新高考物理一轮复习讲义第5章 机械能守恒定律 专题强化九 动力学和能量观点的综合应用（一）——多运动组合问题 (含解析)

这是一份新高考物理一轮复习讲义第5章 机械能守恒定律 专题强化九 动力学和能量观点的综合应用（一）——多运动组合问题 (含解析)，文件包含人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联原卷版doc、人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
学习目标 掌握运用动力学和能量观点分析复杂运动的方法，进而利用动力学和能量观点解决多运动组合的综合问题。
1.分析思路
(1)受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况。
(2)做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况。
(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解。
2.方法技巧
(1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景。
(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律。
(3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优
方案。
例1 (2022·浙江1月选考，20)如图1所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角α＝37°的光滑直轨道AB、圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点(与B点等高)，B、O1、D、O2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m＝0.1 kg，轨道BCD和DEF的半径R＝0.15 m，轨道AB长度lAB＝3 m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ＝eq \f(7,8)。滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，
图1
(1)若释放点距B点的长度l＝0.7 m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力FN的大小；
(2)设释放点距B点的长度为lx，求滑块第1次经F点时的速度v与lx之间的关系式；
(3)若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度lx的值。
答案 (1)7 N (2)v＝eq \r(12lx－9.6)(m/s)(0.85 m≤lx≤3 m) (3)见解析
解析 (1)滑块从A到C的过程只有重力做功，机械能守恒，则
mglsin 37°＋mgR(1－cs 37°)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)
在C点根据牛顿第二定律有
FN－mg＝eq \f(mveq \\al(2,C),R)
代入数据解得FN＝7 N。
(2)要使得滑块到达F点，则必过细圆管轨道DEF的最高点，即有
mglxsin 37°－mg(3Rcs 37°＋R)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)≥0
即lx≥0.85 m
滑块运动到F的过程中，由机械能守恒定律有mglxsin 37°－4mgRcs 37°＝eq \f(1,2)mv2
解得v＝eq \r(12lx－9.6)(m/s)(0.85 m≤lx≤3 m)。
(3)设最终摩擦力做的功为滑块第一次到达FG中点时的n倍，由动能定理得
mglxsin 37°－mgeq \f(lFG,2)sin 37°－nμmgeq \f(lFG,2)cs 37°＝0
lFG＝eq \f(4R,tan 37°)
解得lx＝eq \f(7n＋6,15) m
将0.85 m≤lx≤3 m代入上式可得
eq \f(27,28)≤n≤eq \f(39,7)
由运动过程可知，n只能取1、3、5
①当n＝1时，lx＝eq \f(13,15) m
②当n＝3时，lx＝eq \f(9,5) m
③当n＝5时，lx＝eq \f(41,15) m。
例2 (2023·福建宁德高三期中)如图2所示，在离水平地面CD高h1＝40 cm的光滑水平平台上，质量m＝1.2 kg的物块(可视为质点)压缩弹簧后被锁扣K锁住，弹簧原长小于水平平台的长度，此时弹簧储存了一定量的弹性势能Ep。若打开锁扣K，物块与弹簧脱离后从A点离开平台，并恰好能从光滑圆弧形轨道BC的B点的切线方向进入圆弧形轨道。B点距地面CD的高度h2＝20 cm，圆弧轨道的圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，并与长为L＝1 m的粗糙水平直轨道CD平滑连接。物块沿轨道BCD运动并与右边墙壁发生碰撞，且碰后速度等大反向，已知重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
图2
(1)物块从A到B的时间t；
(2)物块被K锁住时弹簧储存的弹性势能Ep；
(3)若物块与墙壁发生碰撞且最终停在CD轨道间，物块与轨道CD间的动摩擦因数μ。
答案 (1)0.2 s (2)0.8 J (3)eq \f(2,15)≤μ≤eq \f(7,15)
解析 (1)由平抛运动规律可得
h1－h2＝eq \f(1,2)gt2
解得t＝0.2 s。
(2)如图所示
因为圆弧半径为R＝h1＝40 cm
故由几何关系可得sin θ＝eq \f(h1－h2,h1)＝eq \f(1,2)
则θ＝30°
设物块平抛的水平初速度为v0，在B点进行运动的合成与分解
则有tan 30°＝eq \f(v0,gt)
