新高考物理一轮复习讲义第4章 曲线运动 专题强化五 有约束条件的平抛运动 (含解析)

这是一份新高考物理一轮复习讲义第4章 曲线运动 专题强化五 有约束条件的平抛运动 (含解析)，文件包含人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联原卷版doc、人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
考点一 与斜面或圆弧面有关的平抛运动
角度 与斜面有关的平抛运动
1.顺着斜面平抛(如图1)
图1
处理方法：分解位移。
x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2
tan θ＝eq \f(y,x)
可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g)。
2.对着斜面平抛(垂直打到斜面上，如图2)
图2
处理方法：分解速度。
vx＝v0，vy＝gt
tan θ＝eq \f(vx,vy)＝eq \f(v0,gt)
可求得t＝eq \f(v0,gtan θ)。
例1 (2023·湖南长沙模拟)如图3，在倾角为α的斜面顶端，将小球以v0的初速度水平向左抛出，经过一定时间小球发生第一次撞击。自小球抛出至第一次撞击过程中小球水平方向的位移为x，忽略空气阻力，则下列图像正确的是( )
图3
答案 D
解析 小球落在斜面上时，小球位移方向与水平方向夹角为α，则有tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)，则水平位移x＝v0t＝eq \f(2tan α,g)veq \\al(2,0)∝veq \\al(2,0)；小球落在水平面上时，小球飞行时间恒定，水平位移正比于v0，故D正确，A、B、C错误。
例2 如图4所示，斜面倾角为θ＝30°，在斜面上方某点处，先让小球(可视为质点)自由下落，从释放到落到斜面上所用时间为t1，再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为t2，不计空气阻力，则eq \f(t1,t2)为( )
图4
A.eq \f(\r(2),1) B.eq \f(\r(3),\r(2)) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(5),\r(3))
答案 D
解析 设小球水平抛出的初速度为v0，则打到斜面上时，速度沿竖直方向的分速度vy＝eq \f(v0,tan θ)＝gt2，水平位移x＝v0t2，抛出点离斜面的高度h＝eq \f(veq \\al(2,y),2g)＋xtan θ＝eq \f(veq \\al(2,0),2gtan2θ)＋eq \f(veq \\al(2,0),g)＝eq \f(5veq \\al(2,0),2g)，又h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，解得t2＝eq \f(\r(3)v0,g)，t1＝eq \f(\r(5)v0,g)，则eq \f(t1,t2)＝eq \f(\r(5),\r(3))，D正确。
跟踪训练
1.(2022·重庆高三模拟)如图5所示，将一小球从A点以某一初速度水平拋出，小球恰好落到斜面底端B点；若在B点正上方与A等高的C点将小球以相同大小的初速度水平抛出，小球落在斜面上的D点，A、B、C、D在同一竖直面上，则eq \f(AD,AB)为( )
图5
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2)－1,2) D.eq \f(3－\r(5),2)
答案 D
解析 如图，设A、B之间高度差为h，C、D之间高度差为h′，则h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，
h′＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，可得t1＝eq \r(\f(2h,g))，t2＝eq \r(\f(2h′,g))，斜面倾角的正切值tan θ＝eq \f(h,v0t1)＝eq \f(h－h′,v0t2)，解得h′＝eq \f(3－\r(5),2)h，所以eq \f(AD,AB)＝eq \f(h′,h)＝eq \f(3－\r(5),2)，故D正确，A、B、C错误。
角度 与圆弧面有关的平抛运动
1.从圆弧形轨道处平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向。
处理方法：分解速度tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)。
2.从圆心处或与圆心等高圆弧上抛出，落到半径为R的圆弧上。
例3 如图6所示，科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P和圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m。取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。则石子抛出时的速度大小为( )
图6
A.9 m/s B.12 m/s
C.15 m/s D.18 m/s
答案 C
