正确。
对点练2 万有引力定律的理解和应用
4.(2021·山东卷，5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
图3
A.9∶1 B.9∶2 C.36∶1 D.72∶1
答案 B
解析 悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小等于它们所受的万有引力，则eq \f(F祝融,F玉兔)＝eq \f(\f(Gm火m祝融,Req \\al(2,火)),\f(Gm月m玉兔,Req \\al(2,月)))＝eq \f(m火,m月)·eq \f(m祝融,m玉兔)·eq \f(Req \\al(2,月),Req \\al(2,火))＝9×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,2)，故B正确。
5.(2023·河南联考)假设将来的某一天，宇航员驾驶宇宙飞船，登陆某一行星，该行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为G0，在该行星赤道处的重力为0.75G0，则此物体在该行星纬度为30°处随行星自转的向心力为( )
A.eq \f(\r(3),12)G0 B.eq \f(1,12)G0 C.eq \f(\r(3),8)G0 D.eq \f(1,8)G0
答案 C
解析 由万有引力定律和重力的定义可知，在两极处有Geq \f(Mm,R2)＝G0，在赤道上有Geq \f(Mm,R2)－mω2R＝0.75G0，由向心力的公式可知纬度为30°处物体随行星自转的向心力为F＝mω2Rcs 30°，联立解得F＝eq \f(\r(3),8)G0，故C正确。
6.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A.1－eq \f(d,R) B.1＋eq \f(d,R)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R)))eq \s\up12(2) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R－d)))eq \s\up12(2)
答案 A
解析 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝Geq \f(Mm,R2)，又M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，故g＝eq \f(4,3)πρGR；设矿井底部的重力加速度为g′，图中阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则g′＝
eq \f(4,3)πρG(R－d)，联立解得eq \f(g′,g)＝1－eq \f(d,R)，A正确。
对点练3 天体质量和密度的计算
7.中国空间站可供多名航天员巡访、长期工作和生活。如图4所示，空间站的轨道可视为近地圆轨道，已知引力常量为G，下列说法正确的是( )
图4
A.在空间站工作的航天员因受力平衡而处于悬浮状态
B.若已知空间站的运行周期，可以求得航天员绕地球做圆周运动的动能
C.若已知空间站的运行周期，可以求得地球的密度
D.若已知空间站的运行周期，可以求得地球的质量
答案 C
解析 在空间站工作的航天员随空间站一起围绕地球做圆周运动，所受合力提供向心力，受力不平衡，A错误；由于不知道航天员的质量，故无法求出航天员绕地球做圆周运动的动能，B错误；设地球半径为R，空间站围绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2R,T2)，则地球质量M＝eq \f(4π2R3,GT2)，地球密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2)，C正确；根据M＝eq \f(4π2R3,GT2)知，要求得地球质量，还需知道地球的半径，D错误。
8.(2023·贵州模拟)若空间站天和核心舱和地球同步卫星绕地球的运动均可以看成匀速圆周运动，分别把它们的周期、轨道半径取常用对数后，在lg T－lg r图像中将这两点用直线连接，如图5所示。a、b为已知量，引力常量为G，则地球的质量为( )
图5
A.eq \f(2π2,G)×102b B.eq \f(2π2,G)×10b
C.eq \f(4π2,G)×102b D.eq \f(4π2,G)×10b
答案 C
解析 设地球质量为M，根据牛顿第二定律得，万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝
meq \f(4π2,T2)r，解得T2＝eq \f(4π2,GM)r3，两边取对数并整理得lg T＝eq \f(3,2)lg r－eq \f(1,2)lgeq \f(GM,4π2)，结合图像有
eq \f(1,2)lgeq \f(GM,4π2)＝b，解得M＝eq \f(4π2,G)×102b，故C正确。
9.(2021·全国乙卷，18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图6所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
图6
A.4×104M B.4×106M
C.4×108M D.4×1010M
答案 B
解析 由万有引力提供向心力有eq \f(Gm中m,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，整理得eq \f(R3,T2)＝eq \f(Gm中,4π2)，可知eq \f(R3,T2)只与中心天体的质量有关，则eq \f(M黑洞,M)＝eq \f(\f(Req \\al(3,S2),Teq \\al(2,S2)),\f(Req \\al(3,地),Teq \\al(2,地)))，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正确。
B级 综合提升练
10.中国空间站天和核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，测得空间站与地球中心连线在t0(小于空间站做匀速圆周运动的周期)时间内转过的角度为θ，扫过的面积为S，忽略地球自转的影响，引力常量为G，则地球的质量为( )
A.eq \f(S\r(2Sθ),Gteq \\al(2,0)) B.eq \f(2S\r(2Sθ),Gt0)
