广东省深圳市龙岗区沙湾实验学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷

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1．下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ）
A．水中捞月B．拔苗助长C．守株待兔D．瓮中捉鳖
2．如图，正比例函数y＝kx和y＝ax（a＞0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象分别相交于A点和C点．若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定
3．关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠±1B．a≠0
C．a 为任何实数D．不存在
4．晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是（ ）
A．先变短后变长B．先变长后变短
C．逐渐变短D．逐渐变长
5．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1
6．在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类．其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50米，100米，50米×2往返跑三项，力量类有原地掷实心球，立定跳远，引体向上（男）或仰卧起坐（女）三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50米×2往返跑、引体向上（男）或仰卧起坐（女）两项的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．两个相似三角形对应高之比为1：2，那么它们对应中线之比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：8
8．有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（ ）
A．AD+BC＞2EFB．AD+BC≥2EFC．AD+BC＜2EFD．AD+BC≤2EF
10．已知a、b、c是三个不全为0的实数，那么关于x的方程x2+（a+b+c）x+a2+b2+c2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个负根B．有两个正根
C．两根一正一负D．无实数根
二、填空题。（本大题共5小题）
11．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝125°，则∠BCE＝ 度．
12．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y＝（x＞0）的图象上，则：
（1）点B的坐标是 ；
（2）点E的坐标是 ．
13．一几何体的三视图如图，那么这个几何体是 ．
14．若关于x的二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD＝CF，则＝ ．
三、解答题。（本大题共7小题）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣5＝0；
（2）；
（3）3x2﹣2＝4x；
（4）2x2﹣4x+1＝0．
17．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
（1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2；
（2）．
18．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x﹣4＝0；
（2）ax2+bx＝0（a≠0）．
19．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
20．在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP．
21．如图，直角△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，证明：AB2＝BD•BC，AC2＝CD•BC，AD2＝BD•CD．
22．如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点（﹣a，y1），（﹣2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（3）求△AOB的面积．
参考答案
一、选择题。（本大题共10小题）
1．下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ）
A．水中捞月B．拔苗助长C．守株待兔D．瓮中捉鳖
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
解：A，B选项为不可能事件，故不符合题意；
C选项为可能性较小的事件，是随机事件；
D项瓮中捉鳖是必然发生的．
故选：D．
2．如图，正比例函数y＝kx和y＝ax（a＞0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象分别相交于A点和C点．若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定
【分析】由于A、C两点在反比例函数图象上，则直角三角形AOB与直角三角形COD的面积都为|k|，相等．
解：由题意得：A、C两点在反比例函数图象上，则过两点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
因此，直角三角形AOB与直角三角形COD的面积S1＝S2＝|k|．
故选：B．
3．关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠±1B．a≠0
C．a 为任何实数D．不存在
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，
可得a2+1不可能为0，
∴a 为任何实数．
故选：C．
4．晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是（ ）
A．先变短后变长B．先变长后变短
C．逐渐变短D．逐渐变长
【分析】光沿直线传播，当光遇到不透明的物体时将在物体的后方形成影子，影子的长短与光传播的方向有关．
解：人从马路边向一盏路灯下靠近时，光与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，