解析 由题意可知，石子竖直方向的位移为h＝h1＋Rsin 37°，根据公式可得h＝eq \f(1,2)gt2，代入数据解得t＝1.2 s。石子水平方向的位移为x＝R＋Rcs 37°，又x＝v0t，代入数据可得石子抛出时的速度大小为v0＝15 m/s，故C正确。
跟踪训练
2.(2023·山东模拟预测)如图7所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方的P点将一小球以水平速度v0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是( )
图7
A.eq \f(v0,gtan θ) B.eq \f(gtan θ,v0) C.eq \f(Rsin θ,v0) D.eq \f(Rcs θ,v0)
答案 C
解析 根据几何关系可知，水平速度与末速度的夹角为θ，则有tan θ＝eq \f(vy,v0)，解得vy＝v0tan θ，根据vy＝gt，解得t＝eq \f(v0tan θ,g)，A、B错误；在水平方向有Rsin θ＝v0t，解得t＝eq \f(Rsin θ,v0)，D错误，C正确。
考点二 平抛运动的临界和极值问题
1.平抛运动的临界问题有两种常见情形
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度。
(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。
2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
例4 如图8所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10 m/s2。则可以实现上述要求的速度大小是( )
图8
A.2 m/s B.4 m/s C.8 m/s D.10 m/s
答案 B
解析 小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大
此时有L＝vmaxt1，h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)
代入数据解得vmax＝7 m/s
小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，则有
L＋d＝vmint2，H＋h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)
代入数据解得vmin＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，故B正确，A、C、D错误。
跟踪训练
3.如图9所示，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内，下列说法正确的是( )
图9
A.水从小孔P射出的速度大小为eq \r(gy)
B.y越小，则x越大
C.x与小孔的位置无关
D.当y＝eq \f(h,2)时，x最大，最大值为h
答案 D
解析 取水面上质量为m的水滴，从小孔喷出时，由机械能守恒定律可知mgy＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(2gy)，A错误；水从小孔P射出时做平抛运动，则x＝vt，
h－y＝eq \f(1,2)gt2，解得x＝veq \r(\f(2（h－y）,g))＝2eq \r(y（h－y）)，可知x与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y＝h－y，即y＝eq \f(1,2)h时，x最大，最大值为h，并不是y越小x越大，D正确，B、C错误。
A级 基础对点练
对点练1 与斜面或圆弧面有关的平抛运动
1.(2023·河北衡水模拟)如图1甲所示，足够长的斜面AB固定放置，一小球以不同初速度v0从斜面A点水平抛出，落在斜面上的位置离A点距离为s，得到s－v02图线如图乙所示，若图乙的斜率为k，不计空气阻力，则k等于( )
图1
A.eq \f(2tan θ,gcs θ) B.eq \f(tan θ,2gcs θ)
C.eq \f(2cs θ,gtan θ) D.eq \f(cs θ,2gtan θ)
答案 A
解析 根据平抛运动的规律可得scs θ＝v0t，ssin θ＝eq \f(1,2)gt2，得到s＝eq \f(2tan θ,gcs θ)veq \\al(2,0)，则k＝eq \f(2tan θ,gcs θ)，故A正确。
2.(多选)如图2，小球在倾角为θ的斜面上方O点处以速度v0水平抛出，落在斜面上的A点时速度的方向与斜面垂直，重力加速度为g，根据上述条件可以求出( )
图2
A.小球由O点到A点的时间
B.O点距离地面的高度
C.小球在A点速度的大小
D.小球从O点到A点的水平距离
答案 ACD
解析 小球速度方向与斜面垂直，根据平行四边形定则知tan θ＝eq \f(v0,gt)，故t＝eq \f(v0,gtan θ)，选项A正确；由时间t可根据h＝eq \f(1,2)gt2求得小球下降高度，但计算不出O点离地面的高度，选项B错误；由平行四边形定则知vA＝eq \f(v0,sin θ)，选项C正确；小球从O点到A点的水平距离x＝v0t＝eq \f(veq \\al(2,0),gtan θ)，选项D正确。
3.如图3所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0水平抛出，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为( )
