新高考物理一轮复习讲义第10章 磁场 专题强化十七 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题 (含解析)

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考点一 带电粒子在磁场中运动的多解问题
造成多解问题的几种情况分析
例1 (多选)(2022·湖北卷) 在如图1所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( )
图1
A.eq \f(1,3)kBL，0° B.eq \f(1,2)kBL，0°
C.kBL，60° D.2kBL，60°
答案 BC
解析 若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲所示，
甲
根据几何关系，有R＝L，qvB＝meq \f(v2,R)，可得v＝eq \f(qBL,m)＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。当粒子上下均经历一次时，如图乙所示，
乙
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝eq \f(1,2)L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,R)，可得v＝eq \f(qBL,2m)＝eq \f(1,2)kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v＝eq \f(qBL,（2n－1）m)＝eq \f(1,2n－1)kBL(n＝1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v＝eq \f(qBL,2nm)＝eq \f(1,2n)kBL(n＝1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故可知B、C正确，A、D错误。
跟踪训练
1.(多选)如图2所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为eq \f(q,m)，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
图2
A.B＞eq \f(mv,3qs)，垂直纸面向里
B.B＞eq \f(mv,qs)，垂直纸面向里
C.B＞eq \f(mv,qs)，垂直纸面向外
D.B＞eq \f(3mv,qs)，垂直纸面向外
答案 BD
解析 当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin 30°＝eq \f(r1,s＋r1)，可得r1＝s，由r1＝eq \f(mv,qB1)可得B1＝eq \f(mv,qs)；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹如图乙所示，切点为N，由几何关系知s＝eq \f(r2,sin 30°)＋r2，得r2＝eq \f(s,3)，又r2＝eq \f(mv,qB2)，所以B2＝eq \f(3mv,qs)，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误。
2.如图3所示，边长为L的正方形区域ABCD(含边界)内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、带电量为q(q>0)的粒子从D点沿DC方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度可能为( )
图3
A.eq \f(qBL,3m) B.eq \f(8qBL,9m) C.eq \f(3qBL,4m) D.eq \f(4qBL,5m)
答案 A
解析 若粒子恰好从A点射出磁场，则轨道半径为r1＝eq \f(L,2)，由qv1B＝meq \f(v12,r1)可得v1＝eq \f(qBr1,m)＝eq \f(qBL,2m)；若粒子恰好从B点射出磁场，则轨道半径为r2＝L，由qv2B＝meq \f(v22,r2)可得v2＝eq \f(qBL,m)。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度vv2＝eq \f(qBL,m)，故A正确。
考点二 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
1.临界条件
刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
2.几种常见的求极值问题
(1)时间极值
①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。
③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。
如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时最短。
(2)磁场区域面积极值
若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。
例2 地磁场可以减少宇宙射线中带电粒子对地球上生物体的危害。为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场，如图4所示，模拟地球半径为R，赤道外地磁场可简化为包围地球、厚度为d、方向垂直该剖面的匀强磁场(磁感应强度大小为B)，d＝2R。磁场边缘某处(未画出)有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入某种带正电粒子。研究发现，当粒子速度为2v时，沿半径方向射入磁场的粒子恰不能到达模拟地球。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应。则( )
图4
A.粒子的比荷eq \f(q,m)＝eq \f(v,2BR)
B.粒子的比荷eq \f(q,m)＝eq \f(v,BR)