解得v0＝eq \f(2,3)eq \r(3) m/s
由能量守恒定律可得弹簧储存的弹性势能为
Ep＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
解得Ep＝0.8 J。
(3)若物体从B到D的过程，恰好停在D点，
则有vB＝eq \f(v0,sin θ)＝eq \f(4,3)eq \r(3) m/s
由动能定理可得
mgh2－μ1mgL＝0－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
解得μ1＝eq \f(7,15)
若物体恰好回到B点时速度为零
由动能定理可得
－μ2mg·2L＝0－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
解得μ2＝eq \f(2,15)
综上所述eq \f(2,15)≤μ≤eq \f(7,15)。
跟踪训练
1.冬奥会自由式滑雪大跳台的滑道简图如图3所示，abcde为同一竖直平面内的滑雪比赛滑道，运动员从a点自静止出发，沿滑道abcd滑至d点飞出，然后做出空翻、抓板等动作，在de段的水平区域上落地并滑到安全区域。其中ab段和cd段的倾角均为θ＝37°，ab段长L1＝110 m，水平段bc长L2＝30 m，cd坡高h＝9 m，ce段足够长。设滑板与滑道之间的动摩擦因数为μ＝0.4，不考虑转弯b和c处的能量损失，运动员连同滑板整体可视为质点，其总质量m＝60 kg。忽略空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。求：
图3
(1)从a到d运动员克服摩擦力所做的功；
(2)运动员从d点飞出时的速度大小；
(3)运动员从d点飞出至落地所需要的时间(保留2位有效数字)。
答案 (1)31 200 J (2)10 m/s (3)2.1 s
解析 (1)从a到d运动员克服摩擦力所做的功
Wf＝μmgcs 37°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L1＋\f(h,sin 37°)))＋μmgL2
代入数值解得Wf＝31 200 J。
(2)由动能定理得
mg(L1sin 37°－h)－Wf＝eq \f(1,2)mv2
代入数值，解得运动员从d点飞出时的速度大小
v＝10 m/s。
(3)方法1：设运动员从d点飞出至最高点历时t1，
有vsin 37°＝gt1
解得t1＝0.6 s
设运动员从最高点到落地历时t2，
有h＋eq \f(（vsin 37°）2,2g)＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)
解得t2＝1.47 s
运动员从d点飞出至落地所需要的时间
t＝t1＋t2＝2.1 s
方法2：设运动员从d点飞出至落地历时t，则
－h＝vsin 37°t－eq \f(1,2)gt2
代入数值解得t＝2.1 s。
2.如图4所示，一小物块(视为质点)从H＝10 m高处，由静止开始沿光滑弯曲轨道AB进入半径R＝2 m 的光滑竖直圆环内侧，弯曲轨道AB在B点与圆环轨道平滑相接。之后物块沿CB圆弧滑下，由B点(无机械能损失)进入右侧的粗糙水平面上压缩弹簧。已知物块的质量m＝2 kg，与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，弹簧自然状态下最左端D点与B点距离L＝15 m，g＝10 m/s2，求：
图4
(1)物块从A滑到B时的速度大小；
(2)物块到达圆环顶点C时对轨道的压力；
(3)若弹簧最短时压缩量为10 m，求此时弹簧弹性势能。
答案 (1)10eq \r(2) m/s (2)100 N 方向竖直向上 (3)100 J
解析 (1)物块从A滑到B的过程由动能定理得mgH＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
解得vB＝10eq \r(2) m/s。
(2)物块从A滑到C的过程由动能定理得
mg(H－2R)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)
在C点由牛顿第二定律得
mg＋FN＝meq \f(veq \\al(2,C),R)
联立解得FN＝100 N
由牛顿第三定律知FN′＝FN＝100 N，方向竖直向上。
(3)从B点到弹簧压缩最短时的过程由功能关系得eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)＝μmg(L＋x)＋Ep
解得Ep＝100 J。
1.如图1所示，AB为倾角θ＝37°的斜面轨道，轨道的AC部分光滑，CB部分粗糙。BP为圆心角等于143°，半径R＝1 m的竖直光滑圆弧形轨道，两轨道相切于B点，P、O两点在同一竖直线上，轻弹簧一端固定在A点，另一自由端在斜面上C点处，现有一质量m＝2 kg的物块在外力作用下将弹簧缓慢压缩到D点后(不拴接)释放，物块经过C点后，从C点运动到B点过程中的位移与时间的关系为x＝12t－4t2(式中x单位是m，t单位是s)，假设物块第一次经过B点后恰能到达P点(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)，试求：
图1
(1)若CD＝1 m，物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功；
(2)B、C两点间的距离x；
(3)若BC部分光滑，把物块仍然压缩到D点释放，求物块运动到P点时受到轨道的压力大小。
答案 (1)156 J (2)6.125 m (3)49 N
解析 (1)由x＝12t－4t2知，物块在C点速度为v0＝12 m/s，加速度大小a＝8 m/s2
设物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功为W，由动能定理得
W－mgsin 37°·CD＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