当人到达路灯的下方时，人在地面上的影子变成一个圆点，
当人再次远离路灯时，光线与地面的夹角越来越小，人在地面上留下的影子越来越长，
所以人在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度变化是先变短后变长．
故选：A．
5．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求．
解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴其面积之比为1：4．
故选：B．
6．在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类．其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50米，100米，50米×2往返跑三项，力量类有原地掷实心球，立定跳远，引体向上（男）或仰卧起坐（女）三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50米×2往返跑、引体向上（男）或仰卧起坐（女）两项的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】依据题意找到所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解：共有3×3＝9种可能，同时抽中50米×2往返跑、引体向上（男）或仰卧起坐（女）两项的有1种，所以概率是．
故选：D．
7．两个相似三角形对应高之比为1：2，那么它们对应中线之比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：8
【分析】两个相似三角形的相似比等于对应高的比，也等于对应中线的比．
解：∵两个相似三角形对应高之比为1：2，
∴两个相似三角形的相似比为1：2，
∴它们对应中线之比为1：2．
故选：A．
8．有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】投掷这个正方体会出现1到6共6个数字，每个数字出现的机会相同，即有6个可能结果，而这6个数中有2，4，6三个偶数，则有3种可能．
解：根据概率公式：P（出现向上一面的数字为偶数）＝．故选：C．
9．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（ ）
A．AD+BC＞2EFB．AD+BC≥2EFC．AD+BC＜2EFD．AD+BC≤2EF
【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG＝BC，GF＝AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．
解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，
∴EG＝BC，GF＝AD，
在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即BC+AD＞EF，
∴AD+BC＞2EF，
当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上，
∴AD+BC＝2EF，
所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF．
故选：B．
10．已知a、b、c是三个不全为0的实数，那么关于x的方程x2+（a+b+c）x+a2+b2+c2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个负根B．有两个正根
C．两根一正一负D．无实数根
【分析】先计算出Δ＝（a+b+c）2﹣4（a2+b2+c2）＝﹣3a2﹣3b2﹣3c2+2ab+2bc+2ac，然后进行配方得到Δ＝﹣（a﹣c）2﹣（b﹣c）2﹣（a﹣b）2﹣a2﹣b2﹣c2，再根据a、b、c是三个不全为0的实数，即可判断Δ＜0，从而得到方程根的情况．
解：∵Δ＝（a+b+c）2﹣4（a2+b2+c2）
＝﹣3a2﹣3b2﹣3c2+2ab+2bc+2ac
＝﹣（a﹣c）2﹣（b﹣c）2﹣（a﹣b）2﹣a2﹣b2﹣c2，
而a、b、c是三个不全为0的实数，
∴（a﹣c）2﹣（b﹣c）2﹣（a﹣b）2﹣≤0，a2﹣b2﹣c2＜0，
∴Δ＜0，
∴原方程无实数根．
故选：D．
二、填空题。（本大题共5小题）
11．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝125°，则∠BCE＝ 35 度．
【分析】根据平行四边形的性质和已知，可求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．
解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣125°＝55°，
∵CE⊥AB，
∴在Rt△BCE中，∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°．
故答案为：35．
12．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y＝（x＞0）的图象上，则：
（1）点B的坐标是 （1，1） ；
（2）点E的坐标是 （，） ．
【分析】（1）设正方形ADEF的边长是a，则B（a，a），把B的坐标代入y＝即可得到B的坐标；
（2）设点E的纵坐标为y，则点E的横坐标为（1+y），代入反比例函数的解析式即可求得y的值，从而求得E的坐标．
解：（1）设正方形ADEF的边长是a，则B（a，a），
∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a2＝1，
∴a＝1，
∴点B的坐标为（1，1）．
（2）设点E的纵坐标为y，
∴点E的横坐标为（1+y），
∴y×（1+y）＝1，
即y2+y﹣1＝0，
即y＝，
∵y＞0，
∴y＝，
∴点E的横坐标为1+＝．
∴E（，）．
故答案为（1，1），E（，）．
13．一几何体的三视图如图，那么这个几何体是 空心圆柱 ．
【分析】两个视图是矩形，一个视图是个圆环，那么符合这样条件的几何体是空心圆柱．
解：该几何体的三视图中两个视图是矩形，一个视图是个圆环，
故该几何体为空心圆柱．
故答案为：空心圆柱．
14．若关于x的二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞且m≠1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到不等式组：，然后解不等式组即可求出m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＞且m≠1．