C.速度为v的粒子，到达模拟地球的最短时间为tmin＝eq \f(3πR,2v)
D.速度为v的粒子，到达模拟地球的最短时间为tmin＝eq \f(πR,3v)
答案 A
解析 粒子速度为2v时，轨迹如图所示，设该粒子轨迹半径为r，根据几何关系有(R＋r)2＝r2＋(3R)2，解得r＝4R，又q·2vB＝meq \f(（2v）2,r)，解得eq \f(q,m)＝eq \f(v,2BR)，故A正确，B错误；速度为v的粒子进入磁场有qvB＝meq \f(v2,r′)，则r′＝2R，若要时间最短，则粒子在磁场中运动的弧长最短，粒子运动半径等于大气层厚度，粒子运动的圆心角为eq \f(π,3)，最短时间为tmin＝eq \f(π,6)·eq \f(2πm,qB)＝eq \f(2πR,3v)，故C、D错误。
跟踪训练
3.真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图5所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)从MN边界某处射入磁场，刚好没有从PQ边界射出磁场，再从MN边界射出磁场时与MN夹角为30°，则( )
图5
A.粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角为60°
B.粒子在磁场中运动的时间为eq \f(4πm,3qB)
C.粒子在磁场中运动的时间为eq \f(5πm,6qB)
D.粒子射入磁场时的速度大小为eq \f(（4－2\r(3)）lqB,m)
答案 D
解析 轨迹如图所示，根据对称性知，粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角为30°，则转过的圆心角为α＝300°，粒子在磁场中运动周期为T＝eq \f(2πm,qB)，则运动的时间为t＝eq \f(300°,360°)T＝eq \f(5πm,3qB)，A、B、C错误；设轨迹半径为r，由l＝r＋rcs 30°，解得r＝2(2－eq \r(3))l，根据qvB＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \f(（4－2\r(3)）lqB,m)，D正确。
A级 基础对点练
对点练1 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1.(多选)如图1所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
图1
A.使粒子的速度v＜eq \f(qBl,4m)
B.使粒子的速度v＞eq \f(5qBl,4m)
C.使粒子的速度v＞eq \f(qBl,m)
D.使粒子的速度eq \f(qBl,4m)＜v＜eq \f(5qBl,4m)
答案 AB
解析 欲使粒子不打在极板上，临界运动轨迹如图所示，粒子在磁场中做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，根据qvB＝meq \f(v2,R)，可得粒子做圆周运动的半径R＝eq \f(mv,qB)。带正电的粒子从左边射出磁场时，其在磁场中做圆周运动的半径R＜eq \f(l,4)，则eq \f(mv,qB)＜eq \f(l,4)，即v＜eq \f(qBl,4m)；带正电的粒子从右边射出时，如图所示，此时粒子的最小半径为R′，由图可知R′2＝l2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R′－\f(l,2)))eq \s\up12(2)，可得粒子做圆周运动的最小半径R′＝eq \f(5l,4)，则eq \f(mv,qB)＞eq \f(5l,4)，即v＞eq \f(5qBl,4m)，故欲使粒子不打在极板上，粒子的速度必须满足v＜eq \f(qBl,4m)或v＞eq \f(5qBl,4m)，故A、B正确。
2.(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的静电力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )
A.eq \f(qB,m) B.eq \f(2qB,m) C.eq \f(3qB,m) D.eq \f(4qB,m)
答案 BD
解析 根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与静电力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4qvB＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \f(4qrB,m)，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(4qB,m)；当负电荷所受的洛伦兹力与静电力方向相反时，有2qvB＝meq \f(v2,r)，v＝eq \f(2qrB,m)，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(2qB,m)。故选项B、D正确。
3.如图2所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？
图2
答案 eq \f(（2＋\r(2)）qdB,m)(q为正电荷)或eq \f(（2－\r(2)）qdB,m)(q为负电荷)
解析 题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论。若q为正电荷，轨迹为①，如图所示是上方与NN′相切的eq \f(1,4)圆弧，
则轨道半径r＝eq \f(mv,qB)
又d＝r－eq \f(r,\r(2))
解得v＝eq \f(（2＋\r(2)）qdB,m)
若q为负电荷，轨迹为②，是下方与NN′相切的eq \f(3,4)圆弧，则轨道半径r′＝eq \f(mv′,qB)
又d＝r′＋eq \f(r′,\r(2))
解得v′＝eq \f(（2－\r(2)）qdB,m)。
对点练2 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
