新高考物理一轮复习讲义第4章 曲线运动 第5讲 人造卫星 宇宙速度 (含解析)

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2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。
1.天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
2.物理量随轨道半径变化的规律
Geq \f(Mm,r2)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))⇒eq \a\vs4\al(公式中r指,轨道半径，r,越大，v、ω、a,越小，T越大,（越高越慢）。)
3.宇宙速度
1.思考判断
(1)围绕同一中心天体运动的质量不同的两颗卫星，若轨道半径相同，速率不一定相同。(×)
(2)近地卫星的周期最小。(√)
(3)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空。(×)
(4)不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。(√)
(5)月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s。(×)
(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。(√)
2.a、b两颗地球卫星做圆周运动，两颗卫星轨道半径关系为2ra＝rb，则下列分析正确的是( )
A.a、b两卫星的圆轨道的圆心可以与地心不重合
B.a、b两卫星的运动周期之比为1∶2
C.地球对a卫星的引力大于对b卫星的引力
D.a、b两卫星线速度的平方之比为2∶1
答案 D
考点一 卫星运动参量的分析
1.人造卫星运行轨道
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道。如图1所示。
图1
2.人造卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。
(3)同步卫星
①周期与地球自转周期相等，T＝24 h。
②高度固定不变，h＝3.6×107 m。
③运行速率均为v＝3.1×103 m/s。
(4)地球同步静止卫星
①地球同步卫星的一种情况。
②轨道与赤道平面共面。
③角速度与地球自转角速度相同。
④绕行方向与地球自转方向一致。
角度 卫星运动参量与半径的关系
例1 (2022·广东卷，2)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
答案 D
解析 由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \r(\f(GM,r))，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A错误；根据ω＝eq \f(2π,T)可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq \f(GM,r2)，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。
同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关。
跟踪训练
1.(2022·山东潍坊模拟)我国的航天事业正飞速发展，“天宫”空间站正环绕地球运行，“天问一号”环绕器正环绕火星运行。假设它们都是圆形轨道运行，地球与火星质量之比为p，“天宫”空间站与“天问一号”环绕器的轨道半径之比为k。则“天宫”空间站与“天问一号”环绕器的( )
A.运行周期之比为eq \r(\f(k3,p))
B.加速度之比为pk2
C.动能之比为eq \f(p2,k)
D.运行速度之比为eq \r(pk)
答案 A
解析 根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r＝ma，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，
T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，a＝eq \f(GM,r2)，结合题意，求得运行周期之比为eq \f(T1,T2)＝eq \r(\f(k3,p))，运行速度之比为eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(p,k))，加速度之比为eq \f(a1,a2)＝eq \f(p,k2)，故A正确，B、D错误；“天宫”空间站与“天问一号”环绕器的质量关系未知，无法求得动能之比，故C错误。
角度 同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运行问题
例2 (2022·河北衡水模拟)如图2所示，a是在赤道平面上相对地球静止的物体，随地球一起做匀速圆周运动。b是在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，轨道半径约等于地球半径。c是地球同步卫星，已知地球表面两极处的重力加速度为g，下列关于a、b、c的说法正确的是( )
图2
A.b做匀速圆周运动的加速度等于g
B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度最大的是c
C.a、b、c做匀速圆周运动的速率最大的是a
D.a、b、c做匀速圆周运动的周期最小的是a
答案 A
解析 对b根据Geq \f(Mm,R2)＝mg＝ma，可知b做匀速圆周运动的加速度等于g，选项A正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma，卫星c的轨道半径比b大，则做匀速圆周运动的向心加速度小于b，对a、c因角速度相等，根据a＝ω2r可知，c的向心加速度大于a，则a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度最大的是b，选项B错误；对a、c因角速度相等，根据v＝ωr可知，c的速率大于a的速率，根据v＝eq \r(\f(GM,r))，可知b的速率大于c的速率，可知a、b、c做匀速圆周运动的速率最大的是b，选项C错误；对a、c因角速度相等，周期相等，对b、c根据T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可知c的周期大于b，可知a、b、c做匀速圆周运动的周期最小的是b，选项D错误。