代入数据得W＝156 J。
(2)物块在CB段，根据牛顿第二定律，物块所受合力F＝ma＝16 N
物块在P点的速度满足mg＝eq \f(mveq \\al(2,P),R)
C到P的过程，由动能定理得
－Fx－mgR(1＋cs 37°)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,P)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
解得x＝6.125 m。
(3)物块从C到P的过程中，由动能定理得
－mgxsin 37°－mgR(1＋cs 37°)＝eq \f(1,2)mvP′2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
物块在P点时满足FN＋mg＝eq \f(mvP′2,R)
联立以上两式得FN＝49 N。
2.如图2所示，半径R＝1.0 m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ＝37°，另一端点C为轨道的最低点。C点右侧的光滑水平面上紧挨C点静止放置一木板，木板质量M＝1 kg，上表面与C点等高。质量为m＝1 kg的物块(可视为质点)从空中A点以v0＝1.2 m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道。已知物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2。求：
图2
(1)物块经过C点时的速度vC；
(2)若木板足够长，物块在木板上相对滑动过程中产生的热量Q。
答案 (1)6 m/s (2)9 J
解析 (1)设物块在B点的速度为vB，在C点的速度为vC，从A到B物块做平抛运动，在B点根据速度的合成有vBsin θ＝v0
从B到C，根据动能定理有
mgR(1＋sin θ)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
综上解得vC＝6 m/s。
(2)物块在木板上相对滑动过程中由于摩擦力作用，最终将一起共同运动。设相对滑动时物块加速度为a1，木板加速度为a2，经过时间t达到共同运动速度v，则物块在滑动摩擦力作用下做匀减速运动，有μmg＝ma1
木板在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，有
μmg＝Ma2，v＝vC－a1t，v＝a2t
二者速度相等之后由于地面光滑，将一起做匀速直线运动，根据能量守恒定律有
eq \f(1,2)(m＋M)v2＋Q＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)
联立解得Q＝9 J。
3.如图3所示，BC是高处的一个平台，BC右端连接内壁光滑、半径r＝0.2 m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方一根劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧直立于水平地面上，弹簧下端固定，上端恰好与管口D端平齐。一可视为质点的小球在水平地面上的A点斜向上抛出，恰好从B点沿水平方向进入高处平台，A、B间的水平距离为xAB＝1.2 m，小球质量m＝1 kg。已知平台离地面的高度为h＝0.8 m，小球与BC间的动摩擦因数μ＝0.2，小球进入管口C端时，它对上管壁有10 N的作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧弹性势能Ep＝0.5 J。若不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
图3
(1)小球通过C点时的速度大小vC；
(2)平台BC的长度L；
(3)在压缩弹簧过程中小球的最大动能Ekm。
答案 (1)2 m/s (2)1.25 m (3)4.5 J
解析 (1)小球通过C点时，它对上管壁有F＝10 N的作用力，根据牛顿第三定律可知上管壁对它也有F′＝10 N的作用力，根据牛顿第二定律有
F′＋mg＝meq \f(veq \\al(2,C),r)，解得vC＝2 m/s。
(2)小球从A点抛出到B点所用时间
t＝eq \r(\f(2h,g))＝0.4 s
到B点时速度vB＝eq \f(xAB,t)＝3 m/s
小球从B到C的过程中，根据动能定理，有
－μmgL＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
得平台BC的长度L＝1.25 m。
(3)小球压缩弹簧过程中速度最大时，加速度为零，则mg＝kx
弹簧的压缩量x＝0.1 m
从C位置到小球的速度最大时的过程中，根据机械能守恒定律，有
mg(r＋x)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)＝Ekm＋Ep
解得Ekm＝4.5 J。
4.如图4所示，一倾斜轨道AB，通过微小圆弧与足够长的水平轨道BC平滑连接，水平轨道与一半径为R＝0.5 m的光滑圆弧轨道相切于C点，圆弧轨道不会与其他轨道重合。A、B、C、D均在同一竖直面内。质量m＝2 kg的小球(可视为质点)压紧轻质弹簧并被锁定，解锁后小球v0＝4 m/s的速度离开弹簧，从光滑水平平台飞出，经A点时恰好无碰撞沿AB方向进入倾斜轨道滑下。已知轨道AB长L＝6 m，与水平方向夹角θ＝37°，小球与轨道AB、BC间的动摩擦因数均为μ＝0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。求：
图4
(1)未解锁时弹簧的弹性势能；
(2)小球在AB轨道上运动的加速度大小a；
(3)小球在A点和B点时速度的大小vA、vB；
(4)要使小球能够进入圆轨道且不脱离圆轨道，BC轨道长度d应满足什么条件。
答案 (1)16 J (2)2 m/s2 (3)5 m/s 7 m/s (4)0