4.如图3所示，在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ab＝L，一个粒子源在b点将质量为m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用)( )
图3
A.eq \f(qBL,2m) B.eq \f(qBL,3m) C.eq \f(\r(3)qBL,2m) D.eq \f(\r(3)qBL,3m)
答案 D
解析 由左手定则和题意知，沿ba方向射出的粒子在三角形磁场区域内运动半个圆周时，运动时间最长，速度最大时的轨迹恰与ac相切，轨迹如图所示，由几何关系可得最大半径r＝Ltan 30°＝eq \f(\r(3),3)L，由洛伦兹力提供向心力得qvmB＝meq \f(veq \\al(2,m),r)，从而求得最大速度vm＝eq \f(\r(3)qBL,3m)，选项A、B、C错误，D正确。
5.(2023·山东泰安高三月考)中国环流器二号M装置(HL－2M)在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图4所示，半径为R和eq \r(2)R两个同心圆之间的环形区域存在与环面垂直的匀强磁场，核聚变原料氕核(eq \\al(1,1)H)和氘核(eq \\al(2,1)H)均以相同的速度从圆心O沿半径方向射出，全部被约束在大圆形区域内。则氕核在磁场中运动的半径最大为( )
图4
A.eq \f(\r(2),8)R B.eq \f(\r(2),4)R C.eq \f(\r(2),2)R D.(eq \r(2)－1)R
答案 A
解析 依题意，氕核、氘核全部被约束在大圆形区域内，根据qvB＝meq \f(v2,r)得r＝eq \f(mv,qB)，由于二者速度相同，根据半径与比荷的关系，可知氕核和氘核在磁场中的轨迹半径之比为1∶2。当氘核在磁场中运动轨迹刚好与磁场外边界相切时，氘核运动轨迹半径最大，由几何知识得(eq \r(2)R－rmax)2＝req \\al(2,max)＋R2，求得氘核的最大半径为rmax＝eq \f(\r(2),4)R，所以氕核在磁场中运动的最大半径为rmax′＝eq \f(1,2)rmax＝eq \f(\r(2),8)R，故A正确。
B级 综合提升练
6.(2023·河南信阳质检)如图5，平行的MN、PQ与MP间(含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界MN与MP的夹角α＝30°，点P处有一离子源，离子源能够向磁场区域发射各种速率的、方向平行于纸面且垂直于MP的正、负离子，离子运动一段时间后能够从不同的边界射出磁场。已知从边界PQ射出的离子，离子速度为v0时射出点与P点距离最大为xm，所有正、负离子的比荷均为k，不计离子的重力及离子间的相互作用。求：
图5
(1)射出点与P点最大距离xm；
(2)从边界MP射出的离子，速度的最大值。
答案 (1)eq \f(\r(3)v0,kB) (2)eq \f(v0,3)
解析 (1)设离子的质量为m、电荷量为q，从边界PQ射出的速度为v0的离子，设其运动半径为R1，运动轨迹恰好与MN相切，运动轨迹如图中2所示
根据牛顿第二定律得qv0B＝meq \f(veq \\al(2,0),R1)
根据几何关系得xm＝2R1cs α
解得xm＝eq \f(\r(3)v0,kB)。
(2)从边界MP射出的离子，速度最大时离子运动轨迹恰好与MN相切，设其运动半径为R2，运动轨迹如图中1所示，根据牛顿第二定律得qvmB＝meq \f(veq \\al(2,m),R2)
设MP的长度为L，根据几何关系得
Lsin α＝R1－R1sin α
L＝eq \f(R2,sin α)＋R2
解得vm＝eq \f(v0,3)。
7.如图6所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为E，屏MN与y轴平行且相距L。一质量为m、电荷量为e的电子，在y轴上某点A自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么：
图6
(1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？
(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？
答案 (1)s＝eq \f(eL2B2,2Em（2n＋1）2)(n＝0，1，2，3，…)
(2)eq \f(BL,E)＋(2n＋1)eq \f(πm,2eB)(n＝0，1，2，3，…)
解析 (1)在电场中，电子从A→O，
由动能定理得eEs＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
在磁场中，电子做匀速圆周运动，有qv0B＝meq \f(veq \\al(2,0),r)
据题意，有(2n＋1)r＝L
所以s＝eq \f(eL2B2,2Em（2n＋1）2)(n＝0，1，2，3，…)。
(2)在电场中做匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的运动时间
t＝(2n＋1)eq \r(\f(2s,a))＋eq \f(T,4)＋neq \f(T,2)
其中a＝eq \f(eE,m)，T＝eq \f(2πm,eB)
整理后得t＝eq \f(BL,E)＋(2n＋1)eq \f(πm,2eB)(n＝0，1，2，3，…)。类型
分析
图例
带电粒子电性不确定
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向不确定
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解
粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态不唯一
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
运动具有周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解