规律总结 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较
跟踪训练
2.(2022·湖北卷，2)2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是( )
A.组合体中的货物处于超重状态
B.组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C.组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D.组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
答案 C
解析 组合体在天上只受万有引力的作用绕地球做圆周运动，则组合体中的货物处于失重状态，A错误；第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；已知同步卫星的周期为24 h，根据角速度和周期的关系有ω＝eq \f(2π,T)，由于T同 > T组，则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大，C正确；由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，整理有T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，由于T同 > T组，则r同 > r组，且同步卫星和组合体在天上有Geq \f(Mm,r2)＝ma，则有a同 < a组，D错误。
考点二 宇宙速度
1.第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(veq \\al(2,1),R)，
得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s≈7.9×103 m/s。
方法二：由mg＝meq \f(veq \\al(2,1),R)得
v1＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s≈7.9×103 m/s。
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))＝2πeq \r(\f(6.4×106,9.8)) s≈5 075 s≈85 min。
2.宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
例3 地球的近地卫星线速度大小约为8 km/s，已知月球质量约为地球质量的eq \f(1,81)，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是( )
A.在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s
B.月球卫星的环绕速度可能达到4 km/s
C.月球的第一宇宙速度约为1.8 km/s
D.“近月卫星”的线速度比“近地卫星”的线速度大
答案 C
解析 根据第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，可得月球与地球的第一宇宙速度之比为eq \f(v月,v地)＝eq \r(\f(M月R地,M地R月))＝eq \r(\f(4,81))＝eq \f(2,9)，月球的第一宇宙速度约为v月＝eq \f(2,9)v地＝eq \f(2,9)×8 km/s≈
1.8 km/s，在月球上发射卫星的最小速度约为1.8 km/s，月球卫星的环绕速度小于或等于1.8 km/s，“近月卫星”的速度为1.8 km/s，小于“近地卫星”的速度，故C正确。
跟踪训练
3.(2023·广东深圳高三月考)2021年6月3日，风云四号卫星在中国西昌卫星发射中心发射成功。若风云四号卫星绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，引力常量为G，则( )
A.卫星的运行速度为eq \f(2πR,T)
B.地球表面的重力加速度为eq \f(4π2（R＋h）3,R2T2)
C.地球的质量为eq \f(4π2R3,GT2)
D.地球的第一宇宙速度为eq \f(2π,T)eq \r(\f(R＋h,R))
答案 B
解析 卫星的运行速度为v＝eq \f(2π（R＋h）,T)，A错误；根据Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，而Geq \f(Mm,R2)＝mg，整理可得M＝eq \f(4π2（R＋h）3,GT2)，g＝eq \f(4π2（R＋h）3,R2T2)，B正确，C错误；根据mg＝eq \f(mv2,R)，可得地球的第一宇宙速度v＝eq \r(gR)＝eq \f(2π（R＋h）,T)eq \r(\f(R＋h,R))，D错误。
4.(多选)(2023·福建厦门模拟)2021年10月，我国发射了首颗用于太阳Hα波段光谱成像探测的试验卫星“羲和号”，标志着中国将正式进入“探日时代”。该卫星轨道为圆轨道，通过地球南北两极上方，离地高度517公里，如图3所示，则该卫星( )
图3
A.运行周期可能小于1小时
B.发射速度可能大于第二宇宙速度
C.运行速度一定大于地球同步卫星的运行速度
D.运行的轨道平面与地球同步卫星的轨道平面垂直
答案 CD
解析 根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，可知当轨道半径最小时，做圆周运动的周期最小，当卫星近地飞行时，轨道半径最小为地球半径，此时的周期为T≈5 087 s>1 h，即该卫星的运行周期不可能小于1小时，故A错误；人造地球卫星绕地球转动的发射速度应大于等于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故此卫星的发射速度一定小于第二宇宙速度，故B错误；根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \r(\f(GM,r))，由于该卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则运行速度一定大于地球同步卫星的运行速度，故C正确；同步卫星在赤道上方固定圆轨道上运行，此卫星在两极上方运行，轨道平面相互垂直，故D正确。