图3
A.eq \f(veq \\al(2,0)tan α,g) B.eq \f(2veq \\al(2,0)tan α,g)
C.eq \f(veq \\al(2,0),gtan α) D.eq \f(2veq \\al(2,0),gtan α)
答案 A
解析 由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α。由tan α＝eq \f(gt,v0)，x＝v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x＝eq \f(veq \\al(2,0)tan α,g)，选项A正确。
4.如图4所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则( )
图4
A.eq \f(tan θ2,tan θ1)＝2 B.eq \f(1,tan θ1tan θ2)＝2
C.tan θ1tan θ2＝2 D.eq \f(tan θ,tan θ2)＝2
答案 C
解析 由题意知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝eq \f(x,y)＝eq \f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq \f(2v0,gt)，所以tan θ1tan θ2＝2，所以C正确。
对点练2 平抛运动的临界与极值问题
5.如图5所示，一圆柱形容器高为L，底部直径也为L，一小球离地高为2L，球到容器左侧的水平距离也为L，现将小球水平抛出，要使小球直接落在容器底部，小球抛出的初速度大小范围为( )
图5
A.eq \r(\f(1,2)gL)＜v＜2eq \r(\f(1,2)gL)
B.eq \r(\f(1,2)gL)＜v＜eq \r(gL)
C.eq \f(1,2)eq \r(gL)＜v＜eq \r(gL)
D.eq \r(\f(1,2)gL)＜v＜eq \r(\f(3,2)gL)
答案 B
解析 要使小球直接落在容器的底部，设最小初速度为v1，则有2L－L＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，v1＝eq \f(L,t1)，联立解得v1＝eq \r(\f(1,2)gL)，设最大速度为v2，则有2L＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，v2＝eq \f(2L,t2)，联立解得v2＝eq \r(gL)，因此小球抛出的初速度大小范围为eq \r(\f(1,2)gL)＜v＜eq \r(gL)，故B正确。
6.某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图6所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( )
图6
A.0 B.0.1 m C.0.2 m D.0.3 m
答案 C
解析 小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有mg(H－h)＝eq \f(1,2)mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2，联立解得x＝2eq \r(（H－h）h)，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确。
7.(2022·陕西宝鸡市高三模拟)如图7所示，猴子在地面与竖直墙壁之间跳跃玩耍，直杆AB与水平地面之间的夹角为45°，A点到地面的距离为5 m，已知重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计，若猴子从竖直墙上距地面3.2 m的C点以水平速度v0跳出，要到达直杆，水平速度v0至少为( )
图7
A.3 m/s B.4 m/s C.5 m/s D.6 m/s
答案 D
解析 运动轨迹与杆相切时如图所示，AC之间的距离为5 m－3.2 m＝1.8 m，由图可知x＝y＋1.8 m，根据平抛运动规律有x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，平抛运动的轨迹与直杆相切，则v0tan 45°＝gt，解得v0＝6 m/s，故D正确。
8.如图8所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为eq \f(L,6)，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是( )
图8
A.H＝eq \f(49,48)h B.H＝eq \f(16（L＋h）,15L)h
C.H＝eq \f(16,15)h D.H＝eq \f(L＋h,L)h
答案 C
解析 将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，有eq \f(L,6)＝v0eq \r(\f(2（H－h）,g))，eq \f(L,6)＋eq \f(L,2)＝v0eq \r(\f(2H,g))，联立解得H＝eq \f(16,15)h，故选项C正确。
B级 综合提升练
