新高考物理一轮复习讲义第11章 电磁感应 专题强化二十三 动量观点在电磁感应中的应用 (含解析)

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考点一 动量定理在电磁感应中的应用
1.导体棒在磁场中所受安培力是变力时，可用动量定理分析棒的速度变化，表达式为
I其他＋eq \(I,\s\up6(－))lBΔt＝mv－mv0
或I其他－eq \(I,\s\up6(－))lBΔt＝mv－mv0；
若其他力的冲量和为零，则有
eq \(I,\s\up6(－))lBΔt＝mv－mv0或－eq \(I,\s\up6(－))lBΔt＝mv－mv0。
2.求电荷量：q＝eq \(I,\s\up6(－))Δt＝eq \f(mv0－mv,Bl)。
3.求位移：由－eq \f(B2l2\(v,\s\up6(－)),R)Δt＝mv－mv0有
x＝eq \(v,\s\up6(－))Δt＝eq \f(（mv0－mv）R,B2l2)。
例1 如图1所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直。一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放。导体棒进入磁场后流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为I。整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻，重力加速度为g。求：
图1
(1)导体棒的最大速度和磁感应强度的大小；
(2)电流稳定后，导体棒运动速度的大小；
(3)若金属棒进入磁场后恰经t时间达到稳定，求这段时间的位移x大小。
答案 (1)eq \r(2gh) eq \f(mg,IL) (2)eq \f(I2R,mg) (3)(mgt＋meq \r(2gh)－eq \f(I2R,g))eq \f(I2R,m2g2)
解析 (1)由题意知导体棒刚进入磁场时的速度最大，设为vm，由机械能守恒定律得
mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)，解得vm＝eq \r(2gh)
电流稳定后，导体棒做匀速运动，此时导体棒受到的重力和安培力平衡，有mg＝ILB
解得B＝eq \f(mg,IL)。
(2)感应电动势E＝BLv
感应电流I＝eq \f(E,R)，解得v＝eq \f(I2R,mg)。
(3)金属棒进入磁场后，由动量定理有
mgt－eq \f(BL\(v,\s\up6(－)),R)LBt＝mv－mvm
即mgt－eq \f(B2L2x,R)＝mv－mvm
解得x＝(mgt＋meq \r(2gh)－eq \f(I2R,g))eq \f(I2R,m2g2)。
跟踪训练
1.(多选)如图2所示，间距为1 m的足够长平行导轨固定在水平面上，导轨左端接阻值为2 Ω的电阻。导轨之间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为1 T。一质量为1 kg的金属杆从左侧水平向右以2 m/s的速度进入磁场，在水平外力控制下做匀减速运动，1 s后速度刚好减为零。杆与导轨间的动摩擦因数为0.1，忽略杆与导轨的电阻，重力加速度g取10 m/s2。杆从进入磁场到静止过程中，下列说法正确的是 ( )
图2
A.通过电阻的电荷量为0.5 C
B.整个过程中安培力做功为－1 J
C.整个过程中水平外力做功为零
D.水平外力对金属杆的冲量大小为0.5 N·s
答案 AD
解析 导体棒在磁场中运动的位移为x＝eq \f(v,2)t＝1 m，通过电阻的电荷量为q＝eq \(I,\s\up6(－))t＝
eq \f(\(E,\s\up6(－)),R)t＝eq \f(\f(ΔΦ,t),R)t＝eq \f(BLx,R)＝0.5 C，A正确；根据动能定理得WF－W安－μmgx＝0－eq \f(1,2)mv2，因为外力做功无法确定，所以安培力做功也无法确定，B、C错误；根据动量定理得IF－eq \(I,\s\up6(－))LBt－μmgt＝0－mv，结合q＝eq \(I,\s\up6(－))t＝0.5 C，解得IF＝－0.5 N·s，D正确。
考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力是系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律求解比较方便。
例2 如图3所示，两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻)，由一段圆弧部分与一段无限长的水平部分组成，其水平段加有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一质量为m、电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60°，重力加速度为g。求：
图3
(1)ab棒在N处进入磁场区速度是多大？此时棒中电流是多少？
(2)cd棒能达到的最大速度是多大？
(3)cd棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？
答案 (1)eq \r(gR) eq \f(Bl\r(gR),3r) (2)eq \f(1,3)eq \r(gR) (3)eq \f(1,3)mgR
解析 (1)ab棒由M下滑到N过程中机械能守恒，有
mgR(1－cs 60°)＝eq \f(1,2)mv2
解得v＝eq \r(gR)
进入磁场瞬间，回路中的电流为
I＝eq \f(E,2r＋r)＝eq \f(Bl\r(gR),3r)。
(2)ab棒在安培力作用下做减速运动，cd棒在安培力作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度v′时，电路中电流为零，安培力为零，cd棒达到最大速度。由动量守恒定律得
mv＝(2m＋m)v′，解得v′＝eq \f(1,3)eq \r(gR)。
(3)系统释放的热量应等于系统机械能的减少量
故Q＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)×3mv′2
解得Q＝eq \f(1,3)mgR。
跟踪训练
2.(多选)如图4所示，两电阻可以忽略不计的平行金属长直导轨固定在水平面上，相距为L，另外两根长度为L、质量为m、电阻为R的相同导体棒垂直静置于导轨上，导体棒在长导轨上可以无摩擦地滑动，导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，某时刻使导体棒a获得大小为v0、水平向右的初速度，同时使导体棒b获得大小为2v0、水平向右的初速度，下列结论正确的是( )
图4
A.该时刻回路中产生的感应电动势为3BLv0
B.该时刻导体棒a的加速度为eq \f(B2L2v0,2mR)
C.当导体棒a的速度大小为eq \f(3v0,2)时，导体棒b的速度大小也是eq \f(3v0,2)
D.运动过程中通过导体棒a的电荷量的最大值qm＝eq \f(mv0,2BL)
答案 BCD
解析 根据右手定则可知两根导体棒切割磁感线产生的感应电动势方向相反，故该时刻回路中产生的感应电动势E＝BL·2v0－BLv0＝BLv0，A错误；在该时刻，回路中的感应电流I＝eq \f(E,R)＝eq \f(BLv0,2R)，导体棒a所受安培力大小F＝ILB＝ma，可得
a＝eq \f(B2L2v0,2mR)，B正确；由于两导体棒整体在水平方向动量守恒，当导体棒a的速度大小为eq \f(3v0,2)时，根据动量守恒定律得m·2v0＋mv0＝m·eq \f(3v0,2)＋mv1，解得v1＝eq \f(3v0,2)，C正确；由上解析知v共＝eq \f(3v0,2)，对a由动量定理有eq \(F,\s\up6(－))安Δt＝mv共－mv0，而eq \(F,\s\up6(－))安＝eq \(I,\s\up6(－))LB，通过导体棒a的电荷量的最大值qm＝eq \(I,\s\up6(－))Δt＝eq \f(mv0,2BL)，D正确。
A级 基础对点练
对点练1 动量定理在电磁感应中的应用
1.如图1所示，在光滑的水平面上宽度为L的区域内，有竖直向下的匀强磁场。现有一个边长为a(a