A级 基础对点练
对点练1 卫星运动参量的分析
1.(2020·天津卷)北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )
图1
A.周期大 B.线速度大
C.角速度大 D.加速度大
答案 A
解析 近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得Geq \f(m地m,r2)＝meq \f(v2,r)，解得线速度v＝eq \r(\f(Gm地,r))，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项B错误；由万有引力提供向心力，可得Geq \f(m地m,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r，解得周期T＝2πeq \r(\f(r3,Gm地))，所以地球静止轨道卫星的周期较大，选项A正确；由ω＝eq \f(2π,T)，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，选项C错误；由万有引力提供向心力，可得Geq \f(m地m,r2)＝ma，解得加速度a＝Geq \f(m地,r2)，所以地球静止轨道卫星的加速度较小，选项D错误。
2.(2020·全国Ⅱ卷，15)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A.eq \r(\f(3π,Gρ)) B.eq \r(\f(4π,Gρ)) C.eq \r(\f(1,3πGρ)) D.eq \r(\f(1,4πGρ))
答案 A
解析 根据万有引力提供向心力，有Geq \f(m星m,R2)＝meq \f(4π2R,T2)，又m星＝ρ·eq \f(4πR3,3)，解得T＝eq \r(\f(3π,Gρ))，A项正确，B、C、D项错误。
3.(2023·山东省实验中学模拟)2021年4月29日空间站“天和号”核心舱成功进入预定轨道，中国空间站运行的圆轨道高度约400公里。10月14日我国在太原卫星发射中心采用长征二号丁运载火箭，成功发射首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”，运行于高度约500公里的太阳同步轨道，该轨道是经过地球南北极上空且圆心在地心的圆周，“天和号”与“羲和号”相比，下列说法正确的是( )
A.“羲和号”卫星的线速度与“天和号”核心舱的线速度之比为2∶eq \r(5)
B.“羲和号”卫星的角速度大于“天和号”核心舱的角速度
C.“羲和号”卫星的周期大于“天和号”核心舱的周期
D.“羲和号”卫星的加速度大于“天和号”核心舱的加速度
答案 C
解析 由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，所以“羲和号”卫星的线速度与“天和号”核心舱的线速度之比为eq \f(v羲,v天)＝eq \f(\r(R地＋400),\r(R地＋500))≠eq \f(2,\r(5))，故A错误；由eq \f(GMm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，知轨道半径越大，角速度越小，所以“羲和号”卫星的角速度小于“天和号”核心舱的角速度，故B错误；由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，知轨道半径越大，周期越大，所以“羲和号”卫星的周期大于“天和号”核心舱的周期，故C正确；由eq \f(GMm,r2)＝man得an＝eq \f(GM,r2)，可知轨道半径越大，加速度越小，所以“羲和号”卫星的加速度小于“天和号”核心舱的加速度，故D错误。
4.(2023·广东广州一模)如图2所示，2021年11月神州十三号宇航员从“天宫号”出舱完成相关的太空作业，已知“天宫号”空间站绕地球的运行可视为匀速圆周运动，周期约为1.5 h，下列说法正确的是( )
图2
A.宇航员出舱后处于平衡状态
B.宇航员出舱后处于超重状态
C.“天宫号”的角速度比地球同步卫星的小
D.“天宫号”的线速度比地球同步卫星的大
答案 D
解析 宇航员出舱后仍受地球引力作用，有指向地心的加速度，宇航员处于完全失重状态，故A、B错误；空间站做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r＝mω2r，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，v＝eq \r(\f(GM,r))，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，“天宫号”空间站周期1.5 h小于地球同步卫星周期24 h，由T＝2πeq \r(\f(r3,GM))知“天宫号”空间站圆周运动的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，由ω＝eq \r(\f(GM,r3))知“天宫号”空间站的角速度大于地球同步卫星的角速度，由v＝eq \r(\f(GM,r))知“天宫号”空间站的线速度大于地球同步卫星的线速度，故C错误，D正确。
5.如图3所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，a和b的轨道半径相同，且均为c的k倍，已知地球自转周期为T。则( )
图3
A.卫星b也是地球同步卫星
B.卫星a的向心加速度是卫星c的向心加速度的k2倍
C.卫星c的周期为eq \r(\f(1,k3))T
D.a、b、c三颗卫星的运行速度大小关系为va＝vb＝eq \r(k)vc
答案 C