9.如图9所示，长木板AB倾斜放置，板面与水平方向的夹角为θ，从B端以大小为v0的初速度水平向左抛出一个小球，小球能打在板面上，小球做平抛运动的水平位移为x，打在板面上时速度大小为v，当θ变小后，让小球仍从B端以相同的初速度水平抛出，则( )
图9
A.x变小，v变小 B.x变小，v变大
C.x变大，v变大 D.x不变，v不变
答案 A
解析 小球抛出后做平抛运动落在倾角为θ的木板上，有x＝v0t，h＝eq \f(1,2)gt2，tan θ＝eq \f(h,x)，联立解得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，x＝eq \f(2veq \\al(2,0),g)tan θ，v0不变，当θ变小时，x变小；又由v＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))＝eq \r(veq \\al(2,0)＋4veq \\al(2,0)tan2 θ)知，当θ变小时，v变小，故A正确。
10.如图10，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝53°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，已知sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6。则v1、v2大小之比为( )
图10
A.2∶1 B.3∶2 C.9∶16 D.32∶9
答案 D
解析 两小球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，两球在竖直方向上的位移相等，小球在竖直方向上都做自由落体运动，由t＝eq \r(\f(2h,g))可知，两球的运动时间相等，对Q球，有tan 53°＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v2t)＝eq \f(gt,2v2)，解得v2＝eq \f(3gt,8)，球P垂直打在斜面上，则有v1＝vytan 53°＝gttan 53°＝eq \f(4gt,3)，所以eq \f(v1,v2)＝eq \f(32,9)，A、B、C错误，D正确。
11.(多选)如图11所示，一半径为R的圆环固定于竖直平面内，圆心为O。现从圆环上距离圆心O竖直高度为0.5R的A点以水平初速度v0向右抛出一个质量为m的小球，一段时间后，小球落在圆环上的B点(图中未画出)；当v0大小不同时，小球的落点B也不同。重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点。以下说法正确的是( )
图11
A.当v0大小不同时，小球从A点运动到B点的时间可能相同
B.当v0＝eq \r(gR)时，小球可以经过O点
C.当v0＝eq \f(\r(6gR),2)时，A、B两点位于一条直径上
D.当v0＝eq \f(\r(gR),2)时，小球从A到B的运动过程中速度变化量最大
答案 ACD
解析 当v0大小不同时，小球的落点B可能位于同一水平面上，所以运动时间可能相同，故A正确；运动过程中经过O点，满足eq \f(R,2)＝eq \f(1,2)gt2，eq \f(\r(3)R,2)＝v0t，解得v0＝eq \f(\r(3gR),2)，故B错误；A、B两点位于一条直径上时，满足R＝eq \f(1,2)gt2，eq \r(3)R＝v0t，解得v0＝eq \f(\r(6gR),2)，故C正确；当B点位于O点正下方时，满足eq \f(3,2)R＝eq \f(1,2)gt2，eq \f(\r(3),2)R＝v0t，解得v0＝eq \f(\r(gR),2)，此时小球运动的时间最长，则由Δv＝gt，可知此时速度变化量最大，故D正确。
12.(2022·全国甲卷，24)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图12所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
图12
答案 eq \f(2\r(5),5) m/s
解析 频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为t＝4T＝0.05×4 s＝0.2 s
设抛出瞬间小球的速度为v0，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为y1、y2，根据平抛运动位移公式有
x＝v0t
y1＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×0.22 m＝0.2 m
y2＝eq \f(1,2)g(2t)2－eq \f(1,2)gt2
＝eq \f(1,2)×10×(0.42－0.22) m＝0.6 m
令y1＝y，则有y2＝3y1＝3y
已标注的线段s1、s2分别为
s1＝eq \r(x2＋y2)
s2＝eq \r(x2＋（3y）2)＝eq \r(x2＋9y2)
则有s1∶s2＝eq \r(x2＋y2)∶eq \r(x2＋9y2)＝3∶7
整理得x＝eq \f(2\r(5),5)y
故在抛出瞬间小球的速度大小为
v0＝eq \f(x,t)＝eq \f(2\r(5),5) m/s。情景
处理方法
x＝v0t
y＝eq \f(1,2)gt2
x2＋y2＝R
水平方向：
R±eq \r(R2－h2)＝v0t
竖直方向：h＝eq \f(1,2)gt2