故答案为：m＞且m≠1．
15．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD＝CF，则＝ ．
【分析】由于AD∥BC，易得△AEF∽△CBF，那么AE：BC＝AF：FC，因此只需求得AF、FC的比例关系即可．可设AF＝a，FC＝b；在Rt△ABC中，由射影定理可知AB2＝AF•AC，联立CD＝CF＝AB，即可求得AF、FC的比例关系，由此得解．
解：设AF＝a，FC＝b；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN；
∴△AEF∽△CBF；
∴AE：BC＝AF：FC＝a：b；
Rt△ABC中，BF⊥AC，由射影定理，得：
AB2＝AF•AC＝a（a+b）；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，CD⊥AM，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝CF＝b；
∴b2＝a（a+b），即a2+ab﹣b2＝0，（）2+（）﹣1＝0
解得＝（负值舍去）；
∴＝＝．
三、解答题。（本大题共7小题）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣5＝0；
（2）；
（3）3x2﹣2＝4x；
（4）2x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用公式法求解即可；
（4）利用配方法求解即可．
解：（1）x2+2x﹣5＝0，
x2+2x＝5，
x2+2x+1＝5+1，即（x+1）2＝6，
∴x+1＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2），
（x+）2＝0，
∴x+＝0，
∴x1＝x2＝﹣；
（3）3x2﹣2＝4x，
3x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（4）2x2﹣4x+1＝0，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
17．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
（1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2；
（2）．
【分析】各方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
解：（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；
（2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．
18．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x﹣4＝0；
（2）ax2+bx＝0（a≠0）．
【分析】分别计算根的判别式，利用根的判别式的符号进行判断即可．
解：（1）∵Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵Δ＝（﹣1）2﹣4×4×4＝﹣63＜0，
∴方程没有实数根．
（2）∵a≠0，
∴方程ax2+bx＝0（a≠0）是一元二次方程，
∵Δ＝（﹣b）2﹣4×a×0＝b2≥0，
∴方程有两个实数根．
19．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）由SAS证明△AFD≌△CEB即可；
（2）由（1）知AE＝CF，△AFD≌△CEB，则AF＝CE，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
又∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝BE＝AB，CF＝DF＝CD，
∴BE＝DF，AE＝CF，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）由（1）知AE＝CF，△AFD≌△CEB，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
20．在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP．
【分析】过点C作CG∥DP交AB于G，根据平行线分线段成比例定理可得，，变形比例式表示DG，得＝，又BD＝EC，得到，化为等积式即可．
解：过点C作CG∥DP交AB于G，
∴，，
∴DG＝，DG＝，
∴＝，
∵BD＝EC，
∴，
∴AD•BP＝AE•CP．
21．如图，直角△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，证明：AB2＝BD•BC，AC2＝CD•BC，AD2＝BD•CD．
【分析】证明△ABD∽△CBA，由相似三角形的性质可知，故此可得到：AB2＝BD•BC；证明△ADC∽△BAC，由相似三角形的性质可知故此AC2＝CD•BC；证明△ABD∽△CAD，由相似三角形的性质可知，故此可知：AD2＝BD•CD．
【解答】证明：在△ABD和△CBA中，
∠B＝∠B，∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△CBA．
∴．
∴AB2＝BD•BC．
在△ADC和△BAC中，
∠C＝∠C，∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴△ADC∽△BAC．
∴．
∴AC2＝CD•BC．
∵．△ADC∽△BAC，△ABD∽△CBA，
∴△ABD∽△CAD．
∴．
∴AD2＝BD•CD．
22．如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点（﹣a，y1），（﹣2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）由S△AOC＝xy＝2，设反比例函数的解析式y＝，则k＝xy＝4；
（2）由于反比例函数的性质是：在x＜0时，y随x的增大而减小，﹣a＞﹣2a，则y1＜y2；
（3）连接AB，过点B作BE⊥x轴，交x轴于E点，通过分割面积法S△AOB＝S△AOC+S梯形ACEB﹣S△BOE求得．
解：（1）∵S△AOC＝2，
∴k＝2S△AOC＝4；
∴y＝；
（2）∵k＞0，
∴函数y在各自象限内随x的增大而减小；
∵a＞0，
∴﹣2a＜﹣a；
∴y1＜y2；
（3）连接AB，过点B作BE⊥x轴，
S△AOC＝S△BOE＝2，
∴A（a，），B（2a，）；
S梯形＝，
∴S△AOB＝S△AOC+S梯形ACEB﹣S△BOE＝3．