解析 卫星b相对地球不能保持静止，故不是地球同步卫星，A错误；根据Geq \f(m地m,r2)＝ma可得a＝eq \f(Gm地,r2)，即eq \f(aa,ac)＝eq \f(req \\al(2,c),req \\al(2,a))＝eq \f(1,k2)，B错误；根据开普勒第三定律有eq \f(req \\al(3,a),Teq \\al(2,a))＝eq \f(req \\al(3,c),Teq \\al(2,c))可得Tc＝eq \r(\f(req \\al(3,c),req \\al(3,a))Teq \\al(2,a))＝eq \r(\f(1,k3))Ta＝eq \r(\f(1,k3))T，C正确；根据公式Geq \f(m地m,r2)＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \r(\f(Gm地,r))，故va＝vb＝eq \f(vc,\r(k))，D错误。
对点练2 宇宙速度
6.(2023·河北衡水高三月考)已知北斗导航卫星在预定轨道距离地心的间距为r、运行周期为T、地球表面的重力加速度为g、地球的半径为R、引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A.地球的质量为eq \f(4π2r3,GT2)
B.地球的第一宇宙速度为eq \r(gr)
C.北斗导航卫星的运行速度为eq \f(2πR,T)
D.由于北斗导航卫星正常运行时完全失重，则北斗导航卫星的重力为零
答案 A
解析 北斗导航卫星在环绕地球运行时，由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，则地球的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)，A正确；在地球表面，物体的重力等于向心力得mg＝meq \f(v2,R)，则地球的第一宇宙速度为v＝eq \r(gR)，B错误；北斗导航卫星在轨道上正常运行时，环绕速度为v0＝eq \f(2πr,T)，C错误；北斗导航卫星环绕地球做圆周运动时，处于完全失重状态，但仍受重力的作用，D错误。
7.(2020·北京卷，5)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A.火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B.火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C.火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 A
解析 火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，还在太阳系内，发射速度应大于地球的第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A正确，B错误；万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv12,R)，解得第一宇宙速度为v1＝eq \r(\f(GM,R))，所以火星的第一宇宙速度为v火＝eq \r(\f(10%,50%))v地＝eq \f(\r(5),5)v地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；万有引力近似等于重力，则有eq \f(GMm,R2)＝mg，解得火星表面的重力加速度g火＝eq \f(GM火,R火2)＝eq \f(10%,（50%）2)g地＝eq \f(2,5)g地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。
8.星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度。星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝eq \r(2)v1。已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的eq \f(1,6)。不计其他星球的影响。则该星球的第二宇宙速度为( )
A.eq \r(\f(gr,3)) B.eq \r(\f(gr,6)) C.eq \f(gr,3) D.eq \r(gr)
答案 A
解析 该星球的第一宇宙速度满足Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(veq \\al(2,1),r)，在该星球表面处万有引力等于重力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(g,6)，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v1＝eq \r(\f(gr,6))，则第二宇宙速度v2＝eq \r(2)×eq \r(\f(gr,6))＝eq \r(\f(gr,3))，故A正确。
B级 综合提升练
9.(多选)(2022·山东泰安模拟)在一颗半径为地球半径0.8倍的行星表面，将一个物体竖直向上抛出，不计空气阻力。从抛出开始计时，物体运动的位移随时间关系如图4(可能用到的数据：地球的半径为6 400 km，地球的第一宇宙速度取8 km/s，地球表面的重力加速度为10 m/s2)，则( )
图4
A.该行星表面的重力加速度为8 m/s2
B.该行星的质量比地球的质量大
C.该行星的第一宇宙速度为6.4 km/s
D.该物体落到行星表面时的速率为30 m/s
答案 AC
解析 由图读出，物体上升的最大高度为h＝64 m，上升的时间为t＝4 s，对于上升过程，由h＝eq \f(v0,2)t，得初速度为v0＝32 m/s，物体上升的加速度大小为g星＝eq \f(v0,t)＝8 m/s2，A正确；物体在行星表面受到的重力等于万有引力eq \f(GMm,R2)＝mg星，物体在地球表面受到的重力等于万有引力eq \f(GM地m′,Req \\al(2,地))＝m′g，R＝0.8R地，解得M＝
0.512M地，故行星的质量小于地球的质量，B错误；根据mg星＝meq \f(v2,R)，地球表面mg＝meq \f(veq \\al(2,地),R地)，得该行星的第一宇宙速度为v＝6.4×103 m/s，C正确；根据对称性可知，该物体落到行星表面时的速度大小与初速度大小相等，也为32 m/s，D错误。