C.eq \f(S\r(2Sθ),Gt0) D.eq \f(2S\r(2Sθ),Gteq \\al(2,0))
答案 D
解析 设空间站绕地球做匀速圆周运动的半径为r，则空间站与地球中心连线在t0时间内扫过的面积为S＝eq \f(θ,2π)×πr2＝eq \f(θr2,2)，解得r＝eq \r(\f(2S,θ))，空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度ω＝eq \f(θ,t0)，由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝mrω2，联立解得M＝eq \f(2S\r(2Sθ),Gteq \\al(2,0))，D正确。
11.2021年12月9日，“太空教师”王亚平在我国天宫空间站进行了太空授课，神舟十三号乘组航天员翟志刚、叶光富参与，让广大青少年领悟到了太空探索的趣味。已知空间站绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图7
A.王亚平可以像在地面上那样，用天平直接测出待测物体质量m
B.翟志刚在空间站内不能用拉力器锻炼肌肉力量
C.根据题中已知物理量可求得地球质量
D.空间站距离地球表面的距离为eq \r(3,\f(gR2T2,4π2))－R
答案 D
解析 空间站处于完全失重状态，所以无法用天平测出质量，故A错误；拉力器原理是弹簧发生形变而产生拉力，所以可以在太空中使用拉力器锻炼，故B错误；设地球质量为M，对于地球上质量为m的物体，有Geq \f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq \f(gR2,G)，但是G未知，所以不能求出地球质量M，根据空间站做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,（R＋h）2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)(R＋h)，得M＝eq \f(4π2（R＋h）,GT2)3，但是G和h未知，所以不能求出地球质量M，两种方法都不能求出地球质量，所以根据题中已知物理量不可求得地球质量，故C错误；地球质量为M，对于地球上质量为m物体，有Geq \f(Mm,R2)＝mg，根据空间站做匀速圆周运动，有eq \f(GMm,（R＋h）2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)(R＋h)，两式联立得，h＝eq \r(3,\f(gR2T2,4π2))－R，故D正确。
12.2022年5月10日01时56分，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功。已知地球半径为R，地球质量为M，忽略地球自转，地球表面的重力加速度为g。
(1)火箭在竖直方向上以加速度a加速上升时，若在货运飞船的平台上放置一压力传感器，压力传感器上放置一质量为m的砝码，某时刻测得压力传感器读数为F，引力常量为G，求此时火箭上升的高度；
(2)若测得天舟四号货运飞船绕地球做匀速圆周运动转过eq \f(1,4)圆周所用时间为t，飞船距地面的高度为h，引力常量为G，求飞船运行的向心加速度大小和地球的平均密度。
答案 (1)Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(mg,F－ma))－1)) (2)eq \f(π2（R＋h）,4t2) eq \f(3π（R＋h）3,16Gt2R3)
解析 (1)设压力传感器读数为F时火箭上升的高度为H，则此时砝码所受的万有引力大小为
F引＝Geq \f(Mm,（R＋H）2)
由牛顿第三定律可知，压力传感器对砝码的支持力大小为F′＝F
对砝码，由牛顿第二定律得F′－F引＝ma
又对在地球表面上的物体有Geq \f(Mm′,R2)＝m′g
联立解得H＝Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(mg,F－ma))－1))。
(2)飞船运行的周期为T＝4t
角速度为ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2t)
飞船运行的向心加速度大小为
an＝(R＋h)ω2＝eq \f(π2（R＋h）,4t2)
设飞船整体的质量为m0，根据天舟四号货运飞船所受万有引力提供向心力有
eq \f(GMm0,（R＋h）2)＝m0(R＋h)eq \f(4π2,T2)
地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)，其中V＝eq \f(4,3)πR3
联立解得ρ＝eq \f(3π（R＋h）3,16Gt2R3)。类型
方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质
量
的
计
算
利用运
行天体
r、T
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(4π2,T2)r
m中＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(v2,r)
m中＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(v2,r)，Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(4π2,T2)r
m中＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(Gm中m,R2)
m中＝eq \f(gR2,G)
—
密
度
的
计
算
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(4π2,T2)r
m中＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时，ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(Gm中m,R2)，m中＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
—
火星的小档案
直径d＝6 794 km
质量M＝6.421 9×1023 kg
表面重力加速度g0＝3.7 m/s2
近火卫星周期T＝3.4 h