10.(2023·浙江杭州高三月考)“北斗”系统中两颗工作卫星1和2在同一轨道上绕地心O沿顺时针方向做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻它们分别位于轨道上的A、B两位置，如图5所示，已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力，以下判断正确的是( )
图5
A.这两颗卫星的向心加速度大小为a＝eq \f(r2,R2)g
B.这两颗卫星的角速度大小为ω＝Req \r(\f(g,r))
C.卫星1由位置A运动至位置B所需时间为eq \f(πr,3R)eq \r(\f(r,g))
D.如果使卫星1加速，它就一定能追上卫星2
答案 C
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，即eq \f(GMm,r2)＝ma，由万有引力与重力关系eq \f(GMm,R2)＝mg，联立解得a＝eq \f(R2g,r2)，故A错误；由a＝ω2r，可得ω＝eq \r(\f(gR2,r3))，故B错误；卫星1由位置A运动到位置B所需时间为卫星周期的eq \f(1,6)，由T＝eq \f(2π,ω)，可得t＝eq \f(πr,3R)eq \r(\f(r,g))，故C正确；卫星1加速后做离心运动，进入高轨道运动，不能追上卫星2，故D错误。
11.(2022·河北石家庄模拟)金星与地球半径接近，金星的质量约为地球质量的eq \f(4,5)，地球和金星各自的卫星公转半径的倒数eq \f(1,r)与公转速度的平方v2的关系图像如图6所示，下列判断正确的是( )
图6
A.图线a表示的是金星的卫星，图线b表示的是地球的卫星
B.取相同公转速度，金星的卫星的周期较大
C.取相同公转半径，金星的卫星向心加速度较大
D.金星的第一宇宙速度比地球的大
答案 A
解析 万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力。由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得eq \f(1,r)＝eq \f(1,GM)·v2，图像斜率为eq \f(1,GM)，金星的质量小，卫星的图像的斜率大，所以图线a表示的是金星的卫星，图线b表示的是地球的卫星，故A正确；由图可知，取相同的公转速度时，金星的卫星的轨道半径小，由T＝eq \f(2πr,v)，可知金星的卫星的周期较小，故B错误；取相同的轨道半径时，由图可知金星的卫星线速度较小，根据向心加速度公式a＝eq \f(v2,r)，可知金星的卫星向心加速度较小，故C错误；第一宇宙速度为近行星表面卫星的速度，由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(GM,R))，因为金星的质量约为地球的eq \f(4,5)，而两者的半径近似相等，所以金星的第一宇宙速度比地球的小，故D错误。
12.(多选)如图7所示，A、B、C、D四颗地球卫星，A还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，线速度为v，向心加速度为a；B处于地面附近轨道上，正常运行速度为v1，向心加速度为a1；C是地球同步卫星，到地心的距离为r，运行速率为v2，加速度为a2；D是高空探测卫星，运行速率为v3，加速度为a3。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则( )
图7
A.a＝g＝a1>a2>a3
B.v1>v2>v
C.eq \f(a,a2)＝eq \f(R,r)
D.卫星C加速一段时间后就可能追上卫星B
答案 BC
解析 地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知A与C的角速度相同，由a＝ω2r可知，C的向心加速度比A的大，又Geq \f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq \f(GM,r2)，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星C的向心加速度小于B的向心加速度，而B的向心加速度约是g，可知A的加速度小于重力加速度g，选项A错误；由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，可知卫星的轨道半径越大，线速度越小，A在地球赤道上随地球表面一起转动，线速度小于同步卫星的线速度，因此A、B、C卫星的线速度关系有v1>v2>v，选项B正确；A、C的角速度相同，由a＝ω2r可知eq \f(a,a2)＝eq \f(R,r)，选项C正确；若卫星C加速，则此时的万有引力不足以提供向心力，C的轨道半径会变大，做离心运动，因此不能追上B，选项D错误。
13.2021年10月16日神舟十三号载人飞船顺利发射升空，翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员开启了为期6个月的中国天宫空间站之旅。若空间站组合体做匀速圆周运动的轨道半径为r，地球质量为M，引力常量为G。
(1)求天宫空间站运动的加速度大小a；
(2)求天宫空间站运动的速度大小v；
(3)通过某小程序可以查询到中国空间站过境运行轨迹，经查询从2021年11月2日17：51：08到2021年11月3日18：03：40，这段时间内空间站绕地球共转过16圈。求空间站中的航天员在24 h内看到几次日出，并简要说明理由。
答案 (1)eq \f(GM,r2) (2)eq \r(\f(GM,r)) (3)16次
解析 (1)设空间站质量为m，
由牛顿第二定律得eq \f(GMm,r2)＝ma
解得a＝eq \f(GM,r2)。
(2)由匀速圆周运动规律得eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)
得v＝eq \r(\f(GM,r))。
(3)因为空间站每绕地球一圈，会看到一次日出，从题目所给数据，可知24 h空间站绕地球16圈，故可看到16次日出。项目
近地卫星
同步卫星
地球赤道上物体
图示
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r同＞r物＝r近
角速度
ω近＞ω同＝ω物
线速度
v近＞v同＞v物
向心加速度
a近＞a同＞a物